Εφαρμογές των παραγώγων: εισαγωγή

Πριν ξεκινήσεις την ενότητα, μέτρησε το σημείο εκκίνησής σου. Είναι μια σύντομη αυτοαξιολόγηση: δεν βαθμολογείται και το αποτέλεσμα αποθηκεύεται μόνο στον περιηγητή σου.

1. Ερώτηση 1Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις εξασφαλίζει το θεώρημα του Βάιερστρας ότι η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο δοσμένο σύνολο;

   $f(x) = \abs{x^2 - 1}$ στο $\icc{0}{2}$

   $f(x) = \arctan x$ στο $\mathbb{R}$

   $f(x) = x^2$ στο $\ico{0}{1}$

   Η συνάρτηση που ισούται με $x$ στο $\ico{0}{1}$ και με $0$ στο $1$, στο διάστημα $\icc{0}{1}$

2. Ερώτηση 2Μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, με $f(0) = 1$ και $\abs{f'(x)} \leq 2$ για κάθε $x$. Τι μπορούμε να εξασφαλίσουμε για την $f(3)$;

   $-5 \leq f(3) \leq 7$

   $f(3) = 7$

   $\abs{f(3)} \leq 6$

   Τίποτε, επειδή δεν είναι γνωστή η παράγωγος σε κανένα σημείο.

3. Ερώτηση 3Να υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$.

   $0$

   Δεν υπάρχει, επειδή το πηλίκο των παραγώγων δεν έχει όριο.

   Δεν υπάρχει, επειδή το $\sin\frac{1}{x}$ δεν έχει όριο όταν $x \to 0$.

   $1$

4. Ερώτηση 4Είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ η συνάρτηση $f(x) = x + \cos x$;

   Ναι: η παράγωγός της, $1 - \sin x$, δεν είναι αρνητική και δεν μηδενίζεται σε όλα τα σημεία κανενός ανοικτού διαστήματος.

   Όχι: η παράγωγός της μηδενίζεται σε άπειρα σημεία.

   Είναι αύξουσα, αλλά όχι γνησίως, επειδή η παράγωγός της δεν είναι θετική σε κάθε σημείο.

   Δεν είναι μονότονη, επειδή το συνημίτονο ανεβαίνει και κατεβαίνει.

5. Ερώτηση 5Μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\icc{0}{4}$ και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του $\ioo{0}{4}$ εκτός από το $1$, και η παράγωγός της μηδενίζεται μόνο στο $3$. Αν $f(0) = 2$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$, $f(3) = 5$ και $f(4) = 4$, ποιες είναι η ολική μέγιστη και η ολική ελάχιστη τιμή της στο $\icc{0}{4}$;

   Το μέγιστο είναι $5$ και το ελάχιστο $-1$.

   Το μέγιστο είναι $5$ και το ελάχιστο $2$.

   Το μέγιστο είναι $4$ και το ελάχιστο $2$.

   Δεν μπορεί να είναι γνωστό χωρίς τον τύπο της $f$.

6. Ερώτηση 6Ποια είναι τα σημεία καμπής της $f(x) = x^5 - 5x^4$;

   Μόνο το $3$.

   Το $0$ και το $3$, επειδή σε αυτά μηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος.

   Το $0$ και το $4$, επειδή σε αυτά μηδενίζεται η παράγωγος.

   Κανένα, επειδή η τρίτη παράγωγος μηδενίζεται στο $0$.

7. Ερώτηση 7Ποιος είναι ο εγγύτατος κύκλος της γραφικής παράστασης της $f(x) = \frac{1}{x}$ στο σημείο $(1, 1)$;

   Ο κύκλος με κέντρο $(2, 2)$ και ακτίνα $\sqrt{2}$.

   Ο κύκλος με κέντρο $(0, 0)$ και ακτίνα $\sqrt{2}$.

   Ο κύκλος με κέντρο $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ και ακτίνα $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

   Ο κύκλος με κέντρο $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ και ακτίνα $\frac{1}{2}$.

8. Ερώτηση 8Ποια είναι τα σημεία της παραβολής $y = x^2$ που βρίσκονται πλησιέστερα στο σημείο $(0, 2)$;

   $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ και $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$

   Η κορυφή $(0, 0)$.

   Μόνο το $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$.

   Κανένα: επειδή η παραβολή δεν είναι φραγμένη, η απόσταση μπορεί να μην παρουσιάζει ελάχιστο.

9. Ερώτηση 9Η συνάρτηση $f(x) = e^x - 3$ είναι αύξουσα και κυρτή στο $\mathbb{R}$, και η ρίζα της είναι $\ln 3$, κοντά στο $1{,}0986$. Τι κάνουν οι επαναλήψεις Νεύτωνα-Ράφσον με αρχικό σημείο $x_0 = 0$;

   Η πρώτη πηδά στην άλλη πλευρά της ρίζας, στο $x_1 = 2$, και από εκεί φθίνουν προς το $\ln 3$ χωρίς να το ξεπερνούν.

   Αυξάνονται προς το $\ln 3$ χωρίς να το ξεπερνούν, επειδή ξεκινούν από τα αριστερά του.

   Δεν συγκλίνουν, επειδή η $f(x_0) < 0$ δεν ικανοποιεί την παραδοχή του θεωρήματος.

   Εναλλάσσονται από τη μία και από την άλλη πλευρά της ρίζας, όλο και πιο κοντά.

10. Ερώτηση 10Από προηγούμενες ενότητεςΜια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\icc{0}{1}$, με $f(0) = 1$ και $f(1) = -1$. Τι μπορούμε να εξασφαλίσουμε;

    Ότι μηδενίζεται σε κάποιο σημείο του $\ioo{0}{1}$.

    Ότι μηδενίζεται σε ακριβώς ένα σημείο του $\ioo{0}{1}$.

    Ότι είναι φθίνουσα στο $\icc{0}{1}$.

    Ότι μηδενίζεται στο $\frac{1}{2}$.

11. Ερώτηση 11Από προηγούμενες ενότητεςΜια συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το $a$, και $f'(a) > 0$. Τι μπορούμε να εξασφαλίσουμε;

    Ότι υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε $f(x) < f(a)$ αν $a - \delta < x < a$, και $f(x) > f(a)$ αν $a < x < a + \delta$.

    Ότι η $f$ είναι αύξουσα σε κάποιο ανοικτό διάστημα που περιέχει το $a$.

    Ότι $f(x) > f(a)$ για κάθε $x > a$ του διαστήματος.

    Ότι $f'(x) > 0$ για κάθε $x$ κοντά στο $a$.

12. Ερώτηση 12Από προηγούμενες ενότητεςΝα υπολογιστεί η $f''(1)$ για $f(x) = x^2 \ln x$.

    $3$

    $1$

    $2$

    $-2$

13. Ερώτηση 13Από προηγούμενες ενότητεςΗ εξίσωση $x^2 + xy + y^2 = 3$ ορίζει κοντά στο σημείο $(1, 1)$ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $y(x)$, με $y(1) = 1$. Πόσο είναι η $y'(1)$;

    $-1$

    $-\frac{3}{2}$

    $-5$

    $1$

14. Ερώτηση 14Από προηγούμενες ενότητεςΝα υπολογιστεί το $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$.

    $2$

    $1$

    $\frac{1}{2}$

    Δεν υπάρχει, επειδή το πηλίκο είναι της μορφής $\frac{0}{0}$.