सीमाएँ और सांतत्य: सारांश और चुनौतियाँ

1. खंड 1 सीमा की परिभाषा और उसका बीजगणित

   • संचय बिंदु पर सीमा को एप्सिलॉन और डेल्टा द्वारा परिभाषित करना, उसे और उसके निषेध को परिमाणित कथन के रूप में लिखना, और उसकी अद्वितीयता तथा स्थानीय गुण सिद्ध करना।
   • सीमाओं के बीजगणित के हर नियम को तीन प्रमेयिकाओं द्वारा एक परिबंध तक घटाना, और परिमेय फलनों, मूलों और घातों की सीमाएँ प्राप्त करना।
   • संघटन प्रमेय द्वारा चर परिवर्तन करना, उसकी परिकल्पना को पहचानते हुए।
   • सैंडविच प्रमेय सिद्ध करना, और उससे आधारभूत त्रिकोणमितीय सीमा और उसके परिणाम प्राप्त करना।

   1. सीमा की परिभाषा. यदि $a$, प्रांत $A$ वाले फलन $f$ का संचय बिंदु है, तो $f$ की सीमा, $a$ पर, $L$ है जब $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$; और नहीं है जब $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$।

      सिद्ध किया गया: एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा.

   2. सीमा की अद्वितीयता. यदि $a$, $f$ के प्रांत का संचय बिंदु है, और $\lim_{x \to a} f(x) = L$ तथा $\lim_{x \to a} f(x) = L'$, तो $L = L'$।

      उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा. आधार: A (वास्तविक संख्याओं के अभिगृहीत). सिद्ध किया गया: एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा.

   3. स्थानीय गुण. $a$ पर सीमा केवल $a$ केंद्र वाले किसी छिद्रित सामीप्य में फलन के मानों पर निर्भर करती है; यदि $\lim_{x \to a} f(x) = L$, तो $a$ के निकट $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$, और यदि इसके अतिरिक्त $L \neq 0$, तो $f(x)$ का चिह्न $L$ का चिह्न है और $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$।

      उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा. आधार: A (वास्तविक संख्याओं के अभिगृहीत). सिद्ध किया गया: एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा.

   4. तीन प्रमेयिकाएँ. $f$ की सीमा, $a$ पर, $L$ है यदि और केवल यदि $\abs{f(x) - L}$ की सीमा $0$ है; यदि $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ हो, $a$ के निकट, साथ में $C > 0$ और $\lim_{x \to a} h(x) = 0$, तो $\lim_{x \to a} f(x) = L$; और शून्य की ओर जाने वाली दो दूरियों का योग शून्य की ओर जाता है।

      उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा. सिद्ध किया गया: सीमाओं का बीजगणित.

   5. प्रतिबंध की सीमा. यदि $B$ प्रांत $A$ का उपसमुच्चय है, जो फलन $f$ का प्रांत है, $a$, $B$ का संचय बिंदु है, और $\lim_{x \to a} f(x) = L$, तो $f$ का $B$ पर प्रतिबंध भी $L$ की ओर जाता है, बिंदु $a$ पर: जो प्रत्युत्तर $A$ में काम करता है, वही $B$ में काम करता है।

      उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा. सिद्ध किया गया: सीमाओं का बीजगणित.

   6. सीमाओं का बीजगणित. यदि $\lim_{x \to a} f(x) = L$ और $\lim_{x \to a} g(x) = M$, तो $\alpha f + \beta g$, $\alpha L + \beta M$ की ओर जाता है और $fg$, $LM$ की ओर; यदि $M \neq 0$, तो $\frac{1}{g}$, $\frac{1}{M}$ की ओर जाता है और $\frac{f}{g}$, $\frac{L}{M}$ की ओर।

      उपयोग करती है: 3. स्थानीय गुण, 4. तीन प्रमेयिकाएँ. आधार: C (परिबंध कसौटी), D (स्थानीय परिबद्धता और चिह्न), F (प्रतिबंध). सिद्ध किया गया: सीमाओं का बीजगणित.

   7. बहुपद, मूल और घातें. बहुपद की, और उस परिमेय फलन की जिसका हर $a$ पर शून्य नहीं होता, $a$ पर सीमा उसका मान है; $\sqrt[n]{f(x)}$, $\sqrt[n]{L}$ की ओर जाता है, साथ में $f \geq 0$ यदि $n$ सम है; और यदि $L > 0$, तो $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$, $L^{\frac{p}{q}}$ की ओर जाता है।

      उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा, 6. सीमाओं का बीजगणित. आधार: B (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत), C (परिबंध कसौटी), D (स्थानीय परिबद्धता और चिह्न). सिद्ध किया गया: सीमाओं का बीजगणित.

   8. संघटन की सीमा. यदि $\lim_{x \to a} g(x) = b$ और $\lim_{t \to b} f(t) = L$, तथा $g(x) \neq b$ (बिंदु $a$ के निकट), तो $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$; परिकल्पना $g(x) \neq b$ के बिना निष्कर्ष विफल हो सकता है।

      उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा. सिद्ध किया गया: सीमाओं का बीजगणित.

   9. असमिकाओं का संरक्षण. यदि $f(x) \leq g(x)$ (बिंदु $a$ के निकट), $\lim_{x \to a} f(x) = L$ और $\lim_{x \to a} g(x) = M$, तो $L \leq M$; सख्त असमिका संरक्षित नहीं होती।

      उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित. आधार: D (स्थानीय परिबद्धता और चिह्न). सिद्ध किया गया: सैंडविच प्रमेय और त्रिकोणमितीय सीमाएँ.

   10. सैंडविच प्रमेय. यदि $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ (बिंदु $a$ के निकट) और $h$ तथा $g$, $L$ की ओर जाते हैं, तो $f$ भी $L$ की ओर जाता है; $a$ के निकट परिबद्ध फलन और $0$ की ओर जाने वाले फलन का गुणनफल $0$ की ओर जाता है।

       उपयोग करती है: 4. तीन प्रमेयिकाएँ. आधार: C (परिबंध कसौटी). सिद्ध किया गया: सैंडविच प्रमेय और त्रिकोणमितीय सीमाएँ.

   11. ज्या और कोज्या. किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं $x$ और $a$ के लिए $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ और $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$; अतः $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ और $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$।

       उपयोग करती है: 4. तीन प्रमेयिकाएँ. आधार: B (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत), C (परिबंध कसौटी). सिद्ध किया गया: सैंडविच प्रमेय और त्रिकोणमितीय सीमाएँ.

   12. आधारभूत सीमा. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$; जब $x$, $0$ की ओर जाता है, तब $\frac{\tan x}{x}$, $1$ की ओर, $\frac{\sin kx}{x}$, $k$ की ओर और $\frac{1 - \cos x}{x^2}$, $\frac{1}{2}$ की ओर जाते हैं।

       उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित, 10. सैंडविच प्रमेय, 11. ज्या और कोज्या. आधार: B (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत), E (चर परिवर्तन). सिद्ध किया गया: सैंडविच प्रमेय और त्रिकोणमितीय सीमाएँ.

2. खंड 2 पक्ष, अनंत और अनंतस्पर्शी

   • एकपक्षीय सीमाओं को प्रतिबंधों की सीमाओं के रूप में परिभाषित करना, ताकि वे सभी प्रमेय विरासत में पाएँ, और सीमा को उसके दोनों पक्षों द्वारा अभिलक्षित करना।
   • पूर्णता से परिबद्ध एकदिष्ट फलन की सीमा को सुप्रीमम के रूप में प्राप्त करना।
   • अनंत पर सीमाओं को शून्य पर एकपक्षीय सीमाओं तक, और अनंत सीमाओं को शून्य सीमाओं तक घटाना, उनके नियमों और अनिर्धारित रूपों के साथ।
   • किसी फलन की अनंतस्पर्शियों की गणना दो सीमाओं से करना, परिमेय फलनों की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियाँ सिद्ध करना, और अवकलजों के बिना आलेखों का रेखाचित्र बनाना।

   13. एकपक्षीय सीमाएँ. $f$ की दाईं ओर से सीमा, बिंदु $a$ पर, $a$ पर उसके उस प्रतिबंध की सीमा है जो प्रांत के $a$ से बड़े बिंदुओं पर है, और बाईं ओर से सीमा छोटे बिंदुओं पर; यदि $a$ दोनों ओर से संचय बिंदु है, तो $f$ की सीमा $L$ है, बिंदु $a$ पर, यदि और केवल यदि दोनों एकपक्षीय सीमाएँ विद्यमान हैं और प्रत्येक $L$ के बराबर है।

       उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा, 5. प्रतिबंध की सीमा, 2. सीमा की अद्वितीयता. सिद्ध किया गया: एकपक्षीय सीमाएँ.

   14. एकदिष्ट फलन. यदि $f$, $\ioo{c}{b}$ पर वर्धमान और ऊपर से परिबद्ध है, तो $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$; यदि वह वर्धमान और नीचे से परिबद्ध है, तो $c$ पर उसकी दाईं ओर से सीमा उसके मानों का इन्फिमम है।

       उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित, 13. एकपक्षीय सीमाएँ. आधार: A (वास्तविक संख्याओं के अभिगृहीत), E (चर परिवर्तन), F (प्रतिबंध). सिद्ध किया गया: एकपक्षीय सीमाएँ.

   15. प्रतिलोमन प्रमेयिका. $f$ की सीमा, $\infty$ पर, $L$ है यदि हर $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $M$ विद्यमान है कि $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ जब भी $x > M$; $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ होता है, और इसी प्रकार $-\infty$ पर बाईं ओर से सीमा के साथ।

       उपयोग करती है: 13. एकपक्षीय सीमाएँ. सिद्ध किया गया: चर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर सीमाएँ.

   16. अनंत पर परिमेय फलन. हर परिमेय संख्या $r > 0$ के लिए $\frac{1}{x^r}$ की सीमा $0$ है, $\infty$ पर; घात $n$ और $m$ वाले दो बहुपदों का भागफल, $\pm\infty$ पर, $0$ की ओर जाता है यदि $n < m$, अग्रग गुणांकों के भागफल की ओर यदि $n = m$, और उसकी कोई परिमित सीमा नहीं है यदि $n > m$।

       उपयोग करती है: 2. सीमा की अद्वितीयता, 6. सीमाओं का बीजगणित, 7. बहुपद, मूल और घातें. आधार: D (स्थानीय परिबद्धता और चिह्न), F (प्रतिबंध), G (प्रतिलोमन). सिद्ध किया गया: चर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर सीमाएँ.

   17. व्युत्क्रम प्रमेयिका. $f$, $\infty$ की ओर जाता है, गंतव्य $P$ पर, जो एक बिंदु, किसी बिंदु का एक पक्ष या $\pm\infty$ है, यदि हर वास्तविक संख्या $N$ के लिए $f(x) > N$ हो, $P$ के निकट; यह तब और केवल तब होता है जब $f$, $P$ के निकट धनात्मक हो और $\frac{1}{f}$, $0$ की ओर जाए; और $f$, $-\infty$ की ओर जाता है यदि और केवल यदि $-f$, $\infty$ की ओर जाता है।

       उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा. सिद्ध किया गया: अनंत सीमाएँ.

   18. अनंत सीमाओं के नियम. यदि $f \leq g$ (बिंदु $P$ के निकट) और $f$, $\infty$ की ओर जाता है, तो $g$ भी; यदि $f$, $\infty$ की ओर जाता है, तो $f + g$ भी, यदि $g$ नीचे से परिबद्ध है, और $fg$, यदि $g$ किसी धनात्मक संख्या या $\infty$ की ओर जाता है; जिस भागफल का अंश किसी धनात्मक संख्या की ओर और हर धनात्मक मानों से $0$ की ओर जाता है, वह $\infty$ की ओर जाता है।

       उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित. आधार: D (स्थानीय परिबद्धता और चिह्न), F (प्रतिबंध), G (प्रतिलोमन), H (व्युत्क्रम). सिद्ध किया गया: अनंत सीमाएँ.

   19. अपरिबद्ध एकदिष्ट फलन. यदि $f$, $\ioo{c}{b}$ पर वर्धमान है, जहाँ $b$ एक वास्तविक संख्या या $b = \infty$ है, और ऊपर से अपरिबद्ध है, तो $f$, $\infty$ की ओर जाता है, $b$ पर बाईं ओर से, या $\infty$ पर यदि $b = \infty$।

       उपयोग करती है: 17. व्युत्क्रम प्रमेयिका. सिद्ध किया गया: अनंत सीमाएँ.

   20. अनंत सीमा के साथ संघटन. यदि $g$, $\infty$ की ओर जाता है, $P$ पर, और $f(u)$, $L$ की ओर जाता है जब $u$, $\infty$ की ओर जाता है, तो $f(g(x))$, $L$ की ओर जाता है, $P$ पर, $g$ के मानों पर किसी परिकल्पना के बिना; यही होता है यदि $f(u)$, $\infty$ या $-\infty$ की ओर जाता है।

       उपयोग करती है: 15. प्रतिलोमन प्रमेयिका, 17. व्युत्क्रम प्रमेयिका. सिद्ध किया गया: अनंत सीमाएँ.

   21. अनंतस्पर्शी की गणना. रेखा $y = mx + b$, $f$ के आलेख की अनंतस्पर्शी है, $\infty$ पर, अर्थात् $f(x) - (mx + b)$, $0$ की ओर जाता है, यदि और केवल यदि $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ और $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$; अतः हर सिरे पर अधिक से अधिक एक गैर-ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होती है।

       उपयोग करती है: 2. सीमा की अद्वितीयता, 6. सीमाओं का बीजगणित, 16. अनंत पर परिमेय फलन. आधार: G (प्रतिलोमन). सिद्ध किया गया: अनंतस्पर्शी रेखाएँ और आलेखीय निरूपण की तकनीकें.

   22. ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियाँ. यदि $r$ बहुपद $B$ का मूल है और $A(r) \neq 0$, तो रेखा $x = r$, $\frac{A}{B}$ के आलेख की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है, और $r$ के प्रत्येक ओर फलन $\infty$ या $-\infty$ की ओर जाता है, उस चिह्न के अनुसार जो चिह्न-सारणी आसन्न अंतराल में देती है।

       उपयोग करती है: 7. बहुपद, मूल और घातें, 18. अनंत सीमाओं के नियम. आधार: B (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत), D (स्थानीय परिबद्धता और चिह्न), F (प्रतिबंध). सिद्ध किया गया: अनंतस्पर्शी रेखाएँ और आलेखीय निरूपण की तकनीकें.

3. खंड 3 सांतत्य और फलनों की तुलना

   • सांतत्य को परिभाषित करना, उसे सीमा से जोड़ना, और असांतत्यों को हटाने योग्य, कूद और अनिवार्य में वर्गीकृत करना।
   • सिद्ध करना कि संक्रियाएँ और संघटन सांतत्य को संरक्षित करते हैं, और कि सीमा संतत फलन के भीतर प्रवेश करती है।
   • एकदिष्ट फलनों की युक्ति से प्रारंभिक फलनों का सांतत्य सिद्ध करना, और उससे महत्वपूर्ण सीमाएँ और $1^\infty$ रूप प्राप्त करना।
   • छोटे $\operatorname{o}$ और तुल्यता से फलनों की तुलना करना, और तुल्यों को गुणनफलों और भागफलों में बदलना, योगों में नहीं।

   23. सांतत्य और सीमा. $f$, बिंदु $a$ पर संतत है, जो उसके प्रांत $A$ का बिंदु है, यदि $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$; यदि $a$, $A$ का संचय बिंदु है, तो यह $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ के तुल्य है, और यदि वह विलगित बिंदु है, तो यह सदा होता है।

       उपयोग करती है: 1. सीमा की परिभाषा. सिद्ध किया गया: सीमा और सांतत्य.

   24. संतत फलनों पर संक्रियाएँ. $a$ पर संतत फलनों के रैखिक संयोजन, गुणनफल, अशून्य हर वाले भागफल और मूल $a$ पर संतत हैं; अतः बहुपद, परिमेय फलन, मूल, निरपेक्ष मान, ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या अपने प्रांत पर संतत हैं।

       उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित, 7. बहुपद, मूल और घातें, 11. ज्या और कोज्या, 23. सांतत्य और सीमा. आधार: C (परिबंध कसौटी). सिद्ध किया गया: सीमा और सांतत्य.

   25. संतत फलनों का संघटन. यदि $g$, $a$ पर संतत है और $f$, $g(a)$ पर संतत है, तो $f \circ g$, $a$ पर संतत है; यदि $g(x)$, $b$ की ओर जाता है और $f$, $b$ पर संतत है, तो $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$, और इसी प्रकार एकपक्षीय रूप से या $\pm\infty$ पर।

       उपयोग करती है: 3. स्थानीय गुण, 23. सांतत्य और सीमा. आधार: F (प्रतिबंध), G (प्रतिलोमन). सिद्ध किया गया: सीमा और सांतत्य.

   26. संतत प्रारंभिक फलन. किसी अंतराल पर परिभाषित और एकदिष्ट फलन, जिसकी छवि एक अंतराल है, संतत है, और ऐसे गुणों वाले सख्ती से एकदिष्ट फलन का प्रतिलोम भी; इसलिए चरघातांकी फलन, लघुगणक, वास्तविक घातांक वाली घातें, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन और अतिपरवलयिक फलन अपने प्रांत पर संतत हैं।

       उपयोग करती है: 13. एकपक्षीय सीमाएँ, 14. एकदिष्ट फलन, 23. सांतत्य और सीमा, 24. संतत फलनों पर संक्रियाएँ, 25. संतत फलनों का संघटन. आधार: B (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: प्रारंभिक फलनों का सांतत्य और महत्वपूर्ण सीमाएँ.

   27. महत्वपूर्ण सीमाएँ. जब $x$, $0$ की ओर जाता है, तब $\frac{e^x - 1}{x}$ और $\frac{\ln(1 + x)}{x}$, $1$ की ओर, $\frac{a^x - 1}{x}$, $\ln a$ की ओर और $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$, $r$ की ओर जाते हैं; इसके अतिरिक्त $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$, $e$ की ओर जाता है, $0$ पर, और $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$, $\pm\infty$ पर।

       उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित, 10. सैंडविच प्रमेय, 13. एकपक्षीय सीमाएँ, 26. संतत प्रारंभिक फलन, 25. संतत फलनों का संघटन. आधार: B (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत), E (चर परिवर्तन), G (प्रतिलोमन). सिद्ध किया गया: प्रारंभिक फलनों का सांतत्य और महत्वपूर्ण सीमाएँ.

   28. एक घात अनंत रूप. यदि $f > 0$ (बिंदु $P$ के निकट), $f(x)$, $1$ की ओर जाता है और $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ किसी वास्तविक संख्या $\lambda$ की ओर, तो $\left(f(x)\right)^{g(x)}$, $e^{\lambda}$ की ओर जाता है।

       उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित, 26. संतत प्रारंभिक फलन, 25. संतत फलनों का संघटन, 27. महत्वपूर्ण सीमाएँ. सिद्ध किया गया: प्रारंभिक फलनों का सांतत्य और महत्वपूर्ण सीमाएँ.

   29. चरघातांकी फलन, घातें और लघुगणक. यदि $r > 0$ और $a > 1$, तो $\frac{x^r}{a^x}$ और $\frac{\ln x}{x^r}$, $0$ की ओर जाते हैं, $\infty$ पर, और $x^r \ln x$, $0$ की ओर जाता है जब $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर जाता है।

       उपयोग करती है: 10. सैंडविच प्रमेय, 16. अनंत पर परिमेय फलन, 19. अपरिबद्ध एकदिष्ट फलन, 20. अनंत सीमा के साथ संघटन. आधार: B (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत), G (प्रतिलोमन). सिद्ध किया गया: प्रारंभिक फलनों का सांतत्य और महत्वपूर्ण सीमाएँ.

   30. फलनों की तुलना. $f = \operatorname{o}(g)$ होता है, $P$ पर, यदि $\frac{f}{g}$, $0$ की ओर जाता है, और $f \sim g$ यदि वह $1$ की ओर जाता है; तुल्यता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, और $f \sim g$ यदि और केवल यदि $f - g = \operatorname{o}(g)$।

       उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित. सिद्ध किया गया: तुल्य अनंतसूक्ष्म और अनंतबृहत् फलन.

   31. तुल्यों का प्रतिस्थापन. यदि $f \sim f_1$ और $g \sim g_1$, $P$ पर, तो $\frac{f h}{g}$ की सीमा, परिमित या अनंत, तब और केवल तब होती है जब $\frac{f_1 h}{g_1}$ की सीमा हो, और दोनों सीमाएँ बराबर हैं; प्रमेय गुणकों के लिए मान्य है, योग के पदों के लिए नहीं।

       उपयोग करती है: 6. सीमाओं का बीजगणित, 18. अनंत सीमाओं के नियम, 30. फलनों की तुलना. सिद्ध किया गया: तुल्य अनंतसूक्ष्म और अनंतबृहत् फलन.

   32. एक ही चिह्न वाले तुल्यों का योग. यदि $f_1 \sim g_1$ और $f_2 \sim g_2$, $P$ पर, और $g_1$ तथा $g_2$, $P$ के निकट दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक हैं, तो $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$।

       उपयोग करती है: 4. तीन प्रमेयिकाएँ, 10. सैंडविच प्रमेय, 30. फलनों की तुलना. आधार: C (परिबंध कसौटी). सिद्ध किया गया: तुल्य अनंतसूक्ष्म और अनंतबृहत् फलन.

   33. तुल्यों की सारणी. $0$ पर $\sin x$, $\tan x$, $\arctan x$, $e^x - 1$ और $\ln(1 + x)$, फलन $x$ के तुल्य हैं; साथ ही $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, $a^x - 1 \sim x \ln a$ और $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$; और हर बहुपद अपने न्यूनतम घात वाले पद के तुल्य है; ये तुल्यताएँ तब भी सत्य हैं जब $0$ की ओर जाने वाला और शून्य न होने वाला कोई भी फलन $x$ के स्थान पर रखा जाए।

       उपयोग करती है: 7. बहुपद, मूल और घातें, 12. आधारभूत सीमा, 27. महत्वपूर्ण सीमाएँ. आधार: E (चर परिवर्तन). सिद्ध किया गया: तुल्य अनंतसूक्ष्म और अनंतबृहत् फलन.

अवकलज की ओर. शृंखला वहाँ रुकती है जहाँ सीमा अध्ययन का विषय नहीं रहती और उपकरण बन जाती है: आगे की इकाई अवकलज को वृद्धि-अनुपात की सीमा के रूप में परिभाषित करती है, उसके नियम सीमाओं के बीजगणित और संघटन से, प्रारंभिक फलनों के अवकलज महत्वपूर्ण सीमाओं से, और मध्यवर्ती मान प्रमेय चिह्न संरक्षण और पूर्णता से प्राप्त करती है।