Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Παράγωγοι: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για τις παραγώγους. Συγκεντρώνει σε μία αποδεικτική αλυσίδα όσα απέδειξαν τα δέκα μαθήματα της ενότητας: την παράγωγο ως όριο του λόγου μεταβολής, τους τρεις ισοδύναμους χαρακτηρισμούς της και τους κανόνες παραγώγισης, που προκύπτουν όλοι από την παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή χωρίς διαίρεση με ποσότητες που μπορεί να μηδενιστούν, μαζί με τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων και τον κανόνα της αλυσίδας· το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και τη συνέχεια της αντίστροφης, που στηρίζουν την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης, και την αναγωγή στη φυσική εκθετική συνάρτηση των δυνάμεων και των εκθετικών κάθε βάσης· και τις παραγώγους ανώτερης τάξης, το διαφορικό και τους ρυθμούς μεταβολής. Εξηγεί πώς η ενότητα στηρίζεται στην ενότητα που προηγήθηκε και στην Άλγεβρα και γεωμετρία I και II, και πώς προετοιμάζει τις εφαρμογές των παραγώγων. Τελειώνει με μια τελική αξιολόγηση, παράλληλη προς την αρχική, και με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, καθεμία από τις οποίες συνδυάζει αποτελέσματα από πολλά από αυτά.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να εκτίθενται με λογική σειρά οι ορισμοί και τα κύρια θεωρήματα της ενότητας, με ένδειξη των προγενέστερων αποτελεσμάτων από τα οποία εξαρτάται καθένα και των αποδείξεων στις οποίες ξαναχρησιμοποιείται η παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή.
  2. Να διακρίνεται τι δέχεται η ενότητα από ό,τι αποδεικνύει, και να αναγνωρίζονται οι υποθέσεις κάθε αποτελέσματος, όπως εκείνη της παραγώγου της αντίστροφης ή εκείνη που απαιτεί η πεπλεγμένη παραγώγιση.
  3. Να συσχετίζονται τα αποτελέσματα της ενότητας με την ενότητα για τα όρια και τη συνέχεια, με την Άλγεβρα και γεωμετρία I και II και με τις εφαρμογές των παραγώγων.
  4. Να λύνονται μη τετριμμένα προβλήματα που συνδυάζουν τον ορισμό της παραγώγου, τους κανόνες, τον κανόνα της αλυσίδας, τις ενδιάμεσες τιμές, την παράγωγο της αντίστροφης, τις δυνάμεις με μεταβλητό εκθέτη, τις παραγώγους ανώτερης τάξης, το διαφορικό και τους ρυθμούς μεταβολής.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Ολόκληρη η ενότητα στηρίζεται σε μία ιδέα: η παράγωγος είναι όριο, και η ενότητα που προηγήθηκε είχε ήδη δώσει όλα όσα χρειάζονται για να υπολογιστεί και να χειριστεί κανείς. Όμως ο λόγος μεταβολής είναι διαίρεση, και η διαίρεση με μια προσαύξηση που μπορεί να μηδενιστεί είναι η πηγή των ελαττωματικών αποδείξεων. Ο χαρακτηρισμός του Καραθεοδωρή αντικαθιστά τη διαίρεση με ένα γινόμενο, με έναν παράγοντα φ\varphi συνεχή στο aa:

f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),φ(a)=f′(a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

Με αυτόν, η απόδειξη ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ανάγεται στην παραγοντοποίηση της προσαύξησής της με έναν συνεχή παράγοντα, και τη συνέχεια του παράγοντα την κρίνουν τα θεωρήματα της ενότητας που προηγήθηκε. Έτσι προέκυψαν οι κανόνες του γραμμικού συνδυασμού, του γινομένου και του αντιστρόφου, ο κανόνας της αλυσίδας και η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης, καθένας επικαλούμενος όσους είχαν ήδη αποδειχθεί αντί να τους ξαναποδείξει.

Ο ορισμός και οι κανόνες

Το μάθημα για την παράγωγο ως όριο έφτασε στον ίδιο ορισμό από την εφαπτομένη και από την ταχύτητα, και καθόρισε πού έχει νόημα: σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού που είναι σημείο συσσώρευσής του. Έγραψε την παράγωγο ως πρόταση με ποσοδείκτες, όρισε τις πλευρικές παραγώγους ως πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής, την εφαπτομένη και την κάθετη ευθεία, την παράγωγο συνάρτηση και τον συμβολισμό του Λάιμπνιτς, και απέδειξε ότι η παράγωγος δέχεται τρεις ισοδύναμες διατυπώσεις: το όριο του λόγου μεταβολής, την προσέγγιση f(a+h)=f(a)+f′(a)h+o⁡(h)f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h) και την παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή. Από την τελευταία προέκυψε σε δύο γραμμές ότι η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια· η απόλυτη τιμή και η κυβική ρίζα έδειξαν ότι το αντίστροφο δεν ισχύει. Το μάθημα για τους κανόνες παραγώγισης απέδειξε πρώτα ότι η παράγωγος εξαρτάται μόνο από ό,τι συμβαίνει κοντά στο σημείο, και έπειτα, συνδυάζοντας παραγοντοποιήσεις, τους κανόνες του γραμμικού συνδυασμού, του γινομένου, του αντιστρόφου και του πηλίκου· με αυτούς παραγώγισε τις δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη, τα πολυώνυμα και τις ρητές συναρτήσεις, και αποφάνθηκε για την παραγωγισιμότητα στο σημείο αλλαγής τύπου, όπου οι παράγωγοι των τύπων δεν αρκούν. Το μάθημα για τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων βρήκε τις παραγώγους του ημιτόνου και του συνημιτόνου από το θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο και από τους τύπους αθροίσματος, τις παραγώγους της φυσικής εκθετικής και της ln⁡∣x∣\ln \abs{x} από τα αξιοσημείωτα όρια, χωρίς τον κανόνα της αλυσίδας ούτε τον κανόνα της αντίστροφης συνάρτησης, και τις παραγώγους των υπόλοιπων τριγωνομετρικών και των υπερβολικών με τους κανόνες. Το μάθημα για τον κανόνα της αλυσίδας συνέδεσε διαδοχικά δύο παραγοντοποιήσεις, εξήγησε γιατί η απόδειξη που διαιρεί με g(x)−g(a)g(x) - g(a) αποτυγχάνει όταν η εσωτερική συνάρτηση επαναλαμβάνει την τιμή της, φρόντισε το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και έγραψε τον κανόνα στον συμβολισμό του Λάιμπνιτς, όπου μοιάζει με απλοποίηση κλασμάτων χωρίς να είναι.

Η συνέχεια, οι αντίστροφες και οι εκθέτες

Το μάθημα για το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών απέδειξε το θεώρημα του Μπολτσάνο με το supremum των σημείων όπου η συνάρτηση είναι αρνητική και με τη διατήρηση του προσήμου, και από αυτό συνήγαγε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, ότι η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα και ότι η αντίστροφη μιας συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι συνεχής· η μέθοδος της διχοτόμησης μετέτρεψε την απόδειξη σε διαδικασία. Το μάθημα για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης διάβασε ανάποδα την παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή: αν f′(a)≠0f'(a) \neq 0, ο παράγοντας δεν μηδενίζεται, και ο αντίστροφός του, σε σύνθεση με τη συνεχή αντίστροφη, παραγοντοποιεί την προσαύξηση της αντίστροφης· αν f′(a)=0f'(a) = 0, ο κανόνας της αλυσίδας αποκλείει να είναι η αντίστροφη παραγωγίσιμη. Με αυτό το θεώρημα παραγώγισε τις αντίστροφες τριγωνομετρικές, τις αντίστροφες υπερβολικές, τις ρίζες και τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη, και παραγώγισε πεπλεγμένες συναρτήσεις, υποθέτοντας σε κάθε περίπτωση ότι υπάρχουν και είναι παραγωγίσιμες. Το μάθημα για τη μεταβλητή στον εκθέτη ανήγαγε τα πάντα στη φυσική εκθετική, με ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a} και (f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}: παραγώγισε την εκθετική και τον λογάριθμο κάθε βάσης, τις δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη και εκείνες με μεταβλητή βάση και μεταβλητό εκθέτη, αιτιολόγησε τη λογαριθμική παραγώγιση αποδεικνύοντας την παραγωγισιμότητα πριν από τη λογαρίθμιση, και αποφάνθηκε ότι πe<eπ\pi^e < e^\pi με την εφαπτομένη ευθεία του λογαρίθμου που διέρχεται από την αρχή.

Οι παράγωγοι ανώτερης τάξης και οι ρυθμοί μεταβολής

Το μάθημα για τις παραγώγους ανώτερης τάξης και το διαφορικό όρισε αναδρομικά τις παραγώγους ανώτερης τάξης, με το πεδίο ορισμού τους, και απέδειξε επαγωγικά τους τύπους για την παράγωγο τάξης nn των δυνάμεων, της εκθετικής, του ημιτόνου και του συνημιτόνου, και τον κανόνα του Λάιμπνιτς, που έχει τους συντελεστές του διωνύμου του Νεύτωνα. Έδωσε χωριστό νόημα στα dy\mathrm{d}y και dx\mathrm{d}x: το διαφορικό dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x είναι το μοναδικό γραμμικό μέρος της προσαύξησης που διαφέρει από αυτήν κατά μια ποσότητα αμελητέα σε σύγκριση με το Δx\Delta x· το χρησιμοποίησε για να προσεγγίσει τιμές και να εκτιμήσει τη διάδοση των σφαλμάτων, χωρίς να φράξει το σφάλμα της προσέγγισης, πράγμα που απαιτεί μεταγενέστερα εργαλεία. Το μάθημα για τους ρυθμούς μεταβολής διάβασε την παράγωγο ως τον ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται ένα μέγεθος: διέκρινε τον μέσο, τον στιγμιαίο και τον σχετικό ρυθμό, χαρακτήρισε την αύξηση με σταθερό σχετικό ρυθμό, περιέγραψε την κίνηση πάνω σε μια ευθεία με την ταχύτητα, το μέτρο της ταχύτητας και την επιτάχυνση, απέδειξε τι λέει το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο για τις κοντινές τιμές, και τίποτε περισσότερο, και θεμελίωσε στον κανόνα της αλυσίδας μια ρητή μέθοδο για τους συσχετισμένους ρυθμούς μεταβολής.

Όσα δεχόμαστε, όσα αποδεικνύουμε και όσα μένουν

Ο απολογισμός της ενότητας μπορεί να συνοψιστεί ως εξής:

  • Δεχόμαστε το αξίωμα πληρότητας, που σε αυτή την ενότητα το χρησιμοποιεί άμεσα μόνο το θεώρημα του Μπολτσάνο, τα θεωρήματα της ενότητας για τα όρια και τη συνέχεια και αποτελέσματα που αποδείχθηκαν στην Άλγεβρα και γεωμετρία: τους τύπους αθροίσματος, τις θεμελιώδεις ταυτότητες, τις ιδιότητες των εκθετών και των λογαρίθμων, την ανισότητα ex≥1+xe^x \geq 1 + x, τη μονοτονία των συναρτήσεων που ορίζουν τις αντίστροφες, την επαγωγή και το διώνυμο του Νεύτωνα. Υποθέτουμε, επιπλέον, σε κάθε περίπτωση, ότι μια εξίσωση ορίζει μια παραγωγίσιμη συνάρτηση όταν την παραγωγίζουμε πεπλεγμένα.
  • Αποδεικνύουμε γεγονότα που η Άλγεβρα και γεωμετρία είχε δεχτεί ή προαναγγείλει: το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της exe^x στο (0,1)(0, 1) έχει κλίση 11 και ότι το ee είναι η μοναδική βάση της οποίας η εκθετική την έχει· και η εφαπτομένη, που για τις κωνικές τομές οριζόταν ως η ευθεία που αγγίζει την καμπύλη χωρίς να την τέμνει, ορίζεται πλέον για κάθε γραφική παράσταση.
  • Ξαναχρησιμοποιούμε τέσσερα εργαλεία αντί να επαναλαμβάνουμε επιχειρήματα: την παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή, το θεώρημα ότι η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια, τον τοπικό χαρακτήρα της παραγώγου και τη διατήρηση του προσήμου.
  • Μένει για αργότερα ό,τι απαιτεί περισσότερα από την παράγωγο σε ένα σημείο: το θεώρημα μέσης τιμής και όσα έπονται από αυτό, η μονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου, τα ακρότατα, ο κανόνας του Λοπιτάλ και τα φράγματα του σφάλματος του διαφορικού, στην ενότητα που ακολουθεί· το πολυώνυμο του Τέιλορ και το ολοκλήρωμα, στον Λογισμό II· και το θεώρημα που εγγυάται τις πεπλεγμένες συναρτήσεις, στον λογισμό πολλών μεταβλητών.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα τρία τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους κρίκους που προηγούνται και χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα προέρχονται από την ενότητα που προηγήθηκε ή από την Άλγεβρα και γεωμετρία, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΑξίωμα πληρότητας. Δεχόμαστε, από την Άλγεβρα και γεωμετρία I, ότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν πλήρες διατεταγμένο σώμα: κάθε μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών που είναι άνω φραγμένο έχει supremum. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΚληρονομιά της ενότητας 1. Αποτελέσματα που αποδείχθηκαν στην ενότητα για τα όρια και τη συνέχεια: η άλγεβρα των ορίων, με το όριο περιορισμού και το όριο σύνθεσης· τα πλευρικά όρια· η συνέχεια, η συνέχεια των πράξεων και η συνέχεια της σύνθεσης· η συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και της αντίστροφης μιας μονότονης συνάρτησης της οποίας η εικόνα είναι διάστημα· τα όρια των sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h}, eh−1h\frac{e^h - 1}{h} και ln⁡(1+h)h\frac{\ln(1 + h)}{h} στο 00· και το μικρό o⁡\operatorname{o} και η ισοδυναμία. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΔιατήρηση του προσήμου. Αποδείχθηκε στην ενότητα για τα όρια και τη συνέχεια: αν η ff τείνει στο aa σε ένα όριο L≠0L \neq 0, κοντά στο aa η συνάρτηση έχει το πρόσημο του LL· και αν η ff είναι συνεχής στο aa με f(a)≠0f(a) \neq 0, κοντά στο aa έχει το πρόσημο του f(a)f(a) και δεν μηδενίζεται. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΚληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας. Αποτελέσματα που αποδείχθηκαν στην Άλγεβρα και γεωμετρία I και II: η επαγωγή, το διώνυμο του Νεύτωνα και ο κανόνας του Πασκάλ· οι τύποι αθροίσματος και οι θεμελιώδεις τριγωνομετρικές και υπερβολικές ταυτότητες· οι ιδιότητες των εκθετών και των λογαρίθμων, η αλλαγή βάσης και η ανισότητα ex≥1+xe^x \geq 1 + x· και η μονοτονία των περιορισμών που ορίζουν τις αντίστροφες τριγωνομετρικές και των υπερβολικών συναρτήσεων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • EΠαραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή. Η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa, με f′(a)=Lf'(a) = L, αν και μόνο αν υπάρχει φ\varphi, συνεχής στο aa, με φ(a)=L\varphi(a) = L και f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) σε όλο το πεδίο ορισμού: για να παραγωγίσουμε αρκεί να παραγοντοποιήσουμε την προσαύξηση, χωρίς να διαιρέσουμε. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 3. Τρεις χαρακτηρισμοί.
  • FΗ παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια. Κάθε συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα σημείο είναι συνεχής σε αυτό· οι κανόνες το χρησιμοποιούν ώστε ο παράγοντας του Καραθεοδωρή να προκύπτει συνεχής. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 4. Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια.
  • GΤοπικός χαρακτήρας. Η παράγωγος στο aa δεν αλλάζει όταν περιορίζουμε τη συνάρτηση σε ένα σύνολο του οποίου το aa παραμένει σημείο συσσώρευσης, και εξαρτάται μόνο από τις τιμές κοντά στο aa· γι' αυτό εργαζόμαστε στην τομή των πεδίων ορισμού ή σε ένα ανοικτό διάστημα. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 5. Ο τοπικός χαρακτήρας της παραγώγου.

  1. Τμήμα 1 Ο ορισμός και οι κανόνες

    • Να ορίζεται η παράγωγος σε ένα σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού ως το όριο του λόγου μεταβολής, με τις πλευρικές παραγώγους της, και να γράφεται ως πρόταση με ποσοδείκτες.
    • Να αποδεικνύεται η ισοδυναμία του λόγου μεταβολής, της γραμμικής προσέγγισης και της παραγοντοποίησης του Καραθεοδωρή, και να συνάγεται ότι η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια, αλλά όχι αντίστροφα.
    • Να βρίσκονται με παραγοντοποιήσεις, χωρίς διαίρεση με προσαυξήσεις, οι κανόνες του γραμμικού συνδυασμού, του γινομένου, του αντιστρόφου και του πηλίκου, και να παραγωγίζονται πολυώνυμα, ρητές συναρτήσεις και συναρτήσεις ορισμένες κατά κλάδους.
    • Να παραγωγίζονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η εκθετική, ο λογάριθμος και οι υπερβολικές με τα όρια της ενότητας που προηγήθηκε, και οι συνθέσεις τους με τον κανόνα της αλυσίδας.

    1. Ορισμός της παραγώγου. Αν το aa είναι στοιχείο του πεδίου ορισμού AA της ff που είναι σημείο συσσώρευσης του AA, ισχύει f′(a)=Lf'(a) = L όταν (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)· ισοδύναμα, lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=L\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L.

      Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η παράγωγος ως το όριο μιας συνάρτησης.

    2. Πλευρικές παράγωγοι. Οι πλευρικές παράγωγοι f+′(a)f'_+(a) και f−′(a)f'_-(a) είναι τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής· αν το aa είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού και από τις δύο πλευρές, η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa αν και μόνο αν υπάρχουν και οι δύο και είναι ίσες, και αν είναι μόνο από τη μία πλευρά, η παράγωγος είναι εκείνη της πλευράς αυτής.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η παράγωγος ως το όριο μιας συνάρτησης.

    3. Τρεις χαρακτηρισμοί. Είναι ισοδύναμα: f′(a)=Lf'(a) = L· f(a+h)=f(a)+Lh+o⁡(h)f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h) όταν το hh τείνει στο 00· και η ύπαρξη μιας συνάρτησης φ\varphi, συνεχούς στο aa, με φ(a)=L\varphi(a) = L, τέτοιας ώστε f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) για κάθε xx του πεδίου ορισμού.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η παράγωγος ως το όριο μιας συνάρτησης.

    4. Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια. Αν η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa, είναι συνεχής στο aa· το αντίστροφο δεν ισχύει: οι ∣x∣\abs{x} και x3\sqrt[3]{x} είναι συνεχείς στο 00 και δεν είναι παραγωγίσιμες στο 00.

      Χρησιμοποιεί: 2. Πλευρικές παράγωγοι, 3. Τρεις χαρακτηρισμοί. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), E (Παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η παράγωγος ως το όριο μιας συνάρτησης.

    5. Ο τοπικός χαρακτήρας της παραγώγου. Αν η FF είναι ο περιορισμός της ff σε ένα σύνολο BB που περιέχει το aa και του οποίου το aa είναι σημείο συσσώρευσης, και η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa, τότε F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a)· και αν το BB περιέχει όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού που βρίσκονται κοντά στο aa, η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa αν και μόνο αν είναι η FF.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνες παραγώγισης.

    6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο. Αν οι ff και gg είναι παραγωγίσιμες στο aa, είναι παραγωγίσιμες και οι αf+g\alpha f + g και fgfg, με (αf+g)′(a)=αf′(a)+g′(a)(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a) και (fg)′(a)=f′(a) g(a)+f(a) g′(a)(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a).

      Χρησιμοποιεί: 3. Τρεις χαρακτηρισμοί, 4. Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), E (Παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή), F (Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνες παραγώγισης.

    7. Αντίστροφο και πηλίκο. Αν οι ff και gg είναι παραγωγίσιμες στο aa και g(a)≠0g(a) \neq 0, τότε το aa είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της fg\frac{f}{g}, και ισχύουν οι σχέσεις (1g)′(a)=−g′(a)(g(a))2\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2} και (fg)′(a)=f′(a) g(a)−f(a) g′(a)(g(a))2\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}.

      Χρησιμοποιεί: 3. Τρεις χαρακτηρισμοί, 4. Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια, 5. Ο τοπικός χαρακτήρας της παραγώγου, 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), C (Διατήρηση του προσήμου), E (Παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή), F (Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια), G (Τοπικός χαρακτήρας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνες παραγώγισης.

    8. Δυνάμεις, πολυώνυμα και ρητές συναρτήσεις. Για κάθε ακέραιο m≠0m \neq 0, η παράγωγος της xmx^m είναι mxm−1m x^{m - 1} σε όλο το πεδίο ορισμού της· κάθε πολυώνυμο είναι παραγωγίσιμο στο R\mathbb{R}, με παραγώγιση όρο προς όρο, και κάθε ρητή συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου, 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο, 7. Αντίστροφο και πηλίκο. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνες παραγώγισης.

    9. Παράγωγος σε σημείο αλλαγής τύπου. Αν η ff συμπίπτει με την gg αριστερά του cc και με την hh δεξιά, με τις gg και hh παραγωγίσιμες στο cc, τότε η ff είναι παραγωγίσιμη στο cc αν και μόνο αν g(c)=f(c)=h(c)g(c) = f(c) = h(c) και g′(c)=h′(c)g'(c) = h'(c)· η σύγκριση των παραγώγων των τύπων δεν αρκεί.

      Χρησιμοποιεί: 2. Πλευρικές παράγωγοι, 4. Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), F (Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνες παραγώγισης.

    10. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για κάθε πραγματικό xx, ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x και ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x· όπου cos⁡x≠0\cos x \neq 0, ddx(tan⁡x)=1cos⁡2x=1+tan⁡2x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x· και η συνεφαπτομένη, η τέμνουσα και η συντέμνουσα παραγωγίζονται με τον κανόνα του πηλίκου και τον κανόνα του αντιστρόφου.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου, 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο, 7. Αντίστροφο και πηλίκο. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων.

    11. Εκθετική, λογάριθμος και υπερβολικές. ddx(ex)=ex\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x στο R\mathbb{R}, ddx(ln⁡∣x∣)=1x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x} στο R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, και οι παράγωγοι των sinh⁡x\sinh x, cosh⁡x\cosh x και tanh⁡x\tanh x είναι cosh⁡x\cosh x, sinh⁡x\sinh x και 1cosh⁡2x\frac{1}{\cosh^2 x}.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου, 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο, 7. Αντίστροφο και πηλίκο. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Παράγωγοι των στοιχειωδών συναρτήσεων.

    12. Κανόνας της αλυσίδας. Αν η gg είναι παραγωγίσιμη στο aa και η ff, ορισμένη σε ένα σύνολο που περιέχει τις τιμές της gg, είναι παραγωγίσιμη στο g(a)g(a), τότε (f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)· η απόδειξη που διαιρεί με g(x)−g(a)g(x) - g(a) ισχύει μόνο όταν g′(a)≠0g'(a) \neq 0.

      Χρησιμοποιεί: 3. Τρεις χαρακτηρισμοί, 4. Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), C (Διατήρηση του προσήμου), E (Παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή), F (Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνας της αλυσίδας για την παράγωγο της σύνθεσης συναρτήσεων.

    13. Συνήθεις συνθέσεις. Ο κανόνας ισχύει στο πεδίο ορισμού της f∘gf \circ g όταν το aa είναι σημείο συσσώρευσής του, πράγμα που συμβαίνει αν το πεδίο ορισμού της ff περιέχει ένα διάστημα με κέντρο το g(a)g(a)· με αυτόν, ddx((g(x))m)=m(g(x))m−1g′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x) για κάθε ακέραιο m≠0m \neq 0, ddx(g(x))=g′(x)2g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} αν g(a)>0g(a) > 0, και ddx(sin⁡g(x))=cos⁡g(x)⋅g′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x).

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου, 5. Ο τοπικός χαρακτήρας της παραγώγου, 8. Δυνάμεις, πολυώνυμα και ρητές συναρτήσεις, 10. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις, 12. Κανόνας της αλυσίδας. Στηρίζεται σε: C (Διατήρηση του προσήμου), F (Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια), G (Τοπικός χαρακτήρας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Κανόνας της αλυσίδας για την παράγωγο της σύνθεσης συναρτήσεων.

  2. Τμήμα 2 Η συνέχεια, οι αντίστροφες και οι εκθέτες

    • Να αποδεικνύεται με το supremum το θεώρημα του Μπολτσάνο και, με αυτό, το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, ότι η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα και ότι η αντίστροφη μιας συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι συνεχής.
    • Να αποδεικνύεται η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης διαβάζοντας ανάποδα την παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή, και να παραγωγίζονται οι αντίστροφες τριγωνομετρικές, οι αντίστροφες υπερβολικές, οι ρίζες και οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη.
    • Να παραγωγίζονται πεπλεγμένες συναρτήσεις, με διάκριση ανάμεσα στον υπολογισμό της παραγώγου και στην απόδειξη ότι υπάρχει.
    • Να ανάγονται στη φυσική εκθετική οι εκθετικές και οι λογάριθμοι κάθε βάσης και οι δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη ή με μεταβλητή βάση και μεταβλητό εκθέτη, και να αιτιολογείται η λογαριθμική παραγώγιση.

    1. Θεώρημα του Μπολτσάνο. Αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b} και f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b), ή f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b), υπάρχει cc στο (a,b)\ioo{a}{b} τέτοιο ώστε f(c)=0f(c) = 0.

      Στηρίζεται σε: A (Αξίωμα πληρότητας), C (Διατήρηση του προσήμου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

    2. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. Αν η ff είναι συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b}, παίρνει κάθε τιμή που βρίσκεται ανάμεσα στο f(a)f(a) και στο f(b)f(b)· επομένως, η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα.

      Χρησιμοποιεί: 14. Θεώρημα του Μπολτσάνο. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

    3. Συνέχεια της αντίστροφης. Αν η ff είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα II, η αντίστροφή της είναι συνεχής στο διάστημα f(I)f(I).

      Χρησιμοποιεί: 15. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

    4. Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης. Αν η ff είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα II με περισσότερα από ένα σημεία και παραγωγίσιμη στο aa, με f′(a)≠0f'(a) \neq 0, τότε η f−1f^{-1} είναι παραγωγίσιμη στο b=f(a)b = f(a), και (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}· αν f′(a)=0f'(a) = 0, η f−1f^{-1} δεν είναι παραγωγίσιμη στο bb.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου, 3. Τρεις χαρακτηρισμοί, 12. Κανόνας της αλυσίδας, 15. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, 16. Συνέχεια της αντίστροφης. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), E (Παραγοντοποίηση του Καραθεοδωρή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης και πεπλεγμένη παραγώγιση.

    5. Στοιχειώδεις αντίστροφες και ρίζες. Στα πεδία παραγωγισιμότητάς τους, ddx(arcsin⁡x)=11−x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, ddx(arctan⁡x)=11+x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2} και ddx(arcsinh⁡x)=1x2+1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arcsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}· η xn\sqrt[n]{x} είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x≠0x \neq 0 του πεδίου ορισμού της και όχι στο 00· και ddx(xpq)=pqxpq−1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1} στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

      Χρησιμοποιεί: 8. Δυνάμεις, πολυώνυμα και ρητές συναρτήσεις, 10. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις, 11. Εκθετική, λογάριθμος και υπερβολικές, 13. Συνήθεις συνθέσεις, 17. Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1), D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης και πεπλεγμένη παραγώγιση.

    6. Εκθετική και λογάριθμος με βάση a. Αν a>0a > 0 και a≠1a \neq 1, ισχύουν ddx(ax)=axln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a και ddx(log⁡a∣x∣)=1xln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}· και αν η uu είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, είναι και η eu(x)e^{u(x)}, με παράγωγο eu(x)u′(x)e^{u(x)} u'(x), και αν επιπλέον η uu δεν μηδενίζεται σε αυτό, είναι και η ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)}, με παράγωγο u′(x)u(x)\frac{u'(x)}{u(x)}.

      Χρησιμοποιεί: 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο, 11. Εκθετική, λογάριθμος και υπερβολικές, 12. Κανόνας της αλυσίδας, 13. Συνήθεις συνθέσεις. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μεταβλητή στον εκθέτη και η λογαριθμική παραγώγιση.

    7. Δυνάμεις με πραγματικό και μεταβλητό εκθέτη. Για κάθε πραγματικό rr, ddx(xr)=rxr−1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1} στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}· και αν η ff, με θετικές τιμές, και η gg είναι παραγωγίσιμες στο aa, τότε η F(x)=(f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)} είναι παραγωγίσιμη στο aa, με F′(a)=(f(a))g(a)(g′(a)ln⁡f(a)+g(a)f′(a)f(a))F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right).

      Χρησιμοποιεί: 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο, 11. Εκθετική, λογάριθμος και υπερβολικές, 12. Κανόνας της αλυσίδας, 19. Εκθετική και λογάριθμος με βάση a. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μεταβλητή στον εκθέτη και η λογαριθμική παραγώγιση.

    8. Λογαριθμική παραγώγιση. Αν οι f1,…,fkf_1, \ldots, f_k είναι παραγωγίσιμες στο aa και δεν μηδενίζονται στο aa, και η fjf_j είναι θετική όταν ο rjr_j δεν είναι ακέραιος, τότε η F=f1r1⋯fkrkF = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k} είναι παραγωγίσιμη στο aa, και F′(a)F(a)=r1f1′(a)f1(a)+⋯+rkfk′(a)fk(a)\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}· η παραγωγισιμότητα αποδεικνύεται πριν από τη λογαρίθμιση.

      Χρησιμοποιεί: 4. Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια, 5. Ο τοπικός χαρακτήρας της παραγώγου, 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο, 13. Συνήθεις συνθέσεις, 19. Εκθετική και λογάριθμος με βάση a, 20. Δυνάμεις με πραγματικό και μεταβλητό εκθέτη. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας), F (Η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια), G (Τοπικός χαρακτήρας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μεταβλητή στον εκθέτη και η λογαριθμική παραγώγιση.

    9. Το π εις την e και το e εις την π. Για κάθε x>0x > 0 ισχύει x1x≤e1ex^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}, με ισότητα μόνο αν x=ex = e, επειδή ο λογάριθμος βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη του y=xey = \frac{x}{e}· ειδικότερα, πe<eπ\pi^e < e^\pi.

      Χρησιμοποιεί: 11. Εκθετική, λογάριθμος και υπερβολικές. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η μεταβλητή στον εκθέτη και η λογαριθμική παραγώγιση.

  3. Τμήμα 3 Οι παράγωγοι ανώτερης τάξης και οι ρυθμοί μεταβολής

    • Να ορίζονται οι παράγωγοι ανώτερης τάξης και να αποδεικνύονται επαγωγικά οι τύποι για την παράγωγο τάξης nn των δυνάμεων, της εκθετικής, του ημιτόνου και του συνημιτόνου, καθώς και ο κανόνας του Λάιμπνιτς.
    • Να δίνεται χωριστό νόημα στα dy\mathrm{d}y και dx\mathrm{d}x, να αποδεικνύεται ότι το διαφορικό είναι το κύριο μέρος της προσαύξησης και να χρησιμοποιείται για προσεγγίσεις και εκτιμήσεις σφαλμάτων, χωρίς φράξιμό τους.
    • Να διαβάζεται η παράγωγος ως μέσος, στιγμιαίος και σχετικός ρυθμός μεταβολής, και να περιγράφεται με αυτήν η κίνηση πάνω σε μια ευθεία.
    • Να λύνονται προβλήματα συσχετισμένων ρυθμών μεταβολής με τον κανόνα της αλυσίδας και μια ρητή μέθοδο.

    1. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. f(0)=ff^{(0)} = f και f(n+1)=(f(n))′f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)', όπου το πεδίο ορισμού καθεμιάς αποτελείται από τα σημεία στα οποία είναι παραγωγίσιμη η αμέσως κατώτερη· αν οι ff και gg είναι nn φορές παραγωγίσιμες σε ένα ανοικτό διάστημα, (αf+g)(n)=αf(n)+g(n)\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}.

      Χρησιμοποιεί: 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας), G (Τοπικός χαρακτήρας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Παράγωγοι ανώτερης τάξης και διαφορικό.

    2. Παράγωγοι τάξης n. Στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}, dndxn(xr)=r(r−1)⋯(r−n+1) xr−n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}· για κάθε πραγματικό xx, dndxn(ecx)=cnecx\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx} και dndxn(sin⁡x)=sin⁡(x+nπ2)\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)· και οι συντελεστές ενός πολυωνύμου ff είναι οι αριθμοί f(k)(0)k!\frac{f^{(k)}(0)}{k!}.

      Χρησιμοποιεί: 8. Δυνάμεις, πολυώνυμα και ρητές συναρτήσεις, 13. Συνήθεις συνθέσεις, 19. Εκθετική και λογάριθμος με βάση a, 20. Δυνάμεις με πραγματικό και μεταβλητό εκθέτη, 23. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Παράγωγοι ανώτερης τάξης και διαφορικό.

    3. Κανόνας του Λάιμπνιτς. Αν οι ff και gg είναι nn φορές παραγωγίσιμες σε ένα ανοικτό διάστημα, είναι και η fgfg, και (fg)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k)(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}.

      Χρησιμοποιεί: 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο, 23. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Παράγωγοι ανώτερης τάξης και διαφορικό.

    4. Το διαφορικό. Αν η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa, η προσαύξηση Δy=f(a+Δx)−f(a)\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a) ικανοποιεί τη σχέση Δy=dy+o⁡(Δx)\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x), με dy=f′(a) Δx\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x, και καμία άλλη γραμμική συνάρτηση του Δx\Delta x δεν την ικανοποιεί· αν f′(a)≠0f'(a) \neq 0, Δy∼dy\Delta y \sim \mathrm{d}y· και αν w=f(u)w = f(u), τότε dw=f′(u) du\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u.

      Χρησιμοποιεί: 3. Τρεις χαρακτηρισμοί, 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο, 7. Αντίστροφο και πηλίκο, 12. Κανόνας της αλυσίδας. Στηρίζεται σε: B (Κληρονομιά της ενότητας 1). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Παράγωγοι ανώτερης τάξης και διαφορικό.

    5. Σταθερός σχετικός ρυθμός. Αν y(t)=y0ekty(t) = y_0 e^{kt}, με y0>0y_0 > 0 και k≠0k \neq 0, ο σχετικός ρυθμός μεταβολής y′(t)y(t)\frac{y'(t)}{y(t)} ισούται με kk σε κάθε χρονική στιγμή, και y(t+T)=ekTy(t)y(t + T) = e^{kT} y(t): το μέγεθος διπλασιάζεται, ή υποδιπλασιάζεται, σε κάθε χρονικό διάστημα διάρκειας ln⁡2∣k∣\frac{\ln 2}{\abs{k}}.

      Χρησιμοποιεί: 19. Εκθετική και λογάριθμος με βάση a. Στηρίζεται σε: D (Κληρονομιά της Άλγεβρας και γεωμετρίας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρυθμοί μεταβολής και συσχετισμένοι ρυθμοί.

    6. Το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο. Αν η ff είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα II, είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο aa του II και f′(a)>0f'(a) > 0, υπάρχει δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε, για κάθε xx του II, f(x)<f(a)f(x) < f(a) αν a−δ<x<aa - \delta < x < a, και f(x)>f(a)f(x) > f(a) αν a<x<a+δa < x < a + \delta· δεν έπεται ότι η ff είναι αύξουσα κοντά στο aa. Γι' αυτό το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν το ίδιο πρόσημο.

      Χρησιμοποιεί: 1. Ορισμός της παραγώγου, 6. Γραμμικός συνδυασμός και γινόμενο. Στηρίζεται σε: C (Διατήρηση του προσήμου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρυθμοί μεταβολής και συσχετισμένοι ρυθμοί.

    7. Συσχετισμένοι ρυθμοί μεταβολής. Αν η uu είναι παραγωγίσιμη στο t0t_0 και y(t)=g(u(t))y(t) = g(u(t)), με την gg παραγωγίσιμη στο u(t0)u(t_0), τότε y′(t0)=g′(u(t0)) u′(t0)y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)· και δύο εκφράσεις ίσες σε κάθε χρονική στιγμή ενός διαστήματος, παραγωγίσιμες στο t0t_0, έχουν την ίδια παράγωγο στο t0t_0.

      Χρησιμοποιεί: 12. Κανόνας της αλυσίδας. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρυθμοί μεταβολής και συσχετισμένοι ρυθμοί.

Προς τις εφαρμογές. Η αλυσίδα σταματά εκεί όπου η παράγωγος παύει να είναι το αντικείμενο της μελέτης και γίνεται εργαλείο: η ενότητα που ακολουθεί αρχίζει με το θεώρημα ακρότατων τιμών του Βάιερστρας· αποδεικνύει το θεώρημα του Φερμά με το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο, και από αυτό τα θεωρήματα του Ρολ και μέσης τιμής, που μετατρέπουν το πρόσημο της παραγώγου σε μονοτονία και δίνουν τον κανόνα του Λοπιτάλ, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα φράγματα που δεν έχει το διαφορικό· και τελειώνει με τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον, που αντικαθιστά την καμπύλη με την εφαπτομένη της.