انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

المعادلات والمتراجحات المثلثية

ملخص

يحلّ هذا الدرس المعادلات والمتراجحات التي يظهر فيها المجهول داخل دوال مثلثية. فيبرهن أولًا الحلول العامة للمعادلات sin⁡x=c\sin x = c وcos⁡x=c\cos x = c وtan⁡x=c\tan x = c على المستقيم الحقيقي كله، وهي حلول تمدّ بالدورية الحلولَ في دورة واحدة المستخرجة بالدوال العكسية، ويَعُدّ كم منها يقع في فترة معطاة. ثم يعلّم كيف تُردّ إلى هذه المعادلات الأولية المعادلاتُ التي تُحلّ بالمتطابقات أو بالتحليل إلى عوامل أو بالزوايا المضاعفة، عن طريق تساوي جيبين أو تساوي جيبَي تمام؛ ويحلّ المعادلات الخطية في الجيب وجيب التمام بالشكل التوافقي، مع شرط قابليتها للحل، والمعادلات المتجانسة، ويبيّن كيف تُضيّع القسمةُ حلولًا وكيف يضيف الرفعُ إلى المربع حلولًا. وأخيرًا يحلّ المتراجحات في دورة واحدة بدائرة الوحدة وبجداول الإشارات، ويمدّها دوريًّا.

أهداف التعلم

  1. برهان الحلول العامة للمعادلات الأولية للجيب وجيب التمام والظل وتطبيقها، وعدّ حلولها في فترة معطاة.
  2. ردّ معادلة مثلثية إلى معادلات أولية بواسطة المتطابقات والتحليل إلى عوامل وتساوي جيبين أو جيبَي تمام والشكل التوافقي، وتقرير متى يكون لمعادلة خطية في الجيب وجيب التمام حل.
  3. التعرّف على الحلول التي تضيع بالقسمة وعلى التي تُضاف بالرفع إلى المربع أو بالضرب، والتحقق من كل حل يُحصل عليه في المعادلة الأصلية.
  4. حلّ متراجحات مثلثية في دورة واحدة بدائرة الوحدة وبجداول الإشارات، وكتابة حلها العام.

الحلول العامة للمعادلات الأولية

المعادلة المثلثية معادلة يظهر فيها المجهول في وسيط دوال مثلثية، مثل 2sin⁡2x−3sin⁡x+1=02\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 أو sin⁡3x=sin⁡x\sin 3x = \sin x؛ وحلّها هو إيجاد مجموعة كل الأعداد الحقيقية التي تحققها. وفي الدرس الخاص بـالدوال المثلثية العكسية بُرهنت مبرهنة المعادلات الأولية، التي تعطي حلول sin⁡x=c\sin x = c وcos⁡x=c\cos x = c في [0,2π)\ico{0}{2\pi}. غير أن للجيب وجيب التمام الدور 2π2\pi، وللظل الدور π\pi، بحسب الدرس الخاص بـالدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية؛ ويترتب على ذلك أن كل حل يتكرر عددًا لا نهائيًا من المرات، وأنه يكفي لوصفها كلها معرفتها في فترة طولها دور واحد. والحقيقة التي تتيح الانتقال من فترة كهذه إلى المستقيم كله صيغةٌ معدّلة من مبرهنة الردّ إلى الدورة الأولى، المبرهَنة في الدرس الخاص بـالزوايا وقياسها.

توطئةالردّ إلى دور واحد

ليكن p>0p > 0 وaa عددين حقيقيين. لكل عدد حقيقي xx يوجد عدد صحيح وحيد kk بحيث x−kp∈[a,a+p)x - kp \in \ico{a}{a + p}.

تغيير المقياس ينقل الفترة [a,a+p)\ico{a}{a + p} إلى الدورة الأولى [0,2π)\ico{0}{2\pi}، وتعطي مبرهنة الردّ إلى الدورة الأولى العدد الصحيح المطلوب. ويستعمل الرسم a=1a = 1 وp=52p = \frac{5}{2} وx=8x = 8.

البرهان

  1. θ=2πp(x−a)=θ0+2kπ,0≤θ0<2π\theta = \frac{2\pi}{p} (x - a) = \dato{t}{\theta_0 + 2k\pi, \quad 0 \leq \theta_0 < 2\pi}

    ليكن θ\theta العدد الذي يُحصل عليه من xx بطرح aa ثم الضرب في 2πp\frac{2\pi}{p}. بحسب مبرهنة الردّ إلى الدورة الأولى، يوجد عدد صحيح وحيد kk وعدد وحيد θ0\theta_0 في [0,2π)\ico{0}{2\pi} بحيث θ=θ0+2kπ\theta = \theta_0 + 2k\pi.

  2. x−kp=a+p2πθ0→a≤x−kp<a+px - kp = a + \frac{p}{2\pi} \theta_0 \rightarrow \resaltar{a \leq x - kp < a + p}

    نضرب في p2π\frac{p}{2\pi}، وهو موجب ويحافظ على المتباينات، ونضيف aa: فيقع العدد x−kpx - kp في الفترة المطلوبة. وفي الرسم، k=2k = 2 وx−2p=3x - 2p = 3.

  3. a≤x−jp<a+p→0≤θ−2jπ<2π→j=ka \leq x - jp < a + p \rightarrow 0 \leq \resaltar{\theta - 2j\pi} < 2\pi \rightarrow \resaltar{j = k}

    الوحدانية: إذا حقق عدد صحيح jj أيضًا a≤x−jp<a+pa \leq x - jp < a + p، فبطرح aa والضرب في 2πp\frac{2\pi}{p} نحصل على أن θ−2jπ\theta - 2j\pi يقع في [0,2π)\ico{0}{2\pi}، بحيث يكون θ=(θ−2jπ)+2jπ\theta = \left( \theta - 2j\pi \right) + 2j\pi تفكيكًا آخر مثل التفكيك الذي في بداية البرهان؛ وبالوحدانية التي تعطيها مبرهنة الردّ، j=kj = k.

مبرهنةالحلول العامة

ليكن cc عددًا حقيقيًا يحقق ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1. حلول sin⁡x=c\sin x = c هي الأعداد arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi وπ−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi، وحلول cos⁡x=c\cos x = c هي الأعداد arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi و−arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi، حيث يجري kk في الأعداد الصحيحة. ولكل عدد حقيقي cc، حلول tan⁡x=c\tan x = c هي الأعداد arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi، حيث kk عدد صحيح. وإذا كان ∣c∣>1\abs{c} > 1، فلا حل لمعادلتَي الجيب وجيب التمام.

وبرموز المجموعات والروابط المنطقية، تُكتب المبرهنة هكذا:

sin⁡x=c↔x=arcsin⁡c+2kπ∨x=π−arcsin⁡c+2kπ,k∈Z\sin x = c \leftrightarrow x = \arcsin c + 2k\pi \vee x = \pi - \arcsin c + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
cos⁡x=c↔x=±arccos⁡c+2kπ,tan⁡x=c↔x=arctan⁡c+kπ,k∈Z\cos x = c \leftrightarrow x = \pm \arccos c + 2k\pi, \qquad \tan x = c \leftrightarrow x = \arctan c + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

نعمل أولًا في [−π2,3π2)\ico{-\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}، وهي دورة واحدة، مقسومة إلى نصفين: في [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} يكون الجيب متزايدًا تمامًا، بحسب مبرهنة الرتابة على الفترات الرئيسية، التي يستنتجها الدرس الخاص بالدوال العكسية من مسلّمة السير على الدائرة بطول القوس، وفي (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}} يعمل تناظر الزوايا المكمّلة، sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x، من الدرس الخاص بـالنسب المثلثية. وتمدّ التوطئة النتيجة إلى المستقيم كله، وتُردّ معادلة جيب التمام إلى معادلة الجيب. وتستعمل الرسوم c=12c = \frac{1}{2}، مع arcsin⁡c=π6\arcsin c = \frac{\pi}{6}.

البرهان

  1. −π2≤x≤π2→(sin⁡x=c↔x=α)\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}

    ليكن α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c، وهو يقع في [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} ويحقق sin⁡α=c\sin \alpha = c. ولمّا كان الجيب متزايدًا تمامًا في هذه الفترة، فإنه لا يأخذ فيها القيمة نفسها مرتين: α\alpha هو الحل الوحيد في النصف الأول من الدورة. وعلى دائرة الوحدة، P(α)P(\alpha) هي نقطة النصف الأيمن الواقعة على الارتفاع cc.

  2. sin⁡x=sin⁡(π−x)=c↔π−x=α↔x=π−α\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}

    إذا كان xx في (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}، فإن الزاوية π−x\pi - x تقع في (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} ولها الجيب نفسه الذي لـxx. وبما سبق إثباته، يكون xx حلًّا تمامًا عندما π−x=α\pi - x = \alpha: المستقيم الأفقي الذي ارتفاعه cc يقطع النصف الأيسر في النقطة المتناظرة P(π−α)P(\pi - \alpha).

  3. sin⁡x=sin⁡x0=c↔x=α+2kπ∨x=π−α+2kπ\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}

    ليكن الآن xx عددًا حقيقيًا ما. بحسب التوطئة، مع p=2πp = 2\pi وa=−π2a = -\frac{\pi}{2}، يُكتب x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi حيث x0x_0 في الدورة المدروسة، وبالدورية sin⁡x=sin⁡x0\sin x = \sin x_0. لذلك يكون xx حلًّا إذا وفقط إذا كان x0x_0 هو α\alpha أو π−α\pi - \alpha.

  4. α=±π2→π−α=α∨π−α=α+2π\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}

    وعكسيًا، كل عدد من هاتين العائلتين حل، بالدورية أيضًا. وفي التمثيل البياني للجيب، يقطع المستقيم y=cy = c المنحنى في نقطتين في كل دور. وإذا كان c=1c = 1 أو c=−1c = -1، تنطبق العائلتان، لأن π−α\pi - \alpha يختلف عن α\alpha بمضاعف لـ2π2\pi، ويكون في كل دور نقطة تقاطع واحدة.

  5. π2−x=π2−arccos⁡c+2kπ∨π2−x=π2+arccos⁡c+2kπ\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi

    ولجيب التمام يُستعمل تناظر الزوايا المتمّمة، cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)، ومبرهنة الزوايا المتمّمة من الدرس الخاص بالدوال العكسية، arcsin⁡c=π2−arccos⁡c\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c. وبتطبيق ما سبق إثباته على الزاوية π2−x\frac{\pi}{2} - x نحصل على عائلتين.

  6. cos⁡x=c↔x=±arccos⁡c+2kπ\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}

    وبعزل xx، تكون العائلتان arccos⁡c−2kπ\arccos c - 2k\pi و−arccos⁡c−2kπ-\arccos c - 2k\pi؛ ولمّا كان −k-k يجري في الأعداد الصحيحة عندما يجري فيها kk، فهما عائلتا نص المبرهنة. وعلى الدائرة، النقطتان P(β)P(\beta) وP(−β)P(-\beta)، مع β=arccos⁡c\beta = \arccos c، هما نقطتا تقاطع المستقيم الرأسي الذي فاصلته cc.

  7. tan⁡x=tan⁡x0=c↔x=arctan⁡c+kπ\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}

    وللظل، ودوره π\pi، تُطبَّق التوطئة مع p=πp = \pi وa=−π2a = -\frac{\pi}{2}: إذا كان x=x0+kπx = x_0 + k\pi حيث x0x_0 في (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}، وفيها يكون الظل تقابلًا على R\mathbb{R}، فإن الحل الوحيد هو x0=arctan⁡cx_0 = \arctan c؛ ولا تُحسب النقطة −π2-\frac{\pi}{2}، لأن الظل غير معرَّف فيها. وإذا كان ∣c∣>1\abs{c} > 1، فلا يبلغ الجيب ولا جيب التمام القيمة cc، لأن قيمهما تقع في [−1,1]\icc{-1}{1}.

فمثلًا، لمّا كان arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin\left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}، فإن حلول sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} هي حلول العائلتين الآتيتين؛ ومع k=1k = 1 في الأولى وk=0k = 0 في الثانية نحصل على الحلّين الواقعين في [0,2π)\ico{0}{2\pi}، وهما 11π6\frac{11\pi}{6} و7π6\frac{7\pi}{6}، كما في الدرس الخاص بالدوال العكسية.

sin⁡x=−12↔x=−π6+2kπ∨x=7π6+2kπ,k∈Z\sin x = -\frac{1}{2} \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \vee x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

حلول sin⁡x=0\sin x = 0 تشكّل عائلتين، 2kπ2k\pi وπ+2kπ\pi + 2k\pi، وهما معًا المضاعفات الصحيحة لـπ\pi؛ وحلول cos⁡x=0\cos x = 0 هي ±π2+2kπ\pm\frac{\pi}{2} + 2k\pi، وهي معًا الأعداد π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi. وهذان الوصفان المختصران يُستعملان كثيرًا:

sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \qquad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

عدد الحلول في فترة

تقتصر الأسئلة عن المعادلات المثلثية عادةً على فترة، هي في الغالب [0,2π)\ico{0}{2\pi}. وتقول التوطئة إن لكل عائلة من الشكل x1+2kπx_1 + 2k\pi عنصرًا واحدًا بالضبط في [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}، أيًّا كان aa؛ ومن ذلك يُستنتج عدد حلول المعادلات الأولية في أي دورة.

مبرهنةالحلول في دورة واحدة

ليكن aa وcc عددين حقيقيين. إذا كان ∣c∣<1\abs{c} < 1، فلكل من المعادلتين sin⁡x=c\sin x = c وcos⁡x=c\cos x = c حلّان بالضبط في [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}، وإذا كان ∣c∣=1\abs{c} = 1، فحلّ واحد بالضبط. وللمعادلة tan⁡x=c\tan x = c حل واحد بالضبط في [a,a+π)\ico{a}{a + \pi}.

كل عائلة من الحلول تُسهم بعنصر وحيد في الدورة، بحسب التوطئة؛ فيكفي أن نعرف متى تكون عائلتا الجيب، أو عائلتا جيب التمام، عائلةً واحدة. وتستعمل الرسوم a=1a = 1، مع c=12c = \frac{1}{2} وc=1c = 1.

البرهان

  1. x1+2jπ∈[a,a+2π)↔j=−k\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}

    ليكن x1x_1 عددًا حقيقيًا. بحسب التوطئة، مع p=2πp = 2\pi، يوجد عدد صحيح وحيد kk بحيث يقع x1−2kπx_1 - 2k\pi في [a,a+2π)\ico{a}{a + 2\pi}: فعائلة الأعداد x1+2jπx_1 + 2j\pi، حيث jj عدد صحيح، لها عنصر واحد بالضبط في الدورة.

  2. α+2kπ=π−α+2jπ↔α=π2+(j−k)π↔α=±π2↔c=±1\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}

    ليكن α=arcsin⁡c\alpha = \arcsin c، في [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. إذا كان لعائلتَي الجيب عنصر مشترك، فهما العائلة نفسها، ويحدث ذلك تمامًا عندما يكون α\alpha هو π2\frac{\pi}{2} أو −π2-\frac{\pi}{2}، أي عندما c=±1c = \pm 1. ومن ثمّ، إذا كان ∣c∣<1\abs{c} < 1 تُسهم العائلتان بحلّين مختلفين في الدورة، وإذا كان ∣c∣=1\abs{c} = 1، فبحلّ واحد.

  3. β+2kπ=−β+2jπ↔β=(j−k)π↔β∈{0,π}↔c=±1\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}

    ليكن β=arccos⁡c\beta = \arccos c، في [0,π]\icc{0}{\pi}. لعائلتَي جيب التمام عنصر مشترك تمامًا عندما يكون β\beta مضاعفًا صحيحًا لـπ\pi، أي عندما يكون β\beta هو 00 أو π\pi، وهذا يكافئ c=±1c = \pm 1؛ والعدّ هو نفسه كما في الجيب.

  4. −π2<arctan⁡c<π2→arctan⁡c+kπ≠π2+jπ-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}

    وللظل عائلة واحدة فقط، الفارق بين عنصرين متتاليين منها π\pi، والتوطئة، مع p=πp = \pi، تعطيها عنصرًا واحدًا بالضبط في [a,a+π)\ico{a}{a + \pi}. وهذا العنصر حل، لأن arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi لا يكون أبدًا من الشكل π2+jπ\frac{\pi}{2} + j\pi، حيث الظل غير معرَّف: فـarctan⁡c\arctan c يقع في (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.