요약
이 수업은 수 체계에 관한 단원을 연다. 단원의 경로를 제시하는데, 그 경로는 자연수에서 출발하여 잇따른 확장을 거쳐 정수, 유리수, 실수, 복소수에 이른다. 또 이 확장들의 역사를 이집트 분수와 그리스의 통약 불가능한 양의 위기에서부터 19세기의 엄밀한 기초 확립까지 재구성하고, 확장을 낳은 문제를 정확히 정식화한다. 그 문제는 언제나 주어진 집합 안에서 해가 없는 방정식이다. 그리고 실수해를 갖는 방정식이 복소수를 거쳐 가기를 요구하는 봄벨리의 경우를 살펴본다. 끝으로 이 집합들이 강좌의 나머지 부분, 사이트의 다른 강좌, 과학과 기술에서 어디에 쓰이는지 짚는다.
학습 목표
- 단원의 경로를 기술하고, 자연수에서 복소수로 가는 구성의 사슬에 각 수업이 무엇을 보태는지 설명한다.
- 각 확장에 대하여 그것을 촉발하는 방정식을 정식화하고, 각 이행에서 어떤 성질을 얻고 어떤 성질을 잃는지 짚는다.
- 수 개념 확장의 주요 국면을 역사적 맥락 속에 놓고, 각 국면을 이끈 측정, 계산 또는 기초의 문제를 확인한다.
- 수 체계가 강좌의 나머지 부분, 다른 강좌, 과학적·기술적 응용의 어디에 등장하는지 짚는다.
입문 평가
단원을 공부하기 전에 출발점을 재어 보는 것이 좋다. 이 자기 평가는 점수를 매기지 않는다. 어디에서 머물러 공부해야 하는지 알게 해 줄 뿐이다. 처음 열 문항은 단원의 여덟 내용 수업을 다룬다. 여섯째와 일곱째 문항은 모두 유리수 지수의 거듭제곱에 해당하고(그중 뒤의 것은 분모의 유리화에 해당한다), 열째 문항은 십진 표현으로 돌아가 맥락이 있는 문제를 세우고 그 결과를 적절한 반올림과 함께 과학적 표기법으로 전달하게 한다. 같은 기능은 마지막 종합 수업에서 다른 자료로 다시 잰다. 마지막 세 문항은 이 단원이 앞 단원, 곧 자연수 단원에서 이미 안다고 전제하는 것, 즉 나머지가 있는 나눗셈, 최대공약수, 유클리드 보조정리를 확인한다.
단원을 시작하기 전에 출발점을 확인해 보세요. 짧은 자기 평가입니다. 점수가 매겨지지 않으며 결과는 브라우저에만 저장됩니다.
문제 1다음 방정식 가운데 에서는 해를 갖지만 에서는 해를 갖지 않는 것은 어느 것인가?
해 은 이미 유리수이다. 이 방정식은 유리수에서 실수로가 아니라, 정수에서 유리수로 넘어가게 하는 방정식이다.해 는 정수이다. 이 방정식은 자연수에서 정수로의 이행을 촉발한다.실수해가 없다. 실수의 제곱은 결코 음수가 아니기 때문이다. 해 와 는 복소수이다.해는 과 이며, 둘 다 실수이다. 그리고 은 유리수가 아니다. 은 자연수의 제곱이 아니기 때문이다. 이것은 의 무리성을 증명하는 것과 같은 논증이다.문제 2정수의 구성에서, 다음 자연수의 쌍 가운데 쌍 과 같은 정수를 나타내는 것은 어느 것인가?
역원 를 나타낸다. 성분을 맞바꾸면 쌍이 대각선에 대하여 대칭 이동된다. 조건 은 성립하지 않는다.두 성분에 모두 를 곱했다. 분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱할 때처럼 말이다. 자연수의 쌍은 몫이 아니라 차에 의하여 동일시된다. 이다.한 성분에만 을 더했고, 이것은 차를 바꾼다. 은 을 나타낸다. 이기 때문이다. 다른 대표원으로 옮기려면 두 성분에 같은 수를 더해야 한다.두 쌍 와 는 일 때 동치이다. 여기서는 이다. 둘 다 정수 를 나타낸다.복습: 정수: 구성, 부호, 순서
문제 3을 계산하고 결과를 기약분수로 나타내어라.
정답:
와 의 최소공배수는 이며, 이다. 분모 를 쓰면 을 얻고, 이를 약분하면 같은 결과가 된다. 을 얻은 사람은 분자끼리, 분모끼리 따로 뺀 것이다.복습: 유리수: 분수와 그 연산
문제 4다음 분수 가운데 십진 표현이 유한소수인 것은 어느 것인가?
기약분수의 분모가 소인수 을 가지므로 표현은 순환한다. 분모가 의 배수라는 것만으로는 충분하지 않다.분모가 로 끝나는 것만으로는 충분하지 않다. 은 인수 을 가지며, 표현은 순환한다.분모가 짝수라는 것만으로는 충분하지 않다. 는 인수 을 가지며, 표현은 순환한다.기약분수이고 분모가 이며, 다른 소인수가 없다. 따라서 표현은 유한하며, 이다.복습: 유리수의 십진 표현
문제 5실수 (를 만족하는 것)의 집합은 어느 것인가?
의 부호를 바꾸었다. 에서 따라 나오는 것은 이지 가 아니다.부등식이 엄격하므로 끝점은 집합에 속하지 않는다. 에서 이고, 이는 보다 작지 않다.만 풀었다. 절댓값은 도 요구하며, 예를 들어 는 를 준다.조건 는 과 동치이다. 로 두고 을 더한 뒤 로 나누면 을 얻는다.문제 6을 계산하여라.
정답:
이 거듭제곱은 의 세제곱근이고, 이므로 이다. 를 얻은 사람은 음의 지수가 역수를 준다는 것을 잊은 것이고, 를 얻은 사람은 음의 지수를 결과의 부호와 혼동한 것이다.복습: 유리수 지수와 거듭제곱근
문제 7의 분모를 유리화한 결과는 어느 것인가?
제곱을 더하여 로 했다. 두 수의 합과 차의 곱은 제곱의 차이지, 제곱의 합이 아니다.분모의 이항식을 켤레식으로 바꾸지 않고 그대로 두었다. 이것이 결과라면 의 값은 이어야 하지만, 실제 값은 이다.라고 썼다. 차의 제곱근은 제곱근의 차가 아니다.분자와 분모에 분모의 켤레식 을 곱한다. 분모는 제곱의 차 이 되고, 이것이 분자와 약분된다.복습: 유리수 지수와 거듭제곱근
문제 8의 값이 얼마일 때 연립방정식 , 의 해가 무수히 많은가?
정답:
연립방정식의 행렬식은 이며, 둘째 방정식의 계수는 첫째 방정식의 계수에 를 곱한 것이다. 이면 두 방정식은 같아지고 해가 무수히 많다. 이면 두 방정식은 서로 모순되어 해가 하나도 없다. 행렬식이 영이라는 것만으로는 해가 무수히 많다고 할 수 없다.문제 9에서 방정식 의 해는 무엇인가?
공식에서 를 택했으나, 택해야 할 것은 이다. 해의 합은 여야 하며, 가 아니다.로 나누지 않았다. 를 방정식에 대입하면 이 나오지 않는다.의 제곱근을 택했으나, 택해야 할 것은 의 제곱근이다. 이 수들은 해가 아니다. 그 곱은 이며, 이 아니다.판별식은 이고, 에서 그 제곱근은 이다. 해는 이며, 서로 켤레이다. 실수 계수의 방정식이라면 마땅히 그러하다.복습: 복소수: 연산과 방정식
문제 10제대로 잠기지 않은 수도꼭지에서 초마다 물이 한 방울씩 떨어지고, 한 방울의 부피는 밀리리터이다. 일인 한 해 동안 몇 리터의 물이 새어 나가는가? 결과를 유효숫자 두 자리로 반올림하여 과학적 표기법으로 나타내어라.
반올림하지 않고 남는 자릿수를 버렸다. 는 에 가깝고 과는 더 멀다. 버림은 반올림의 오차를 거의 두 배로 만들 수 있다.이 수는 리터가 아니라 밀리리터를 센 것이다. 으로 더 나누어야 한다.초마다 한 방울이 떨어진다고 가정했다. 실제로는 그 절반, 즉 이 초에 한 방울이 떨어진다.한 해는 초이다. 떨어지는 물방울의 수는 그 절반인 이고, 모두 합하면 밀리리터, 곧 리터이다. 유효숫자 두 자리로 반올림하면 이고, 상대오차는 보다 작다.복습: 유리수의 십진 표현
문제 11이전 단원에서몫 와 나머지 은 각각 얼마인가(를 으로 나누는 나머지가 있는 나눗셈에서)?
등식 은 참이지만, 나머지는 를 만족해야 한다. 이것은 영을 향하여 버린 몫이며, 나누어떨어지거나 피제수가 음수가 아닐 때에만 나머지가 있는 나눗셈의 몫과 일치한다.를 으로 나누고 몫의 부호만 바꾸었다. 이지 가 아니다.이고 이며, 이 조건을 만족하는 몫과 나머지는 유일하다.문제 12이전 단원에서와 의 최대공약수를 구하여라.
정답:
유클리드 호제법으로 , , 이고, 영이 아닌 마지막 나머지는 이다. 또 와 은 을 공유한다. 을 얻은 사람은 최소공배수를 계산한 것이고, 를 얻은 사람은 공통인수 을 빠뜨린 것이다.복습: 최대공약수와 최소공배수
문제 13이전 단원에서소수 가 을 나누면(은 자연수), 무엇을 단언할 수 있는가?
유클리드 보조정리는 자연수의 어떤 곱에 대해서도 성립한다. 소수여야 하는 것은 인수가 아니라 나누는 수이다.그 반대이다. 가 을 나누므로 제곱 은 을 나눈다.이 논증은 홀짝에 의존하지 않는다. 유클리드 보조정리는 모든 소수에 대하여 성립한다.유클리드 보조정리에 의하여, 곱을 나누는 소수는 인수 가운데 하나를 나눈다. 여기서는 두 인수가 모두 이다. 이것이 가 유리수가 아님을 증명하는 핵심이다.복습: 소수와 산술의 기본 정리
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