Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Θεωρήματα των Φερμά, Ρολ, Λαγκράνζ και Κωσί

Περίληψη

Αυτό το μάθημα περνά από όσα λέει η παράγωγος σε ένα σημείο σε όσα λέει σε ένα διάστημα. Ορίζει τα τοπικά ακρότατα και αποδεικνύει το θεώρημα του Φερμά: αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη εκεί, η παράγωγός της μηδενίζεται· η απόδειξη προκύπτει από την πρόταση για το πρόσημο της παραγώγου σε σημείο, από το μάθημα για τους ρυθμούς μεταβολής. Μαζί με το θεώρημα του Βάιερστρας, από το μάθημα που προηγήθηκε, το θεώρημα του Φερμά δίνει το θεώρημα του Ρολ· το θεώρημα του Ρολ, εφαρμοσμένο στη διαφορά της συνάρτησης και της χορδής της, δίνει το θεώρημα μέσης τιμής του Λαγκράνζ, σύμφωνα με το οποίο κάποια εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τη χορδή· και, εφαρμοσμένο σε έναν συνδυασμό δύο συναρτήσεων, δίνει το θεώρημα μέσης τιμής του Κωσί, με το οποίο το μάθημα που ακολουθεί θα αποδείξει τον κανόνα του Λοπιτάλ. Από το θεώρημα μέσης τιμής προκύπτουν οι πρώτες ολικές συνέπειες: μια συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε ένα διάστημα είναι σταθερή, δύο συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο διαφέρουν κατά μια σταθερά, ένα φράγμα της παραγώγου φράσσει τις προσαυξήσεις, ανάμεσα σε δύο ρίζες μιας συνάρτησης υπάρχει μια ρίζα της παραγώγου της, και το όριο της παραγώγου, αν υπάρχει, είναι η παράγωγος. Απλές περιπτώσεις δείχνουν ότι καμία παραδοχή των θεωρημάτων δεν μπορεί να παραλειφθεί.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να εκφράζεται με ποσοδείκτες τι είναι τοπικό ακρότατο και να αποδεικνύεται το θεώρημα του Φερμά, διακρίνοντας την αναγκαία συνθήκη που δίνει από μια ικανή συνθήκη.
  2. Να αποδεικνύονται τα θεωρήματα του Ρολ, μέσης τιμής του Λαγκράνζ και μέσης τιμής του Κωσί, να διαβάζονται στη γραφική παράσταση και να δείχνεται με αντιπαραδείγματα ότι οι παραδοχές τους δεν μπορούν να παραλειφθούν.
  3. Να συνάγεται από το θεώρημα μέσης τιμής ότι μια συνάρτηση με μηδενική παράγωγο σε ένα διάστημα είναι σταθερή, και να προκύπτουν ανισότητες και φράγματα σφάλματος από ένα φράγμα της παραγώγου.
  4. Να μετριούνται οι ρίζες μιας εξίσωσης, φράσσοντας το πλήθος τους από πάνω με το θεώρημα του Ρολ και από κάτω με το θεώρημα του Μπολτσάνο.

Τοπικά ακρότατα και το θεώρημα του Φερμά

Το μάθημα για το θεώρημα του Βάιερστρας εξασφαλίζει ότι μια συνάρτηση συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο, αλλά δεν λέει πού. Για να τα εντοπίσουμε, χρειάζεται μια έννοια που να κοιτάζει μόνο κοντά στο σημείο: μια τιμή μπορεί να είναι η μεγαλύτερη ανάμεσα στις κοντινές χωρίς να είναι η μεγαλύτερη από όλες.

ΟρισμόςΤοπικό ακρότατο και εσωτερικό σημείο

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο AA και x0x_0 ένα στοιχείο του AA. Λέμε ότι η ff παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0x_0 αν υπάρχει ένα δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε καμία τιμή της ff στα σημεία του AA που απέχουν από το x0x_0 λιγότερο από δ\delta να μην υπερβαίνει την f(x0)f(x_0), και ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0x_0 αν καμία από αυτές τις τιμές δεν είναι μικρότερη από την f(x0)f(x_0):

(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x)≤f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x0)≤f(x))(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

Ένα τοπικό ακρότατο είναι ένα τοπικό μέγιστο ή ένα τοπικό ελάχιστο. Το σημείο x0x_0 είναι εσωτερικό σημείο του AA αν υπάρχει ένα r>0r > 0 τέτοιο ώστε (x0−r,x0+r)⊆A\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A.

Αν η ff παρουσιάζει το μέγιστό της στο AA στο σημείο x0x_0, με την έννοια του μαθήματος που προηγήθηκε, παρουσιάζει εκεί τοπικό μέγιστο, με οποιοδήποτε δ\delta· το αντίστροφο δεν ισχύει. Ας θεωρήσουμε την f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Επειδή 2−f(x)=(x+1)2(2−x)2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x), ισχύει f(x)≤2=f(−1)f(x) \leq 2 = f(-1) για κάθε x≤2x \leq 2: η συνάρτηση παρουσιάζει στο −1-1 τοπικό μέγιστο, με δ=3\delta = 3, που δεν είναι το μέγιστό της στο R\mathbb{R}, επειδή f(3)=18f(3) = 18. Τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος είναι όλα τα σημεία του εκτός από τα άκρα που του ανήκουν· του [a,b]\icc{a}{b} είναι εκείνα του (a,b)\ioo{a}{b}. Ένα τοπικό ακρότατο μπορεί να βρίσκεται στο σύνορο: η συνάρτηση xx, στο [0,1]\icc{0}{1}, παρουσιάζει το ελάχιστό της στο 00 και το μέγιστό της στο 11.

ΘεώρημαΘεώρημα του Φερμά

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο AA και aa ένα εσωτερικό σημείο του AA. Αν η ff παρουσιάζει στο aa τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο aa, τότε f′(a)=0f'(a) = 0. Αν η παράγωγος ήταν θετική, η πρόταση του προσήμου της παραγώγου θα έβαζε δεξιά του aa, πολύ κοντά, τιμές μεγαλύτερες από την f(a)f(a)· αν ήταν αρνητική, θα τις έβαζε αριστερά. Το σχήμα δείχνει, με την f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x και το τοπικό της μέγιστο στο a=−1a = -1, γιατί καμία από τις δύο κλίσεις δεν είναι δυνατή.

Απόδειξη

  1. x∈A, ∣x−a∣<δ0→f(x)≤f(a),F′(a)=f′(a)x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}

    Ας υποθέσουμε πρώτα ότι η ff παρουσιάζει στο aa τοπικό μέγιστο, με ένα δ0>0\delta_0 > 0, και έστω r>0r > 0 τέτοιο ώστε το διάστημα I=(a−r,a+r)I = \ioo{a - r}{a + r} να περιέχεται στο AA. Έστω FF ο περιορισμός της ff στο II. Κάθε xx του AA με ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r ανήκει στο II· από το λήμμα του τοπικού χαρακτήρα της παραγώγου, από το μάθημα για τους κανόνες παραγώγισης, η FF είναι παραγωγίσιμη στο aa, με την ίδια παράγωγο.

  2. f(a+ρ2)>f(a),f(a+ρ2)≤f(a)f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}

    Αν f′(a)>0f'(a) > 0, η πρόταση του προσήμου της παραγώγου σε σημείο, από το μάθημα για τους ρυθμούς μεταβολής, εφαρμοσμένη στην FF στο ανοικτό διάστημα II, δίνει ένα δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε f(x)>f(a)f(x) > f(a) για κάθε xx του II με a<x<a+δa < x < a + \delta. Έστω ρ\rho ο μικρότερος από τους αριθμούς δ\delta, δ0\delta_0 και rr. Το σημείο a+ρ2a + \frac{\rho}{2} ανήκει στο II, ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη και απέχει από το aa λιγότερο από δ0\delta_0: η τιμή της συνάρτησης σε αυτό θα ήταν ταυτόχρονα μεγαλύτερη από την f(a)f(a) και όχι μεγαλύτερη. Άρα η περίπτωση f′(a)>0f'(a) > 0 είναι αδύνατη.

  3. f(a−ρ2)>f(a),f(a−ρ2)≤f(a)→f′(a)=0f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}

    Αν f′(a)<0f'(a) < 0, η ίδια πρόταση, με τις ανισότητες μεταξύ των τιμών αντεστραμμένες, δίνει ένα δ>0\delta > 0 τέτοιο ώστε f(x)>f(a)f(x) > f(a) για κάθε xx του II με a−δ<x<aa - \delta < x < a, και το σημείο a−ρ2a - \frac{\rho}{2} οδηγεί στην ίδια αντίφαση. Αφού η παράγωγος δεν είναι ούτε θετική ούτε αρνητική, είναι μηδέν.

  4. (−f)′(a)=−f′(a)=0→f′(a)=0(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}

    Αν η ff παρουσιάζει στο aa τοπικό ελάχιστο, η −f-f παρουσιάζει εκεί τοπικό μέγιστο και είναι παραγωγίσιμη στο aa, με παράγωγο −f′(a)-f'(a), από το θεώρημα της παραγώγου γραμμικού συνδυασμού, από το μάθημα για τους κανόνες παραγώγισης. Από όσα ήδη αποδείχθηκαν, αυτή η παράγωγος είναι μηδέν.

Το θεώρημα δίνει μια αναγκαία συνθήκη, όχι ικανή: η x3x^3 έχει μηδενική παράγωγο στο 00 και δεν παρουσιάζει εκεί κανένα τοπικό ακρότατο, επειδή παίρνει αρνητικές τιμές αριστερά του 00 και θετικές δεξιά. Ούτε οι άλλες δύο παραδοχές μπορούν να παραλειφθούν. Αν το aa δεν είναι εσωτερικό, η παράγωγος μπορεί να μη μηδενίζεται: η συνάρτηση xx, στο [0,1]\icc{0}{1}, παρουσιάζει το μέγιστό της στο 11, και η παράγωγός της εκεί, που είναι το όριο του λόγου μεταβολής από αριστερά επειδή το πεδίο ορισμού δεν έχει σημεία δεξιά του 11, ισούται με 11. Αν η ff δεν είναι παραγωγίσιμη στο aa, το θεώρημα δεν λέει τίποτα: η ∣x∣\abs{x} παρουσιάζει το ελάχιστό της στο 00, όπου δεν είναι παραγωγίσιμη. Συνεπώς, τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης αναζητούνται ανάμεσα στα εσωτερικά σημεία όπου η παράγωγος μηδενίζεται, στα σημεία όπου δεν είναι παραγωγίσιμη και στα σημεία που δεν είναι εσωτερικά· το μάθημα για τη μονοτονία θα τους δώσει όνομα και ένα κριτήριο για να αποφασίζουμε ποια είναι ακρότατα. Το λυμένο πρόβλημα 1 του μαθήματος για τους κανόνες παραγώγισης παρατήρησε ότι οι οριζόντιες εφαπτόμενες της xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} αγγίζουν τη γραφική παράσταση στη μεγαλύτερη και στη μικρότερη τιμή της, και προανήγγειλε ότι αυτό δεν ήταν σύμπτωση: μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R\mathbb{R} που παρουσιάζει μέγιστο το παρουσιάζει σε εσωτερικό σημείο, όπου το θεώρημα του Φερμά μηδενίζει την παράγωγο.