फलन की सीमा के रूप में अवकलज

सारांश

यह पाठ किसी बिंदु पर फलन के अवकलज को एक सीमा के रूप में परिभाषित करता है: छेदक रेखाओं की प्रवणताओं की सीमा, जो स्पर्श रेखा की प्रवणता है, और औसत वेगों की सीमा, जो तात्क्षणिक वेग है। यह स्पष्ट करता है कि परिभाषा किन बिंदुओं पर सार्थक है, एकपक्षीय अवकलज, स्पर्श रेखा और अभिलंब, अवकलज फलन और लाइबनिज़ संकेतन प्रस्तुत करता है, और सिद्ध करता है कि अवकलज के तीन तुल्य सूत्रण हैं: अंतर-भागफल की सीमा, नगण्य त्रुटि वाली रेखा द्वारा सन्निकटन, और काराथेओडोरी गुणनखंडन। अंतिम सूत्रण से निकलता है कि प्रत्येक अवकलनीय फलन संतत है; निरपेक्ष मान और घनमूल दिखाते हैं कि इसका विलोम असत्य है।

अधिगम उद्देश्य

किसी बिंदु पर फलन के अवकलज को अंतर-भागफल की सीमा के रूप में परिभाषित करना, और उसकी व्याख्या स्पर्श रेखा की प्रवणता तथा तात्क्षणिक वेग के रूप में करना।
एकपक्षीय अवकलज परिकलित करना और उनकी सहायता से तय करना कि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है या नहीं।
अंतर-भागफल, रैखिक सन्निकटन और काराथेओडोरी अभिलक्षण की तुल्यता सिद्ध करना।
सिद्ध करना कि किसी बिंदु पर अवकलनीय प्रत्येक फलन उस बिंदु पर संतत है, और ऐसे संतत फलनों को पहचानना जो अवकलनीय नहीं हैं।

स्पर्श रेखा और वेग

परवलय का समीकरण वाले पाठ में, कोई रेखा किसी बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा तब होती है जब वह वक्र को केवल उसी बिंदु पर छूती है और उसे पार नहीं करती। यह विचार शंकु परिच्छेदों के लिए पर्याप्त है, पर हर वक्र के लिए नहीं। मूल बिंदु पर वक्र $y = x^3$ बाईं ओर क्षैतिज अक्ष के नीचे और दाईं ओर उसके ऊपर रहता है: मूल बिंदु से होकर जाने वाली हर रेखा उसे पार करती है, और रेखाएँ $y = mx$ , जहाँ $m < 0$ , उसे केवल मूल बिंदु पर छूती हैं, क्योंकि $x^3 = mx$ के लिए $x = 0$ या $x^2 = m$ आवश्यक है। कोई भी रेखा यह शर्त पूरी नहीं करती, फिर भी देखने में क्षैतिज अक्ष ही वह रेखा है जो मूल बिंदु के पास वक्र का सबसे अच्छा साथ देती है। इसलिए एक दूसरी परिभाषा चाहिए, जो वक्र के समग्र आकार पर नहीं, बल्कि केवल उस बिंदु के पास होने वाली बातों पर निर्भर हो।

यह विचार पुराना है: स्पर्श रेखा छेदक रेखाओं की सीमांत स्थिति है। एक फलन $f$ और उसके आलेख का एक बिंदु $(a, f(a))$ लें। $h \neq 0$ के लिए, $(a, f(a))$ और $(a + h, f(a + h))$ से होकर जाने वाली छेदक रेखा की प्रवणता है

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

जब $h$ , $0$ के निकट आता है, तो दूसरा बिंदु पहले के निकट आता है, और यदि प्रवणताओं की सीमा हो, तो $(a, f(a))$ से होकर उस प्रवणता वाली रेखा स्पर्श रेखा की प्रत्याशी है।

उदाहरणपरवलय की छेदक रेखाएँ

मान लें $f(x) = x^2$ और $a = 1$ । हम बिंदु $(1, 1)$ से होकर जाने वाली कुछ छेदक रेखाओं की प्रवणताएँ परिकलित करते हैं और फिर उनकी सीमा। चित्र हर छेदक रेखा और अंत में स्पर्श रेखा दिखाता है।

प्रमाण

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
$h = 1$ के लिए, छेदक रेखा $(1, 1)$ और $(2, 4)$ से होकर जाती है।
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
$h = \frac{1}{2}$ के लिए, दूसरा बिंदु $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ है और प्रवणता घटती है।
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
व्यापक रूप से, प्रत्येक $h \neq 0$ के लिए, धनात्मक हो या ऋणात्मक, प्रवणता सरल हो जाती है; $h = \frac{1}{4}$ के लिए उसका मान $\frac{9}{4}$ है।
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
जब $h$ , $0$ की ओर अग्रसर होता है, प्रवणता $2$ की ओर अग्रसर होती है। $(1, 1)$ से होकर जाने वाली प्रवणता $2$ की रेखा स्पर्श रेखा है; यह वही रेखा है जो परवलय वाले पाठ की स्पर्श रेखा वाली प्रमेयिका ने दी थी, जहाँ $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ ।

यही सीमा किसी गति के अध्ययन में भी आती है। यदि $s(t)$ किसी रेखा पर चलते बिंदु की क्षण $t$ पर स्थिति है, तो भागफल $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ क्षणों $t_0$ और $t_0 + h$ के बीच उसका औसत वेग है: विस्थापन को लगे समय से भाग देने पर मिलने वाली राशि। क्षण $t_0$ पर वेग, जो वेगमापी दिखाता, औसत वेगों की सीमा है जब $h$ , $0$ की ओर अग्रसर होता है। उदाहरण के लिए, यदि $s(t) = t^2 - 4t$ , तो $1$ और $1 + h$ के बीच औसत वेग $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ है, जो $-2$ की ओर अग्रसर होता है: क्षण $1$ पर बिंदु प्रति मात्रक समय दो मात्रक लंबाई की दर से बाईं ओर चल रहा है। दोनों प्रश्न, स्पर्श रेखा का और वेग का, एक ही सीमा तक ले जाते हैं, और आगे यही सीमा परिभाषित की जाती है।

किसी बिंदु पर अवकलज

फलन की सीमा वाले पाठ की तरह, पहले यह स्पष्ट करना होता है कि सीमा कहाँ सार्थक है। भागफल को मान $f(a)$ चाहिए, इसलिए $a$ को प्रांत में होना चाहिए; और जब $x$ , $a$ की ओर अग्रसर हो तब की सीमा के लिए आवश्यक है कि $a$ प्रांत का संचय बिंदु हो।

परिभाषाकिसी बिंदु पर फलन का अवकलज

मान लें $f$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $A$ पर परिभाषित एक वास्तविक फलन है, और $a$ , $A$ का एक अवयव है जो $A$ का संचय बिंदु है। $f$ का $a$ पर अंतर-भागफल फलन $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ है, जो उन $x$ के लिए परिभाषित है जो $A$ में हैं और $a$ से अलग हैं। कहा जाता है कि $f$ , $a$ पर अवकलनीय है यदि अंतर-भागफल की एक वास्तविक सीमा $L$ हो जब $x$ , $a$ की ओर अग्रसर होता है; यह संख्या $f$ का $a$ पर अवकलज है, और इसे $f'(a)$ लिखा जाता है:

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

भागफल $A \setminus \{a\}$ पर परिभाषित है, और $a$ इस समुच्चय का संचय बिंदु है, क्योंकि संचय बिंदु की परिभाषा केवल $a$ से अलग अवयवों को देखती है। सीमा की अद्वितीयता से, अवकलज यदि अस्तित्व में हो तो अद्वितीय है। प्रांत के किसी विलगित बिंदु पर अवकलज परिभाषित नहीं किया जाता, यद्यपि हर फलन वहाँ संतत होता है। और यदि भागफल $\infty$ या $-\infty$ की ओर अग्रसर हो, तो फलन $a$ पर अवकलनीय नहीं है: अवकलज एक वास्तविक संख्या है। परिभाषा प्रायः वृद्धि $h = x - a$ से लिखी जाती है, बिंदु $x$ के स्थान पर, जैसा उदाहरण में।

साध्यअवकलज का वृद्धि-रूप

परिभाषा की परिकल्पनाओं के साथ, और $f(a + h)$ को केवल वहीं लेते हुए जहाँ वह परिभाषित है:

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

यह चर-प्रतिस्थापन $x = a + h$ है, जिसे एकपक्षीय सीमाएँ वाले पाठ के स्थानांतरण और परावर्तन वाले साध्य ने एक पक्ष के लिए किया था, और अब यह दोनों पक्षों के लिए एक साथ किया जाता है।

प्रमाण

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
मान लें $Q(x)$ अंतर-भागफल है। फलन $g(h) = a + h$ , उन $h \neq 0$ के लिए जिनके लिए $a + h$ , $A$ में है, $a$ की ओर अग्रसर होता है, मान $a$ नहीं लेता, और उसके मान $Q$ के प्रांत में हैं। सीमाओं का बीजगणित वाले पाठ के संघटन की सीमा वाले प्रमेय से, यदि $Q$ , $L$ की ओर अग्रसर हो ( $a$ पर), तो $Q(a + h)$ भी $L$ की ओर अग्रसर होता है ( $0$ पर)।
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
विलोमतः, फलन $x - a$ , उन $x$ के लिए जो $A$ में हैं और $a$ से अलग हैं, $0$ की ओर अग्रसर होता है और मान $0$ नहीं लेता; $h \mapsto Q(a + h)$ के साथ संघटन करने पर यह भागफल $Q(x)$ देता है, जो उसी सीमा की ओर अग्रसर होता है।

पहले अवकलज सीधे परिकलित होते हैं। यदि $f(x) = mx + b$ , तो अंतर-भागफल का मान $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ है, प्रत्येक $h \neq 0$ के लिए, और उसकी सीमा $m$ है: किसी रैखिक फलन का अवकलज हर बिंदु पर उसकी प्रवणता है, और उसकी स्पर्श रेखा स्वयं वही रेखा है। विशेष रूप से, अचर का अवकलज $0$ है और तत्समक फलन $f(x) = x$ का अवकलज $1$ है। $f(x) = x^2$ के लिए, उदाहरण का परिकलन, $a$ को $1$ के स्थान पर रखकर, $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ देता है, और अवकलज $2a$ है।

एकपक्षीय अवकलज

किसी अंतराल के अंत्य बिंदुओं पर, या किसी ऐसे बिंदु पर जहाँ फलन का सूत्र बदलता है, अंतर-भागफल को हर पक्ष पर अलग-अलग देखना उचित है।

परिभाषाएकपक्षीय अवकलज

मान लें $a$ , $A$ का एक अवयव है जो $A \cap \ioo{a}{\infty}$ का संचय बिंदु है। कहा जाता है कि $f$ , $a$ पर दाएँ पक्ष से अवकलनीय है यदि अंतर-भागफल की $a$ पर दाएँ पक्ष से वास्तविक सीमा हो; यह सीमा दाएँ पक्ष का अवकलज $f'_+(a)$ है:

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

इसी प्रकार, यदि $a$ , $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ का संचय बिंदु है, तो बाएँ पक्ष का अवकलज $f'_-(a)$ अंतर-भागफल की बाएँ पक्ष से सीमा है, शर्त $a - \delta < x < a$ के साथ।

साध्यअवकलज और एकपक्षीय अवकलज

मान लें $a$ , $A$ का एक अवयव है।

यदि $a$ , $A \cap \ioo{a}{\infty}$ का और $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ का संचय बिंदु है, तो $f$ , $a$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि दोनों एकपक्षीय अवकलज अस्तित्व में हों और बराबर हों; उस स्थिति में $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ ।
यदि $a$ , $A$ के केवल एक पक्ष वाले बिंदुओं का संचय बिंदु है, तो $f$ , $a$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि वह उस पक्ष से अवकलनीय है, और अवकलज वही एकपक्षीय अवकलज है।

किसी नई युक्ति की आवश्यकता नहीं: एकपक्षीय अवकलज अंतर-भागफल की एकपक्षीय सीमाएँ हैं, और एकपक्षीय सीमाओं वाला पाठ उन्हें सीमा से पहले ही जोड़ चुका है।

प्रमाण

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
पहली स्थिति में, सीमा और एकपक्षीय सीमाओं वाला प्रमेय, अंतर-भागफल पर लागू करने पर, तुल्यता देता है।
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
दूसरी स्थिति में, उसी पाठ ने देखा था कि जब $a$ प्रांत के केवल एक पक्ष वाले बिंदुओं का संचय बिंदु हो, तो सीमा और उस पक्ष की एकपक्षीय सीमा मेल खाती हैं: ऐसा $r > 0$ विद्यमान है कि सभी $x$ , जो $A$ में हैं और $0 < \abs{x - a} < r$ को संतुष्ट करते हैं, उसी पक्ष में हैं।

उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान का $0$ पर अंतर-भागफल $\frac{\abs{x}}{x}$ है, जिसका मान $1$ है यदि $x > 0$ और $-1$ है यदि $x < 0$ : उसके एकपक्षीय अवकलज $f'_+(0) = 1$ और $f'_-(0) = -1$ हैं, जो अलग हैं, और $\abs{x}$ , $0$ पर अवकलनीय नहीं है। इसके विपरीत, यदि कोई फलन $\icc{0}{1}$ पर परिभाषित है, तो $0$ पर उसका अवकलज उसका दाएँ पक्ष का अवकलज है, और $1$ पर उसका बाएँ पक्ष का अवकलज: परिभाषा प्रांत के अंत्य बिंदुओं को पहले से ही एकमात्र पक्ष वाले बिंदुओं की तरह लेती है। उदाहरण के लिए, $f(x) = x$ , जिसे $\icc{0}{1}$ तक प्रतिबंधित किया गया है, $0$ पर अवकलनीय है, और $f'(0) = 1$ ।

स्पर्श रेखा और अभिलंब

अवकलज के साथ, स्पर्श रेखा आँख से पहचानी जाने वाली आकृति नहीं रहती और परिकलित की जाने वाली रेखा बन जाती है।

परिभाषास्पर्श रेखा और अभिलंब

मान लें $f$ , $a$ पर अवकलनीय है। $f$ के आलेख की बिंदु $(a, f(a))$ पर स्पर्श रेखा वह रेखा है जो उस बिंदु से होकर प्रवणता $f'(a)$ के साथ जाती है:

y = f(a) + f'(a)(x - a)

उसी बिंदु पर अभिलंब वह रेखा है जो उस बिंदु से होकर जाती है और स्पर्श रेखा पर लंब है: यदि $f'(a) \neq 0$ , तो यह रेखा $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ है, और यदि $f'(a) = 0$ , तो यह ऊर्ध्वाधर रेखा $x = a$ है।

अभिलंब की प्रवणता रेखा का समीकरण वाले पाठ के लंब रेखाओं वाले प्रमेय से मिलती है: दो अनूर्ध्वाधर रेखाएँ परस्पर लंब हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ हो। वक्र $y = x^3$ पर लौटें तो $0$ पर उसका अंतर-भागफल $x^2$ है, जो $0$ की ओर अग्रसर होता है: मूल बिंदु पर स्पर्श रेखा क्षैतिज अक्ष है, यद्यपि वह वक्र को पार करती है। जब $f$ , $a$ पर संतत हो और अंतर-भागफल $\infty$ या $-\infty$ की ओर अग्रसर हो, तो छेदक रेखाएँ ऊर्ध्वाधर स्थिति के निकट आती हैं; तब कहा जाता है कि आलेख की $(a, f(a))$ पर एक ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा है, रेखा $x = a$ , यद्यपि $f$ , $a$ पर अवकलनीय नहीं है।

इसी प्रकार, यदि $s(t)$ किसी रेखा पर चलते बिंदु की स्थिति है, तो क्षण $t_0$ पर उसका वेग $s'(t_0)$ है, यदि वह अस्तित्व में हो। उसका चिह्न गति की दिशा बताता है, और उसका निरपेक्ष मान चाल। परिवर्तन की दरें वाला पाठ इस व्याख्या को आगे बढ़ाएगा।

अवकलज फलन और लाइबनिज़ संकेतन

प्रत्येक बिंदु जिस पर $f$ अवकलनीय है, एक संख्या देता है: उस बिंदु पर उसका अवकलज। इन सबसे एक नया फलन बनता है।

परिभाषाअवकलज फलन

मान लें $f$ , $A$ पर परिभाषित एक फलन है। $f$ का अवकलज फलन वह फलन $f'$ है जो प्रत्येक बिंदु $x$ को, जो $A$ में है और जिस पर $f$ अवकलनीय है, संख्या $f'(x)$ नियत करता है; उसका प्रांत उन बिंदुओं का समुच्चय है। यदि $f$ किसी समुच्चय $S$ के, जो $A$ में समाहित है, सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है, तो कहा जाता है कि वह $S$ पर अवकलनीय है; और यदि वह अपने पूरे प्रांत पर अवकलनीय हो, तो केवल यह कि वह अवकलनीय है।

उदाहरण के लिए, $x^2$ का अवकलज फलन $2x$ है, जो पूरे $\mathbb{R}$ पर परिभाषित है; निरपेक्ष मान का अवकलज $1$ है, $\ioo{0}{\infty}$ पर, और $-1$ है, $\ioo{-\infty}{0}$ पर, और उसके प्रांत में $0$ नहीं है। संकेतन $f'$ , प्राइम सहित, लाग्रांज की देन है। दूसरा प्रचलित संकेतन लाइबनिज़ की देन है: यदि $y = f(x)$ , तो अवकलज $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ या $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ लिखा जाता है, और $x$ के सापेक्ष अवकलन की संक्रिया अवकलित किए जाने वाले व्यंजक के आगे $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ लिखकर व्यक्त की जाती है:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

यह संकेतन याद दिलाता है कि अवकलज कहाँ से आता है। यदि $\Delta x$ चर की वृद्धि है और $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ फलन की संगत वृद्धि, तो अंतर-भागफल $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ है, और अवकलज उसकी सीमा है:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

इस बात पर बल देना उचित है कि अभी $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ एक ही प्रतीक है, भागफल नहीं: $\mathrm{d}y$ और $\mathrm{d}x$ का अभी अलग-अलग कोई अर्थ नहीं है; उन्हें अर्थ उच्च कोटि के अवकलज और अवकल वाले पाठ में मिलेगा। संकेतन उस चर को स्पष्ट करता है जिसके सापेक्ष अवकलन किया जाता है: यदि स्थिति समय पर निर्भर है, तो वेग $s'(t)$ या $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ लिखा जाता है।

अवकलज के तीन अभिलक्षण

परिभाषा कहती है कि अंतर-भागफल $f'(a)$ की ओर अग्रसर होता है। यही बात कहने के दो और तरीके हैं, हर एक अलग उद्देश्य के लिए उपयोगी: दूसरा फलन की तुलना उसकी स्पर्श रेखा से करता है; तीसरा भाग देने से बचता है।

प्रमेयअवकलज के अभिलक्षण

मान लें $f$ , $A$ पर परिभाषित एक फलन है, $a$ , $A$ का एक अवयव है जो $A$ का संचय बिंदु है, और $L$ एक वास्तविक संख्या है। निम्नलिखित तीन कथन तुल्य हैं:

अंतर-भागफल। $f$ , $a$ पर अवकलनीय है और $f'(a) = L$ ।
रैखिक सन्निकटन। $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ जब $h$ , $0$ की ओर अग्रसर हो; अर्थात शेषफल $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ , $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ को संतुष्ट करता है।
काराथेओडोरी। एक फलन $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ विद्यमान है, जो $a$ पर संतत है, $\varphi(a) = L$ के साथ, ऐसा कि $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ प्रत्येक $x$ के लिए, जो $A$ में है।

छोटा $\operatorname{o}$ वही है जो तुल्य अनंतसूक्ष्म और अनंतबृहत् फलन वाले पाठ में है, जहाँ $f(a + h)$ को केवल वहीं लिया जाता है जहाँ वह परिभाषित है। फलन $\varphi$ छेदक रेखा की प्रवणता है, जिसे $a$ पर अवकलज से पूरा किया गया है। चित्र, $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ और $a = 1$ के साथ, वक्र और स्पर्श रेखा के बीच का शेषफल, एक छेदक रेखा और अंत में $\varphi$ का आलेख दिखाता है, जो इस स्थिति में रेखा $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ है।

प्रमाण

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
पहला और दूसरा: शेषफल को $h$ से भाग देने पर मिला भागफल, अंतर-भागफल में से $L$ घटाने पर मिलता है। सीमाओं के बीजगणित वाले पाठ की शून्य की ओर अग्रसर दूरी के रूप में सीमा वाली प्रमेयिका से, यह भागफल $0$ की ओर अग्रसर होता है यदि और केवल यदि अंतर-भागफल $L$ की ओर अग्रसर हो, और वृद्धि-रूप से यह $f'(a) = L$ के तुल्य है।
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
पहले से तीसरे तक: $\varphi$ को $a$ के बाहर अंतर-भागफल के रूप में, और मान $L$ के रूप में, $a$ पर, परिभाषित करते हैं। समता हर $x \neq a$ पर परिभाषा से सत्य है, और $x = a$ पर इसलिए कि उसके दोनों ओर के व्यंजक $0$ के बराबर हैं। चूँकि $a$ , $A$ का संचय बिंदु है और $\varphi$ की $a$ पर सीमा $L = \varphi(a)$ है, इसलिए सीमा और सांतत्य वाले पाठ का सांतत्य और सीमा वाला साध्य $\varphi$ का $a$ पर सांतत्य देता है।
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
तीसरे से पहले तक: यदि $x \neq a$ , तो $x - a$ से भाग देते हैं, और अंतर-भागफल $\varphi$ का $A \setminus \{a\}$ तक प्रतिबंध है। चूँकि $\varphi$ , $a$ पर संतत है, उसी साध्य से वह $\varphi(a) = L$ की ओर अग्रसर होता है, और सीमाओं के बीजगणित वाले पाठ की प्रतिबंध की सीमा वाली प्रमेयिका से अंतर-भागफल भी।

तीसरे अभिलक्षण का फलन $\varphi$ , यदि अस्तित्व में हो, अद्वितीय है: $a$ के बाहर वह अंतर-भागफल है, और $a$ पर उसका मान उस भागफल की सीमा है। दूसरा अभिलक्षण समझाता है कि किस अर्थ में स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वक्र का सबसे अच्छा साथ देती है। यदि $f(a + h)$ के स्थान पर $f(a) + mh$ रखा जाए, जहाँ प्रवणता $m$ , $f'(a)$ से अलग है, तो त्रुटि $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ है, जिसका $h$ से भागफल $f'(a) - m \neq 0$ की ओर अग्रसर होता है: वह $h$ की समान कोटि की है। केवल प्रवणता $f'(a)$ के साथ त्रुटि $h$ की तुलना में नगण्य है। तीसरे अभिलक्षण का एक तकनीकी लाभ है: यह गुणनफलों के बीच एक समता है, बिना भाग के। अवकलन के नियम और शृंखला नियम वाले पाठ इसका उपयोग करेंगे, ताकि शून्य हो सकने वाली राशियों से भाग न देना पड़े। पहला परिणाम तुरंत मिलता है।

प्रमेयअवकलनीयता से सांतत्य

यदि $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, तो $f$ , $a$ पर संतत है। काराथेओडोरी गुणनखंडन $f$ को $a$ पर संतत फलनों के बीच संक्रियाओं से लिखता है।

प्रमाण

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
अभिलक्षणों वाले प्रमेय से, एक $\varphi$ विद्यमान है, जो $a$ पर संतत है, ऐसा कि $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ प्रत्येक $x$ के लिए, जो $A$ में है।
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
अचर $f(a)$ और बहुपद $x - a$ , $a$ पर संतत हैं, और $\varphi$ भी। सीमा और सांतत्य वाले पाठ के संतत फलनों पर संक्रियाओं वाले प्रमेय से, अचर और गुणनफल का योग $a$ पर संतत है।

विलोम असत्य है। सांतत्य माँगता है कि $f(x) - f(a)$ , $0$ की ओर अग्रसर हो; अवकलनीयता अधिक माँगती है: कि $x - a$ से उसके भागफल की सीमा हो, अर्थात वह $0$ की ओर कम से कम $x - a$ जितनी तेज़ी से अग्रसर हो और अलग-अलग प्रवणताओं के बीच दोलन न करे।

साध्यअवकलनीयता के बिना सांतत्य

निरपेक्ष मान और घनमूल $0$ पर संतत हैं और $0$ पर अवकलनीय नहीं हैं: पहले के एकपक्षीय अवकलज अलग हैं, और दूसरे का अंतर-भागफल $\infty$ की ओर अग्रसर होता है, इसलिए उसके आलेख की मूल बिंदु पर एक ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा है। दोनों सीमा और सांतत्य वाले पाठ के ज्ञात संतत फलनों वाले उपप्रमेय से संतत हैं। चित्र निरपेक्ष मान में दोनों एकपक्षीय प्रवणताएँ और घनमूल में क्रमशः अधिक खड़ी होती छेदक रेखाएँ दिखाता है।

प्रमाण

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
निरपेक्ष मान का $0$ पर अंतर-भागफल दाईं ओर $1$ और बाईं ओर $-1$ है। एकपक्षीय अवकलज अलग हैं और, अवकलज और एकपक्षीय अवकलजों वाले साध्य से, $\abs{x}$ , $0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
घनमूल का $0$ पर अंतर-भागफल $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ का व्युत्क्रम है, जो $x \neq 0$ होने पर धनात्मक है और मूल के सांतत्य से $0$ की ओर अग्रसर होता है। अनंत सीमाएँ वाले पाठ की व्युत्क्रम प्रमेयिका से, भागफल $\infty$ की ओर अग्रसर होता है, और उसकी कोई वास्तविक सीमा नहीं है।

दोनों फलन केवल एक बिंदु पर विफल होते हैं, पर ऐसे फलन हैं जो पूरी रेखा पर संतत हैं और किसी भी बिंदु पर अवकलनीय नहीं हैं; वायरस्ट्रास ने 1872 में सबसे प्रसिद्ध उदाहरण प्रस्तुत किया, जिसकी रचना इस पाठ्यक्रम की सीमा से बाहर है।

हल किए गए प्रश्न

प्रश्न कठिनाई के क्रम में बढ़ते हैं: पहला एक ऐसा अवकलज परिकलित करता है जो प्रांत के छोर पर अस्तित्व में नहीं रहता; दूसरा स्पर्श रेखा से अतिपरवलय का एक गुणधर्म खोजता है; तीसरा दिखाता है कि एकपक्षीय अवकलजों का अस्तित्व न होना संभव है; चौथा, कि कोई फलन केवल एक बिंदु पर अवकलनीय हो सकता है; और अंतिम काराथेओडोरी गुणनखंडन को एकपक्षीय अवकलजों के साथ जोड़ता है।

हल किया गया प्रश्न 1अपने प्रांत के छोर पर वर्गमूल

$f(x) = \sqrt{x}$ की अवकलनीयता का अध्ययन करें, जो $\ico{0}{\infty}$ पर परिभाषित है, और भुज $4$ वाले बिंदु पर स्पर्श रेखा ज्ञात करें।

हल

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
यदि $a > 0$ , तो अंतर-भागफल $\frac{0}{0}$ प्रकार का अनिर्धार्य रूप है; संयुग्मी व्यंजक से गुणा और भाग करते हैं।
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
मूल के सांतत्य से हर $2\sqrt{a} \neq 0$ की ओर अग्रसर होता है, और सीमाओं के बीजगणित वाले पाठ के व्युत्क्रम की सीमा वाले प्रमेय से भागफल $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ की ओर अग्रसर होता है। $a = 4$ पर अवकलज $\frac{1}{4}$ है और स्पर्श रेखा $(4, 2)$ से होकर जाती है।
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
$a = 0$ पर प्रांत के बिंदु केवल दाईं ओर हैं, और अवकलज और एकपक्षीय अवकलजों वाले साध्य से अवकलज दाएँ पक्ष का अवकलज है। भागफल $\frac{1}{\sqrt{h}}$ है, और चूँकि $\sqrt{h}$ धनात्मक है और $0$ की ओर अग्रसर होता है, व्युत्क्रम प्रमेयिका $\infty$ देती है।
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
अतः $\sqrt{x}$ , $\ioo{0}{\infty}$ पर अवकलनीय है और $0$ पर नहीं, जहाँ वह संतत है और उसके आलेख की ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा $x = 0$ है। अवकलज फलन का प्रांत फलन के प्रांत से छोटा है।

हल किया गया प्रश्न 2अतिपरवलय की स्पर्श रेखा

सिद्ध करें कि $y = \frac{1}{x}$ की किसी बिंदु $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ पर, जहाँ $a > 0$ , स्पर्श रेखा अक्षों के साथ क्षेत्रफल $2$ का त्रिभुज बनाती है, $a$ चाहे जो हो, और स्पर्श बिंदु उस रेखाखंड का मध्य बिंदु है जिसे अक्ष स्पर्श रेखा पर काटते हैं।

हल

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
भिन्नों को घटाने पर अंतर-भागफल सरल हो जाता है; व्युत्क्रम की सीमा वाले प्रमेय से उसकी सीमा $-\frac{1}{a^2}$ है।
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
स्पर्श रेखा इस प्रवणता के साथ $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ से होकर जाती है।
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
$y = 0$ रखने पर क्षैतिज अक्ष से प्रतिच्छेद मिलता है, और $x = 0$ रखने पर ऊर्ध्वाधर अक्ष से। दोनों का मध्य बिंदु स्पर्श बिंदु है।
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ $2a$ और $\frac{2}{a}$ अक्षों पर हैं। उसका क्षेत्रफल $a$ पर निर्भर नहीं करता: चित्र ऐसे दो त्रिभुज दिखाता है, जिनके आकार अलग हैं और क्षेत्रफल समान।

हल किया गया प्रश्न 3संतत और एकपक्षीय अवकलजों के बिना

मान लें $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ और $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ , $x \neq 0$ के लिए, और $f(0) = g(0) = 0$ । सिद्ध करें कि $f$ , $0$ पर संतत है और $0$ पर उसका न अवकलज है न एकपक्षीय अवकलज, और कि $g$ , $0$ पर अवकलनीय है, $g'(0) = 0$ के साथ।

हल

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
सीमा और सांतत्य वाले पाठ के हल किए गए प्रश्न 3 से $f$ , $0$ पर संतत है। $0$ पर उसका अंतर-भागफल $\sin \frac{1}{x}$ है।
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
सीमा वाले पाठ के अभ्यास प्रश्न 3 ने धनात्मक बिंदुओं के दो कुलों से सिद्ध किया था कि $\sin \frac{1}{x}$ की $0$ पर कोई सीमा नहीं है; उन बिंदुओं पर उसका मान $1$ और $-1$ है। वही विचार दाएँ पक्ष की सीमा को नकारता है; विपरीत बिंदुओं से, जिन पर मान $-1$ और $1$ है, बाएँ पक्ष की सीमा नकारी जाती है।
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
इसके विपरीत, $g$ का अंतर-भागफल $x \sin \frac{1}{x}$ है, एक परिबद्ध फलन और $0$ की ओर अग्रसर एक फलन का गुणनफल; सैंडविच प्रमेय वाले पाठ के प्रमेय से, वह $0$ की ओर अग्रसर होता है।
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
दोनों फलन $0$ के पास अनंत बार दोलन करते हैं। $f$ का दोलन $\abs{x}$ से परिबद्ध है, जो हर $x - 0$ की समान कोटि का है, और भागफल दोलन करता रहता है; $g$ का दोलन $x^2$ से परिबद्ध है, जो $x$ की तुलना में नगण्य है, और भागफल शांत हो जाता है।

हल किया गया प्रश्न 4केवल एक बिंदु पर अवकलनीय

मान लें $f$ वह फलन है जिसका मान $x^2$ है यदि $x$ परिमेय है और $0$ है यदि $x$ अपरिमेय है। सिद्ध करें कि $f$ , $0$ पर अवकलनीय है, $f'(0) = 0$ के साथ, और किसी अन्य बिंदु पर अवकलनीय नहीं है।

हल

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
मान लें $g$ सीमा और सांतत्य वाले पाठ के हल किए गए प्रश्न 5 का फलन है, जिसका मान परिमेयों पर $x$ और अपरिमेयों पर $0$ है। तब $f(x) = x \, g(x)$ प्रत्येक $x$ के लिए, दोनों स्थितियों में।
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
$0$ पर अंतर-भागफल $g(x)$ है, जो $g(0) = 0$ की ओर अग्रसर होता है क्योंकि उस प्रश्न ने सिद्ध किया था कि $g$ , $0$ पर संतत है।
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
मान लें $a \neq 0$ । यदि $f$ , $a$ पर संतत होता, तो $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ भी संतत होता, संतत फलनों पर संक्रियाओं के भागफल नियम से, $a$ पर शून्येतर हर के साथ; पर उसी प्रश्न ने सिद्ध किया था कि $g$ , $a$ पर असंतत है। अतः $f$ , $a$ पर असंतत है, और अवकलनीयता से सांतत्य वाले प्रमेय से, वह $a$ पर अवकलनीय नहीं है।

हल किया गया प्रश्न 5किसी अवकलनीय फलन का निरपेक्ष मान

मान लें $f$ एक ऐसे विवृत अंतराल पर परिभाषित फलन है जिसमें $a$ है, जो $a$ पर अवकलनीय है और जिसके लिए $f(a) = 0$ । सिद्ध करें कि $F = \abs{f}$ के $a$ पर एकपक्षीय अवकलज $\abs{f'(a)}$ और $-\abs{f'(a)}$ हैं, जिससे वह $a$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि $f'(a) = 0$ । इसे $\abs{\sin x}$ और $\abs{x^3}$ पर लागू करें, $0$ पर।

हल

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
काराथेओडोरी अभिलक्षण से, $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ , जहाँ $\varphi$ , $a$ पर संतत है और $\varphi(a) = f'(a)$ । निरपेक्ष मान लेने पर, गुणक $\abs{x - a}$ दाईं ओर $x - a$ और बाईं ओर $a - x$ है।
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
फलन $\abs{\varphi}$ संतत फलनों के संघटन से $a$ पर संतत है, और $\abs{f'(a)}$ की ओर अग्रसर होता है। अवकलज और एकपक्षीय अवकलजों वाले साध्य से, $F$ , $a$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि दोनों एकपक्षीय अवकलज बराबर हों, अर्थात यदि $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ ।
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
ज्या $\sin 0 = 0$ को संतुष्ट करती है, और $0$ पर उसका अंतर-भागफल $\frac{\sin x}{x}$ है, जो आधारभूत त्रिकोणमितीय सीमा से $1$ की ओर अग्रसर होता है: $\abs{\sin x}$ के $0$ पर एकपक्षीय अवकलज $1$ और $-1$ हैं, और वह अवकलनीय नहीं है। घन फलन का $0$ पर भागफल $x^2$ है, जो $0$ की ओर अग्रसर होता है: $\abs{x^3}$ , $0$ पर अवकलनीय है, अवकलज $0$ के साथ।

अभ्यास प्रश्न

प्रश्न कठिनाई के क्रम में बढ़ते हैं: पहला वृत्त और गोले की ज्यामिति में एक अवकलज पढ़ता है; दूसरा किसी दिए गए बिंदु से होकर जाने वाले अभिलंब खोजता है; तीसरा दिखाता है कि जहाँ फलन उछलता है वहाँ भी एकपक्षीय अवकलज विद्यमान हो सकता है; चौथा अवकलज से मिली स्पर्श रेखा की तुलना वृत्त की स्पर्श रेखा से करता है; और अंतिम एक ऐसे भागफल का अध्ययन करता है जो अवकलज जैसा दिखता है पर है नहीं। प्रत्येक के साथ एक संकेत है, जिसे स्वयं प्रयास करने के बाद ही खोलना अच्छा है।

अभ्यास प्रश्न 1वृत्त का क्षेत्रफल और गोले का आयतन

मान लें $A(r) = \pi r^2$ त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का क्षेत्रफल है और $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन। परिभाषा से $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ और $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ परिकलित करें, और प्रत्येक परिणाम को पहचानें।

संकेत

$(r + h)^2$ और $(r + h)^3$ का प्रसार करें और सीमा लेने से पहले अंतर-भागफल को सरल करें। क्षेत्रफल की वृद्धि चौड़ाई $h$ वाले वलय का क्षेत्रफल है।

उत्तर

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

ये वृत्त की परिधि और गोलीय पृष्ठ का क्षेत्रफल हैं।

अभ्यास प्रश्न 2किसी बिंदु से होकर जाने वाले अभिलंब

परवलय $y = x^2$ के वे सभी बिंदु ज्ञात करें जिनका अभिलंब बिंदु $(0, 1)$ से होकर जाता है, और वे अभिलंब लिखें।

संकेत

$(a, a^2)$ पर अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{2a}$ है यदि $a \neq 0$ ; शर्त रखें कि वह $(0, 1)$ से होकर जाए। स्थिति $a = 0$ को न भूलें, जिसमें अवकलज शून्य होता है और अभिलंब ऊर्ध्वाधर है।

उत्तर

तीन बिंदु: $(0, 0)$ , अभिलंब $x = 0$ के साथ, और $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , अभिलंबों $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ के साथ।

अभ्यास प्रश्न 3पूर्णांक भाग के एकपक्षीय अवकलज

सिद्ध करें कि पूर्णांक भाग, $E(x) = \lfloor x \rfloor$ , प्रत्येक अपूर्णांकीय वास्तविक संख्या पर अवकलनीय है, अवकलज $0$ के साथ, और प्रत्येक पूर्णांक $n$ पर उसका दाएँ पक्ष का अवकलज $0$ है, पर बाएँ पक्ष का अवकलज नहीं है। क्या यह अवकलनीयता से सांतत्य वाले प्रमेय के विरुद्ध है?

संकेत

किसी पूर्णांक $n$ पर, दाईं ओर फलन का मान $n$ है, और बाईं ओर $n - 1$ : अंतर-भागफल दाईं ओर $0$ और बाईं ओर $\frac{-1}{x - n}$ है। अंतिम प्रश्न के लिए, प्रमेय की परिकल्पना की तुलना $n$ पर होने वाली स्थिति से करें।

उत्तर

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

कोई विरोध नहीं है: फलन $n$ पर अवकलनीय नहीं है; दाएँ पक्ष का अवकलज केवल दाएँ पक्ष का सांतत्य देता है (प्रमेय, $E$ के $\ico{n}{\infty}$ तक प्रतिबंध पर लागू), जो पूरा होता है।

अभ्यास प्रश्न 4वृत्त की स्पर्श रेखा

मान लें $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ , केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $1$ वाला ऊपरी अर्धवृत्त है। $f'(a)$ परिकलित करें, जहाँ $-1 < a < 1$ , सिद्ध करें कि स्पर्श रेखा उस त्रिज्या पर लंब है जो मूल बिंदु को $(a, f(a))$ से जोड़ती है, जैसा वृत्त वाले पाठ में, और अध्ययन करें कि $a = \pm 1$ पर क्या होता है।

संकेत

अंतर-भागफल को $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ से गुणा और भाग करें। यदि $a \neq 0$ , तो त्रिज्या की प्रवणता $\frac{f(a)}{a}$ है; यदि $a = 0$ , तो वह ऊर्ध्वाधर है। $a = 1$ पर प्रांत के बिंदु केवल बाईं ओर हैं।

उत्तर

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

$a = 0$ पर स्पर्श रेखा क्षैतिज है और त्रिज्या ऊर्ध्वाधर। $a = 1$ पर भागफल $-\infty$ की ओर अग्रसर होता है, और $a = -1$ पर $\infty$ की ओर: $f$ , $\pm 1$ पर अवकलनीय नहीं है, और उसके आलेख की वहाँ ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाएँ हैं।

अभ्यास प्रश्न 5सममित अंतर-भागफल

मान लें $f$ एक ऐसे विवृत अंतराल पर परिभाषित है जिसमें $a$ है। सिद्ध करें कि यदि $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, तो $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ । $f(x) = \abs{x}$ के साथ, $a = 0$ पर, सिद्ध करें कि यह सीमा विद्यमान हो सकती है बिना $f$ के अवकलनीय हुए।

संकेत

$h$ के लिए और $-h$ के लिए रैखिक सन्निकटन लिखें और उन्हें घटाएँ: शेषफल $\operatorname{o}(h)$ देते हैं। निरपेक्ष मान के लिए अंश $\abs{h} - \abs{-h}$ है।

उत्तर

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

निरपेक्ष मान का सममित अंतर-भागफल $0$ है, $0$ पर, और वह वहाँ अवकलनीय नहीं है।

विस्तृत हल

हल

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
रैखिक सन्निकटन से, $L = f'(a)$ के साथ, शेषफल $R$ , $\frac{R(h)}{h} \to 0$ को संतुष्ट करता है। $h$ के स्थान पर $-h$ रखने पर, संघटन की सीमा वाले प्रमेय से, $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ भी।
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
दोनों समताओं को घटाते हैं और $2h$ से भाग देते हैं; रैखिक संयोजन की सीमा वाले प्रमेय से, शेषफलों के दोनों भागफल $0$ देते हैं।
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
$0$ पर निरपेक्ष मान के लिए, अंश प्रत्येक $h$ के लिए शून्य है, और सममित अंतर-भागफल $0$ की ओर अग्रसर होता है; फिर भी एकपक्षीय अवकलज $1$ और $-1$ हैं। सममित अंतर-भागफल दोनों एकपक्षीय प्रवणताओं का औसत लेता है और कोने को छिपा देता है।

फलन की सीमा के रूप में अवकलज

सारांश

अधिगम उद्देश्य

स्पर्श रेखा और वेग

किसी बिंदु पर अवकलज

एकपक्षीय अवकलज

स्पर्श रेखा और अभिलंब

अवकलज फलन और लाइबनिज़ संकेतन

अवकलज के तीन अभिलक्षण

हल किए गए प्रश्न

अभ्यास प्रश्न

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इस पाठ पर प्रश्न