Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης και πεπλεγμένη παραγώγιση

Περίληψη

Αυτό το μάθημα αποδεικνύει ότι η αντίστροφη μιας συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο στο οποίο η συνάρτηση έχει μη μηδενική παράγωγο, και ότι η παράγωγός της είναι το αντίστροφο της παραγώγου της συνάρτησης, υπολογισμένης στο σημείο που της αντιστοιχεί: όταν η γραφική παράσταση ανακλάται ως προς την ευθεία y=xy = x, μια εφαπτομένη ευθεία με κλίση mm μετατρέπεται σε μια ευθεία με κλίση 1m\frac{1}{m}. Η απόδειξη χρησιμοποιεί τη συνέχεια της αντίστροφης, από το μάθημα για το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, και τον χαρακτηρισμό του Καραθεοδωρή· όπου η παράγωγος της συνάρτησης μηδενίζεται, η αντίστροφη δεν είναι παραγωγίσιμη. Με το θεώρημα παραγωγίζονται το τοξημίτονο, το τοξοσυνημίτονο, η τοξεφαπτομένη, οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις, οι ρίζες και οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Το δεύτερο μέρος του μαθήματος παραγωγίζει συναρτήσεις που ορίζονται από μια εξίσωση, όπως οι κλάδοι ενός κύκλου ή του φύλλου του Καρτέσιου, με την παραδοχή ότι η συνάρτηση υπάρχει και είναι παραγωγίσιμη, και δείχνει τι συμβαίνει όταν αυτή η παραδοχή δεν ισχύει.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύεται το θεώρημα της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης, και να εξηγείται γιατί η αντίστροφη δεν είναι παραγωγίσιμη όπου μηδενίζεται η παράγωγος της συνάρτησης.
  2. Να παραγωγίζονται οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις, οι ρίζες και οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη, μαζί με το σύνολο στο οποίο υπάρχει κάθε παράγωγος.
  3. Να παραγωγίζεται πεπλεγμένα μια συνάρτηση που ορίζεται από μια εξίσωση, με την παραδοχή ότι υπάρχει και είναι παραγωγίσιμη, και να βρίσκονται έτσι οι εφαπτόμενες καμπυλών που δεν είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.
  4. Να αναγνωρίζεται πότε η πεπλεγμένη παραγώγιση δεν αποφασίζει τίποτα: εξισώσεις που δεν ορίζουν καμία παραγωγίσιμη συνάρτηση και σημεία στα οποία μηδενίζεται ο συντελεστής της παραγώγου.

Η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης

Η γραφική παράσταση της αντίστροφης μιας ένα προς ένα συνάρτησης είναι η συμμετρική της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ως προς την ευθεία y=xy = x: το σημείο (a,b)(a, b) της πρώτης γίνεται το σημείο (b,a)(b, a) της δεύτερης. Η συμμετρία εναλλάσσει την οριζόντια και την κατακόρυφη προσαύξηση, έτσι ώστε μια τέμνουσα με κλίση mm μετατρέπεται σε τέμνουσα με κλίση 1m\frac{1}{m}, και αναμένεται το ίδιο για τις εφαπτόμενες. Το μάθημα για τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων το παρατήρησε σε μία περίπτωση: οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων της exe^x και της ln⁡x\ln x σε σημεία συμμετρικά ως προς την ευθεία y=xy = x έχουν αντίστροφες κλίσεις, eae^a και 1ea\frac{1}{e^a}.

Ένας γρήγορος υπολογισμός μάς οδηγεί στον γενικό τύπο. Αν η f−1f^{-1} ήταν παραγωγίσιμη, παραγωγίζοντας την ισότητα f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y με τον κανόνα της αλυσίδας θα παίρναμε f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1, και θα αρκούσε να διαιρέσουμε. Όμως αυτός ο υπολογισμός προϋποθέτει αυτό που πρέπει να αποδειχθεί, ότι η αντίστροφη είναι παραγωγίσιμη, και δεν λέει τι συμβαίνει αν f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0. Η περίπτωση υπάρχει: η x3x^3 είναι παραγωγίσιμη στο 00, με μηδενική παράγωγο, και η αντίστροφή της, η κυβική ρίζα, δεν είναι παραγωγίσιμη στο 00, από την πρόταση της συνέχειας χωρίς παράγωγο, του μαθήματος για την παράγωγο ως όριο. Το θεώρημα που ακολουθεί αποδεικνύει την παραγωγισιμότητα χωρίς να την προϋποθέτει, με τον χαρακτηρισμό του Καραθεοδωρή, που επιτρέπει να απομονωθεί η προσαύξηση της αντίστροφης χωρίς διαίρεση με καμία προσαύξηση.

ΘεώρημαΠαράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης

Έστω ff μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση σε ένα διάστημα II με περισσότερα από ένα σημεία, και έστω J=f(I)J = f(I). Αν η ff είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο aa του II και f′(a)≠0f'(a) \neq 0, τότε η αντίστροφη f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I είναι παραγωγίσιμη στο b=f(a)b = f(a), και

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

Η παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή της ff στο aa διαβάζεται αντίστροφα: η συνάρτηση φ\varphi δεν μηδενίζεται, και το αντίστροφό της, υπολογισμένο στο f−1(y)f^{-1}(y), παραγοντοποιεί την προσαύξηση της αντίστροφης. Το σχήμα δείχνει, με f(x)=x3f(x) = x^3 και a=0,8a = 0{,}8, μια τέμνουσα και την εφαπτομένη της ff, και έπειτα τις συμμετρικές τους, που είναι μια τέμνουσα και η εφαπτομένη της κυβικής ρίζας.

Απόδειξη

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    Αφού το II είναι διάστημα με περισσότερα από ένα σημεία, όλα τα σημεία του είναι σημεία συσσώρευσης του II. Από το θεώρημα των χαρακτηρισμών της παραγώγου, του μαθήματος για την παράγωγο ως όριο, υπάρχει φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}, συνεχής στο aa, με φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a), τέτοια ώστε:

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    Η συνάρτηση φ\varphi δεν μηδενίζεται σε κανένα σημείο του II. Στο aa ισούται με f′(a)f'(a), που δεν είναι μηδέν· αν x≠ax \neq a, η γνήσια μονοτονία δίνει f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a), και το φ(x)\varphi(x) είναι ο λόγος μεταβολής, που επίσης δεν είναι μηδέν.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    Έστω yy ένα σημείο του JJ, και έστω x=f−1(y)x = f^{-1}(y), έτσι ώστε f(x)=yf(x) = y και x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b). Διαιρούμε την παραγοντοποίηση με φ(x)\varphi(x), που δεν είναι μηδέν: η προσαύξηση της αντίστροφης παραγοντοποιείται, και δεν έγινε διαίρεση με καμία προσαύξηση.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Από τα πορίσματα της εικόνας ενός διαστήματος και της συνέχειας της αντίστροφης, του μαθήματος για το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, το JJ είναι διάστημα, με περισσότερα από ένα σημεία επειδή η ff είναι ένα προς ένα, και η f−1f^{-1} είναι συνεχής στο bb. Αφού η φ\varphi είναι συνεχής στο a=f−1(b)a = f^{-1}(b), από τα θεωρήματα της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων και των πράξεων με συνεχείς συναρτήσεις, του μαθήματος για το όριο και τη συνέχεια, ο παράγοντας ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} είναι συνεχής στο bb. Αφού το bb είναι σημείο συσσώρευσης του JJ, ο χαρακτηρισμός του Καραθεοδωρή δίνει την παράγωγο.

Η συνέχεια της ff σε όλο το II ζητείται ώστε η αντίστροφη να είναι συνεχής στο bb, και αυτό είναι που επιτρέπει το πέρασμα στο όριο στο τελευταίο σκέλος της απόδειξης. Αν η ff είναι παραγωγίσιμη σε όλο το II και η παράγωγός της δεν μηδενίζεται, η αντίστροφη είναι παραγωγίσιμη σε όλο το JJ, και η ισότητα γράφεται ως ισότητα συναρτήσεων: (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. Η παράγωγος της ff υπολογίζεται στο f−1(y)f^{-1}(y), όχι στο yy. Στον συμβολισμό του Λάιμπνιτς, αν y=f(x)y = f(x) και x=f−1(y)x = f^{-1}(y), το θεώρημα λέει ότι dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, με την παράγωγο του παρονομαστή υπολογισμένη στο x=f−1(y)x = f^{-1}(y). Όπως στον κανόνα της αλυσίδας, ο τύπος μοιάζει με κανόνα των κλασμάτων και δεν είναι. Αφού αποδειχθεί η παραγωγισιμότητα, ο γρήγορος υπολογισμός της αρχής, που παραγωγίζει την ισότητα f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y με τον κανόνα της αλυσίδας, είναι ένας θεμιτός τρόπος να θυμάται κανείς τον τύπο.

ΠρότασηΗ αντίστροφη όπου μηδενίζεται η παράγωγος

Έστω ff μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση σε ένα διάστημα II με περισσότερα από ένα σημεία. Αν η ff είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο aa του II και f′(a)=0f'(a) = 0, τότε η f−1f^{-1} δεν είναι παραγωγίσιμη στο b=f(a)b = f(a). Αν ήταν, ο κανόνας της αλυσίδας, εφαρμοσμένος στην ταυτότητα f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x, θα έδινε 1=01 = 0.

Απόδειξη

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    Ας υποθέσουμε ότι η f−1f^{-1} είναι παραγωγίσιμη στο bb. Η συνάρτηση ff ορίζεται στο II και είναι παραγωγίσιμη στο aa, που είναι σημείο συσσώρευσης του II, και οι τιμές της βρίσκονται στο J=f(I)J = f(I), όπου ορίζεται η f−1f^{-1}. Από τον κανόνα της αλυσίδας, του μαθήματος για τον κανόνα της αλυσίδας:

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    Όμως η f−1∘ff^{-1} \circ f είναι η ταυτοτική συνάρτηση του II, της οποίας η παράγωγος σε κάθε σημείο είναι 11, όπως είδαμε στο μάθημα για την παράγωγο ως όριο. Η αντίφαση δείχνει ότι η f−1f^{-1} δεν είναι παραγωγίσιμη στο bb.

Μπορούμε να πούμε περισσότερα. Αν y≠by \neq b, το τρίτο σκέλος της απόδειξης του θεωρήματος χρησιμοποιεί μόνο ότι η φ\varphi δεν μηδενίζεται έξω από το aa, και ισχύει ακόμη και αν f′(a)=0f'(a) = 0: ο λόγος μεταβολής της αντίστροφης είναι 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}, και ο παρονομαστής τείνει στο φ(a)=0\varphi(a) = 0, λόγω της συνέχειας της σύνθεσης. Αν η ff είναι αύξουσα, ο παρονομαστής είναι θετικός, και ο λόγος τείνει στο ∞\infty· αν είναι φθίνουσα, τείνει στο −∞-\infty. Η γραφική παράσταση της αντίστροφης έχει στο (b,a)(b, a) κατακόρυφη εφαπτομένη, συμμετρική της οριζόντιας εφαπτομένης της ff στο (a,b)(a, b), όπως η κυβική ρίζα στην αρχή των αξόνων.