Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Μονοτονία και κριτήριο της πρώτης παραγώγου

Περίληψη

Αυτό το μάθημα μετατρέπει το πρόσημο της παραγώγου σε πληροφορία για ένα ολόκληρο διάστημα. Με το θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ αποδεικνύει ότι μια συνάρτηση με θετική παράγωγο σε ένα διάστημα είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό, και με μη αρνητική παράγωγο, αύξουσα· αντιστρόφως, η παράγωγος μιας αύξουσας συνάρτησης δεν είναι αρνητική, αν και η παράγωγος μιας γνησίως αύξουσας μπορεί να μηδενίζεται, και το μάθημα χαρακτηρίζει πότε συμβαίνει αυτό. Από εκεί προκύπτουν η αντιστρεψιμότητα μιας συνάρτησης με θετική παράγωγο, το όνομα των υποψηφίων για τοπικά ακρότατα, τα κρίσιμα σημεία, και το κριτήριο της πρώτης παραγώγου, που αποφασίζει αν υπάρχει ακρότατο από την αλλαγή προσήμου της παραγώγου. Το θεώρημα του Νταρμπού, που αποδεικνύεται με τα θεωρήματα του Βάιερστρας και του Φερμά, δείχνει ότι μια παράγωγος, ακόμη κι αν δεν είναι συνεχής, δεν παραλείπει τιμές: δεν έχει αιρόμενες ασυνέχειες ούτε ασυνέχειες άλματος, και αν δεν μηδενίζεται σε ένα διάστημα, δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό. Το μάθημα κλείνει με ανισότητες που αποδεικνύονται συγκρίνοντας συναρτήσεις μέσω της παραγώγου τους, και εκπληρώνει όσα η ενότητα για τις παραγώγους προανήγγειλε πολλές φορές χωρίς να μπορεί να τα αποδείξει.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύεται με το θεώρημα μέσης τιμής ότι το πρόσημο της παραγώγου σε ένα διάστημα αποφασίζει τη μονοτονία, και να αναγνωρίζεται πότε μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση έχει μηδενική παράγωγο σε ορισμένα σημεία.
  2. Να βρίσκονται τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης και να αποφασίζεται με το κριτήριο της πρώτης παραγώγου ποια είναι τοπικά ακρότατα, συμπεριλαμβανομένων των σημείων χωρίς παράγωγο.
  3. Να αποδεικνύεται το θεώρημα του Νταρμπού και να χρησιμοποιείται για να δειχθεί ότι μια συνάρτηση με άλμα δεν είναι η παράγωγος καμίας συνάρτησης σε ένα διάστημα.
  4. Να αποδεικνύονται ανισότητες μεταξύ συναρτήσεων με τη μελέτη του προσήμου της παραγώγου της διαφοράς τους, και να επισημαίνεται πότε ένας τέτοιος συλλογισμός θα ήταν κυκλικός.

Το πρόσημο της παραγώγου και η μονοτονία

Η πρόταση του προσήμου της παραγώγου σε σημείο, από το μάθημα για τους ρυθμούς μεταβολής, συγκρίνει κάθε τιμή κοντά στο aa με την f(a)f(a), και τίποτε περισσότερο: η συνάρτηση x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}, συμπληρωμένη με την τιμή 00 στο 00, έχει παράγωγο 11 στο 00 και δεν είναι αύξουσα σε κανένα διάστημα που περιέχει το 00. Για να αποκτήσουμε πληροφορία για ένα ολόκληρο διάστημα πρέπει να γνωρίζουμε το πρόσημο της παραγώγου σε όλα τα σημεία του, και το θεώρημα μέσης τιμής, από το μάθημα για τα θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί, μεταφράζει αυτή τη γνώση σε σύγκριση τιμών. Ας θυμηθούμε ότι, σύμφωνα με το μάθημα για τις πράξεις συναρτήσεων, της Άλγεβρας και Γεωμετρίας I, μια συνάρτηση ff είναι αύξουσα σε ένα σύνολο II αν η σχέση x<yx < y συνεπάγεται f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y) για όλα τα σημεία του, και γνησίως αύξουσα αν συνεπάγεται f(x)<f(y)f(x) < f(y):

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

και φθίνουσα ή γνησίως φθίνουσα αν συνεπάγεται f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) ή f(x)>f(y)f(x) > f(y).

ΘεώρημαΜονοτονία από το πρόσημο της παραγώγου

Έστω ff συνεχής σε ένα διάστημα II και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του II.

  • Αν f′(x)≥0f'(x) \geq 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο xx του II, τότε η ff είναι αύξουσα στο II· αν f′(x)>0f'(x) > 0 σε καθένα από αυτά, είναι γνησίως αύξουσα στο II.
  • Αν f′(x)≤0f'(x) \leq 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο xx του II, τότε η ff είναι φθίνουσα στο II· αν f′(x)<0f'(x) < 0 σε καθένα από αυτά, είναι γνησίως φθίνουσα στο II.

Ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε σημεία, το θεώρημα μέσης τιμής δίνει στη διαφορά των τιμών το πρόσημο της παραγώγου σε ένα ενδιάμεσο σημείο.

Απόδειξη

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    Έστω x<yx < y δύο σημεία του II. Επειδή το II είναι διάστημα, περιέχει το [x,y]\icc{x}{y}, όπου η ff είναι συνεχής, και τα σημεία του (x,y)\ioo{x}{y} είναι εσωτερικά σημεία του II, όπου η ff είναι παραγωγίσιμη. Από το θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ, υπάρχει cc μεταξύ xx και yy τέτοιο ώστε:

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    Ο παράγοντας y−xy - x είναι θετικός, οπότε η διαφορά έχει το πρόσημο του f′(c)f'(c): αν f′(c)≥0f'(c) \geq 0, δεν είναι αρνητική, και αν f′(c)>0f'(c) > 0, είναι θετική. Επειδή τα xx και yy ήταν δύο οποιαδήποτε σημεία του II με x<yx < y, η συνάρτηση είναι αύξουσα, ή γνησίως αύξουσα.

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    Αν η παράγωγος δεν είναι θετική, εφαρμόζουμε τα παραπάνω στην −f-f, που είναι συνεχής στο II και έχει παράγωγο −f′(x)-f'(x) σε κάθε εσωτερικό σημείο, από το θεώρημα της παραγώγου γραμμικού συνδυασμού, του μαθήματος για τους κανόνες παραγώγισης. Το ότι η −f-f είναι αύξουσα σημαίνει ότι η ff είναι φθίνουσα.

Η παράγωγος ζητείται μόνο στα εσωτερικά σημεία· στα άκρα που ανήκουν στο διάστημα αρκεί η συνέχεια. Έτσι, η x\sqrt{x} είναι γνησίως αύξουσα στο [0,∞)\ico{0}{\infty}, αν και δεν είναι παραγωγίσιμη στο 00. Το θεώρημα εκπληρώνει τρεις προαναγγελίες της ενότητας για τις παραγώγους. Το μάθημα για τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων παρατήρησε ότι η παράγωγος της εφαπτομένης, 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x, είναι θετική, αν και η εφαπτομένη δεν είναι αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, που δεν είναι διάστημα· σε κάθε διάστημα (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}, με kk ακέραιο, το θεώρημα την κάνει γνησίως αύξουσα. Το μάθημα για τη μεταβλητή στον εκθέτη υπολόγισε την παράγωγο x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}, που είναι θετική στο (0,e)\ioo{0}{e} και αρνητική στο (e,∞)\ioo{e}{\infty}· επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}, είναι γνησίως αύξουσα στο (0,e]\ioc{0}{e} και γνησίως φθίνουσα στο [e,∞)\ico{e}{\infty}. Αυτό ανακτά την πρόταση του μεγίστου του xx εις την 1x\frac{1}{x}, εκείνου του μαθήματος, και επιπλέον συγκρίνει δύο αριθμούς από την ίδια πλευρά του ee: επειδή e<3<4e < 3 < 4, ισχύει 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}, δηλαδή 34>433^4 > 4^3. Το ίδιο μάθημα απέδειξε ότι η παράγωγος της (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x είναι θετική για κάθε x>0x > 0: η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

ΠρότασηΤο πρόσημο της παραγώγου μονότονης συνάρτησης

Έστω ff αύξουσα σε ένα διάστημα II και παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο aa του II. Τότε f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Αν η ff είναι φθίνουσα, f′(a)≤0f'(a) \leq 0. Αν η παράγωγος ήταν αρνητική, η πρόταση του προσήμου της παραγώγου σε σημείο θα έδινε δεξιά του aa τιμές μικρότερες από την f(a)f(a).

Απόδειξη

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    Έστω r>0r > 0 τέτοιο ώστε το J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} να περιέχεται στο II, και έστω FF ο περιορισμός της ff στο JJ· από το λήμμα του τοπικού χαρακτήρα της παραγώγου, του μαθήματος για τους κανόνες παραγώγισης, η FF είναι παραγωγίσιμη στο aa και F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a). Ας υποθέσουμε ότι f′(a)<0f'(a) < 0. Από την πρόταση του προσήμου της παραγώγου σε σημείο, εφαρμοσμένη στην FF στο ανοικτό διάστημα JJ, υπάρχει δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε:

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    Έστω ρ\rho το μικρότερο από τα δ\delta και rr. Το σημείο a+ρ2a + \frac{\rho}{2} ανήκει στο JJ και είναι μεγαλύτερο από το aa· επειδή η ff είναι αύξουσα, η τιμή της σε αυτό δεν είναι μικρότερη από την f(a)f(a), σε αντίφαση με όσα βρέθηκαν παραπάνω. Συνεπώς, f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Αν η ff είναι φθίνουσα, η −f-f είναι αύξουσα, και −f′(a)≥0-f'(a) \geq 0.

Για μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε όλα τα σημεία ενός ανοικτού διαστήματος, το να είναι αύξουσα ισοδυναμεί, άρα, με το να έχει μη αρνητική παράγωγο. Το αντίστροφο δεν επεκτείνεται στη γνήσια μονοτονία: η x3x^3 είναι γνησίως αύξουσα στο R\mathbb{R}, και η παράγωγός της μηδενίζεται στο 00. Η πρόταση εξηγεί επίσης το παράδειγμα της αρχής: το μάθημα για τους ρυθμούς μεταβολής βρήκε, αυθαίρετα κοντά στο 00, σημεία όπου η παράγωγος της x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} είναι αρνητική, και σε κανένα διάστημα που τα περιέχει η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι αύξουσα. Το πρόβλημα βρίσκεται στο ότι αυτή η παράγωγος δεν είναι συνεχής στο 00· αν είναι, το πρόσημο σε ένα σημείο επεκτείνεται σε ένα διάστημα.

ΠόρισμαΘετική παράγωγος συνεχής σε σημείο

Έστω ff παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ενός ανοικτού διαστήματος II, και έστω aa ένα σημείο του II στο οποίο η f′f' είναι συνεχής, με f′(a)>0f'(a) > 0. Τότε υπάρχει ένα δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε η ff να είναι γνησίως αύξουσα στο (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta}. Η παράγωγος διατηρεί το πρόσημό της κοντά στο aa, και το θεώρημα εφαρμόζεται στο διάστημα όπου το διατηρεί.

Απόδειξη

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    Επειδή η f′f' είναι συνεχής στο aa, το όριό της στο aa είναι f′(a)>0f'(a) > 0. Από την πρόταση της τοπικής φραγής και της διατήρησης του προσήμου, του μαθήματος για το όριο μιας συνάρτησης, υπάρχει ένα δ>0\delta > 0, που μπορεί να ληφθεί έτσι ώστε το (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} να περιέχεται στο II, με f′(x)>0f'(x) > 0 σε αυτό το διάστημα. Εκεί η ff είναι παραγωγίσιμη, και άρα συνεχής· από το θεώρημα, είναι γνησίως αύξουσα.

Πότε μια συνάρτηση με μη αρνητική παράγωγο είναι γνησίως αύξουσα; Το παράδειγμα της x3x^3 δείχνει ότι η παράγωγος μπορεί να μηδενίζεται σε κάποιο σημείο· αυτό που δεν μπορεί είναι να μηδενίζεται σε ένα ολόκληρο διάστημα.

ΠρότασηΓνήσια μονοτονία με μη αρνητική παράγωγο

Έστω ff συνεχής σε ένα διάστημα II και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του II, με f′(x)≥0f'(x) \geq 0 σε καθένα. Τότε η ff είναι γνησίως αύξουσα στο II αν και μόνο αν δεν υπάρχει κανένα διάστημα (p,q)\ioo{p}{q}, με p<qp < q, που να περιέχεται στο II και σε όλα τα σημεία του οποίου να μηδενίζεται η f′f'. Ειδικότερα, αν η f′f' μηδενίζεται μόνο σε πεπερασμένο πλήθος σημείων, η ff είναι γνησίως αύξουσα στο II. Μια αύξουσα συνάρτηση που δεν είναι γνησίως αύξουσα επαναλαμβάνει μια τιμή, και ανάμεσα στα δύο σημεία όπου την επαναλαμβάνει είναι σταθερή.

Απόδειξη

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    Ας υποθέσουμε ότι η f′f' μηδενίζεται σε όλα τα σημεία ενός διαστήματος (p,q)\ioo{p}{q} που περιέχεται στο II, και έστω p<s<t<qp < s < t < q. Στο [s,t]\icc{s}{t}, η συνάρτηση είναι συνεχής και έχει μηδενική παράγωγο στα σημεία του (s,t)\ioo{s}{t}· από το πόρισμα της μηδενικής παραγώγου σε διάστημα, του μαθήματος για τα θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί, είναι σταθερή στο [s,t]\icc{s}{t}, και δεν είναι γνησίως αύξουσα.

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    Αντιστρόφως, ας υποθέσουμε ότι η ff δεν είναι γνησίως αύξουσα. Από το θεώρημα, είναι αύξουσα, οπότε υπάρχουν s<ts < t στο II με f(s)=f(t)f(s) = f(t)· κάθε ενδιάμεση τιμή εγκλωβίζεται ανάμεσα σε δύο ίσες τιμές, και η ff είναι σταθερή στο [s,t]\icc{s}{t}.

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    Έστω xx στο (s,t)\ioo{s}{t}. Ο περιορισμός της ff στο (s,t)\ioo{s}{t} είναι σταθερός, με μηδενική παράγωγο στο xx· από το λήμμα του τοπικού χαρακτήρα της παραγώγου, f′(x)=0f'(x) = 0. Η παράγωγος μηδενίζεται σε όλο το διάστημα (s,t)\ioo{s}{t}, που περιέχεται στο II. Αν η f′f' μηδενίζεται μόνο σε πεπερασμένο πλήθος σημείων, δεν υπάρχει τέτοιο διάστημα, γιατί κάθε διάστημα (p,q)\ioo{p}{q} με p<qp < q έχει άπειρα σημεία.

Η συνάρτηση x+sin⁡xx + \sin x, του λυμένου προβλήματος 1 του μαθήματος για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης, έχει παράγωγο 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0, που μηδενίζεται στα άπειρα σημεία π+2kπ\pi + 2k\pi· ανάμεσα σε δύο διαδοχικά από αυτά η παράγωγος είναι θετική, και κανένα διάστημα δεν αποτελείται από ρίζες της. Η πρόταση την κάνει γνησίως αύξουσα στο R\mathbb{R}, κάτι που εκείνο το μάθημα πέτυχε με τον τύπο της διαφοράς δύο ημιτόνων και που εκεί φαινόταν εκπληκτικό. Ο ίδιος συλλογισμός επιτρέπει πεπερασμένο πλήθος σημείων χωρίς παράγωγο: αν η ff είναι συνεχής στο II και έχει θετική παράγωγο σε όλα τα εσωτερικά του σημεία εκτός από τα x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k, το θεώρημα την κάνει γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα ανάμεσα σε δύο διαδοχικά από αυτά τα σημεία (και στα κομμάτια των άκρων), και οι ανισότητες συνδυάζονται. Έτσι, η x3\sqrt[3]{x} είναι γνησίως αύξουσα στο R\mathbb{R}, αν και δεν είναι παραγωγίσιμη στο 00. Η συνέχεια δεν μπορεί να παραλειφθεί (προτεινόμενο πρόβλημα 1).

ΠόρισμαΘετική παράγωγος και αντίστροφη συνάρτηση

Έστω ff συνεχής σε ένα διάστημα II με περισσότερα από ένα σημεία και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του II, με f′(x)>0f'(x) > 0 σε καθένα, ή με f′(x)<0f'(x) < 0 σε καθένα. Τότε η ff είναι γνησίως μονότονη στο II, η εικόνα της J=f(I)J = f(I) είναι διάστημα και η αντίστροφη f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I είναι συνεχής· σε κάθε σημείο b=f(a)b = f(a), με aa εσωτερικό του II, η αντίστροφη είναι παραγωγίσιμη, και (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}. Το θεώρημα δίνει τη γνήσια μονοτονία, που είναι η παραδοχή του θεωρήματος της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης.

Απόδειξη

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    Από το θεώρημα, η ff είναι γνησίως αύξουσα, ή γνησίως φθίνουσα, στο II. Από τα πορίσματα της εικόνας ενός διαστήματος και της συνέχειας της αντίστροφης, του μαθήματος για το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, το JJ είναι διάστημα και η f−1f^{-1} είναι συνεχής στο JJ.

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Αν το aa είναι εσωτερικό, η ff είναι παραγωγίσιμη στο aa με f′(a)≠0f'(a) \neq 0, και το θεώρημα της παραγώγου της αντίστροφης συνάρτησης, του μαθήματος για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης, δίνει την παράγωγο της f−1f^{-1} στο b=f(a)b = f(a).

Οι αξιολογήσεις της ενότητας για τις παραγώγους θεωρούσαν γνωστό ότι οι x5+xx^5 + x και x3+2x+1x^3 + 2x + 1 είναι γνησίως αύξουσες στο R\mathbb{R}· τώρα αρκεί να παρατηρήσουμε ότι οι παράγωγοί τους, 5x4+15x^4 + 1 και 3x2+23x^2 + 2, είναι θετικές. Και η πρόκληση της αντίστροφης της xexx e^x, στη σύνθεση εκείνης της ενότητας, που ζητούσε να αποδειχθεί χωρίς το πρόσημο της παραγώγου ότι αυτή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [−1,∞)\ico{-1}{\infty}, απαντιέται τώρα σε μία γραμμή: είναι συνεχής εκεί και η παράγωγός της, (1+x)ex(1 + x) e^x, είναι θετική στο (−1,∞)\ioo{-1}{\infty}.