Κανόνας του Λοπιτάλ

Η μορφή μηδέν διά μηδέν

Το πόρισμα του ορίου πηλίκου, από το μάθημα για την άλγεβρα των ορίων, απαιτεί ο παρονομαστής να έχει όριο διάφορο του μηδενός. Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής τείνουν και οι δύο στο $0$, το πηλίκο μπορεί να τείνει σε οποιονδήποτε αριθμό, ή στο άπειρο, ή να μην έχει όριο: το $\frac{3x}{x}$ τείνει στο $3$, το $\frac{x^2}{x}$ τείνει στο $0$, και το $\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ δεν έχει όριο στο $0$. Γι’ αυτό λέμε ότι η $\frac{0}{0}$ είναι μια απροσδιόριστη μορφή: το όριο κάθε όρου δεν καθορίζει το όριο του πηλίκου. Το μάθημα για τις ισοδύναμες απειροστές συναρτήσεις έλυσε πολλά από αυτά τα όρια, αντικαθιστώντας κάθε παράγοντα με έναν ισοδύναμο από τον πίνακά του· όμως μια διαφορά όπως η $x - \sin x$ δεν είναι γινόμενο παραγόντων του πίνακα, και οι όροι της δεν μπορούν να αντικατασταθούν.

Η παράγωγος προτείνει έναν άλλο δρόμο. Αν $f(a) = g(a) = 0$, αν οι $f$ και $g$ είναι παραγωγίσιμες στο $a$ και αν $g'(a) \neq 0$, διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με $x - a$ το πηλίκο μετατρέπεται σε πηλίκο λόγων μεταβολής, και το πόρισμα του ορίου πηλίκου δίνει:

Συχνά όμως και η $g'(a)$ είναι μηδέν, ή οι $f$ και $g$ δεν ορίζονται στο $a$. Ο κανόνας του Λοπιτάλ αντικαθιστά τις τιμές των παραγώγων στο $a$ με το όριο του πηλίκου τους κοντά στο $a$. Το εργαλείο είναι το θεώρημα μέσης τιμής του Κωσί, από το μάθημα για τα θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί: αν οι $f$ και $g$ είναι συνεχείς στο $\icc{a}{b}$, με $a < b$, και παραγωγίσιμες σε κάθε σημείο του $\ioo{a}{b}$, και αν $g'(x) \neq 0$ για κάθε $x$ του $\ioo{a}{b}$, τότε $g(b) \neq g(a)$ και υπάρχει ένα $c$ στο $\ioo{a}{b}$ τέτοιο ώστε $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. Σε αντίθεση με δύο εφαρμογές του θεωρήματος του Λαγκράνζ, που θα έδιναν δύο διαφορετικά σημεία, το θεώρημα του Κωσί δίνει ένα κοινό σημείο για τον αριθμητή και για τον παρονομαστή.

Δεν χρειάζεται να ξέρουμε πώς εξαρτάται το $c$ από το $x$, ούτε ότι είναι μοναδικό: αρκεί να βρίσκεται μεταξύ $a$ και $x$. Η παραδοχή $g' \neq 0$ ζητείται σε όλο το διάστημα $\ioo{a}{b}$, επειδή το θεώρημα του Κωσί τη χρησιμοποιεί σε κάθε $\icc{a}{x}$· αφού το όριο εξαρτάται μόνο από τις κοντινές τιμές, αρκεί να βρεθεί ένα διάστημα $\ioo{a}{b}$ όπου να ισχύει, όσο μικρό κι αν είναι. Δεν αρκεί, αντίθετα, η παράγωγος του παρονομαστή να μηδενίζεται μόνο σε μεμονωμένα σημεία που συσσωρεύονται στο σημείο, ή που δεν είναι φραγμένα αν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο, όπως δείχνει το λυμένο πρόβλημα 5. Αν οι $f$ και $g$ ορίζονται σε ένα ευρύτερο σύνολο, το θεώρημα εφαρμόζεται στους περιορισμούς τους στο $\ioo{a}{b}$, που έχουν το ίδιο όριο από δεξιά στο $a$.

Το ίδιο ισχύει από αριστερά, με ένα διάστημα $\ioo{b}{a}$, $b < a$, και $x \to a^-$: αρκεί να εφαρμοστεί το θεώρημα στις $f(-t)$ και $g(-t)$ κοντά στο $-a$ από δεξιά, με την πρόταση της μετατόπισης και της ανάκλασης, από το μάθημα για τα πλευρικά όρια· ο κανόνας της αλυσίδας αλλάζει το πρόσημο των δύο παραγώγων και δεν μεταβάλλει το πηλίκο τους. Αν οι παραδοχές ισχύουν και στις δύο πλευρές του $a$, στο $\ioo{a - r}{a}$ και στο $\ioo{a}{a + r}$, το θεώρημα «όριο και πλευρικά όρια», από εκείνο το μάθημα, δίνει το όριο όταν $x \to a$ (αν το $L$ είναι άπειρο, με το ίδιο επιχείρημα της μικρότερης από τις δύο ακτίνες). Η συνάρτηση μπορεί να ορίζεται στο $a$ ή όχι· η τιμή της εκεί δεν παίζει κανέναν ρόλο.