Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης

Περίληψη

Αυτό το μάθημα συγκεντρώνει τα αποτελέσματα των μαθημάτων που προηγήθηκαν σε μια μέθοδο για την εύρεση των ακροτάτων μιας συνάρτησης. Ονομάζει ολικά το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της, για να τα διακρίνει από τα τοπικά, και ορίζει τα γνήσια ακρότατα. Αποδεικνύει έπειτα δύο κριτήρια που αποφασίζουν αν ένα σημείο με μηδενική παράγωγο είναι τοπικό ακρότατο χωρίς να μελετηθεί το πρόσημο της παραγώγου γύρω από αυτό: το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου, που προκύπτει από το κριτήριο της πρώτης παραγώγου, και το κριτήριο των παραγώγων ανώτερης τάξης, που προκύπτει από τον κανόνα του Λοπιτάλ: αν η πρώτη παράγωγος που δεν μηδενίζεται στο σημείο είναι άρτιας τάξης, υπάρχει ακρότατο, και αν είναι περιττής τάξης, δεν υπάρχει. Το δεύτερο μισό του μαθήματος πραγματεύεται τα ολικά ακρότατα. Σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα υπάρχουν, από το θεώρημα του Βάιερστρας, και το θεώρημα του Φερμά τα περιορίζει σε έναν κατάλογο υποψηφίων, τα άκρα του διαστήματος και τα κρίσιμα σημεία, ανάμεσα στους οποίους αρκεί να συγκριθούν οι τιμές. Σε ένα ανοικτό ή μη φραγμένο διάστημα μπορεί να μην υπάρχουν, και κρίνονται με τη μονοτονία ή με τα όρια στα άκρα του διαστήματος· ειδικότερα, αν μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα έχει ένα μοναδικό κρίσιμο σημείο και παρουσιάζει σε αυτό τοπικό ακρότατο, το ακρότατο αυτό είναι ολικό.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να διακρίνει κανείς με ποσοδείκτες τα ολικά ακρότατα από τα τοπικά, και τα γνήσια από όσα δεν είναι, και να αναγνωρίζει κάθε περίπτωση σε συγκεκριμένες συναρτήσεις.
  2. Να αποδεικνύει τα κριτήρια της δεύτερης παραγώγου και των παραγώγων ανώτερης τάξης, και να αποφασίζει με αυτά αν ένα σημείο με μηδενική παράγωγο είναι τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο ή τίποτε από τα δύο, ακόμη και όταν η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται.
  3. Να βρίσκει τα ολικά ακρότατα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό και φραγμένο διάστημα συγκρίνοντας τις τιμές της στα άκρα του διαστήματος και στα κρίσιμα σημεία.
  4. Να αποφασίζει αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τα ολικά ακρότατά της σε ανοικτό ή μη φραγμένο διάστημα, με τη μονοτονία, με ένα μοναδικό κρίσιμο σημείο ή με τα όρια στα άκρα του διαστήματος.

Ολικά, τοπικά και γνήσια ακρότατα

Το μάθημα για το θεώρημα του Βάιερστρας όρισε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης σε ένα σύνολο, και το μάθημα για τα θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί τα τοπικά ακρότατα, που συγκρίνουν μόνο την τιμή σε ένα σημείο με τις κοντινές τιμές. Είναι σκόπιμο τώρα να δοθεί στα πρώτα ένα όνομα που να τα διακρίνει από τα δεύτερα, και να διευκρινιστεί πότε η τιμή στο σημείο είναι μεγαλύτερη από όλες τις άλλες με τις οποίες συγκρίνεται, και όχι μόνο μεγαλύτερη ή ίση.

ΟρισμόςΟλικά ακρότατα και γνήσια ακρότατα

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο AA και x0x_0 ένα στοιχείο του AA. Λέμε ότι η ff παρουσιάζει στο x0x_0 ολικό μέγιστο αν παρουσιάζει στο x0x_0 το μέγιστό της στο AA, και ολικό ελάχιστο αν παρουσιάζει στο x0x_0 το ελάχιστό της στο AA, με την έννοια του μαθήματος για το θεώρημα του Βάιερστρας· ολικό ακρότατο είναι ένα ολικό μέγιστο ή ένα ολικό ελάχιστο. Ένα ολικό ή τοπικό μέγιστο είναι γνήσιο αν η f(x0)f(x_0) είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις άλλες τιμές με τις οποίες συγκρίνεται:

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

Ο πρώτος τύπος ορίζει το γνήσιο ολικό μέγιστο, και ο δεύτερος το γνήσιο τοπικό μέγιστο· τα γνήσια ελάχιστα ορίζονται με τον ίδιο τρόπο, με f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0).

Τα ολικά ακρότατα λέγονται και απόλυτα, και τα τοπικά σχετικά. Κάθε ολικό ακρότατο είναι τοπικό, με οποιοδήποτε δ\delta, και κάθε γνήσιο ακρότατο είναι ακρότατο· οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. Η συνάρτηση x3−3xx^3 - 3x παρουσιάζει στο −1-1 τοπικό μέγιστο που δεν είναι ολικό, όπως είδαμε στο μάθημα για τα θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί. Το συνημίτονο παρουσιάζει το ολικό του μέγιστο στο R\mathbb{R} σε κάθε πολλαπλάσιο του 2π2\pi· κανένα από αυτά τα μέγιστα δεν είναι γνήσιο ολικό, επειδή η τιμή 11 επαναλαμβάνεται, και καθένα είναι γνήσιο τοπικό, επειδή cos⁡x<1\cos x < 1 αν 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi. Μια σταθερή συνάρτηση παρουσιάζει σε κάθε σημείο ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο, και κανένα δεν είναι γνήσιο. Γενικά, αν η ff παρουσιάζει στο x0x_0 ταυτόχρονα τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο, είναι σταθερή κοντά στο x0x_0. Η ολική μέγιστη τιμή, αν υπάρχει, είναι μοναδική· ένα γνήσιο ολικό μέγιστο, επιπλέον, παρουσιάζεται σε ένα μόνο σημείο.

Τα ακρότατα εξαρτώνται από το πεδίο ορισμού. Αν η ff παρουσιάζει ακρότατο στο x0x_0 και το BB είναι υποσύνολο του AA που περιέχει το x0x_0, ο περιορισμός της ff στο BB το παρουσιάζει επίσης, επειδή συγκρίνεται με λιγότερες τιμές· η αντίστροφη συνεπαγωγή δεν ισχύει: η x2x^2 παρουσιάζει στο [1,2]\icc{1}{2} το ολικό της ελάχιστο στο 11, και στο R\mathbb{R} δεν έχει στο 11 κανένα ακρότατο.