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代数函数与多项式：导言

摘要

本课开启关于代数函数与多项式的单元。它介绍本单元的九节课以及贯穿它们的线索，即因式分解：根、符号、不等式、定义域、渐近线和图像都取决于它。接着，本课追溯这些思想的历史背景，从巴比伦泥板上的二次问题和花拉子米的代数，到 16 世纪意大利的公式、韦达和笛卡儿的记号，以及欧拉和狄利克雷的函数概念；它精确地表述催生这些思想的两个问题，即解多项式方程和描述函数，并用一个例子说明因式分解如何同时解决这两个问题。最后，本课指出这些思想在本课程的其余部分、本站的其他课程以及科学与技术中的用途。

学习目标

描述本单元每节课的内容，并说明多项式的因式分解在整体中所起的作用。
把本单元的主要结果置于其历史背景之中，说出其主要人物以及每个人试图解决的问题。
表述解多项式方程的问题和描述代数函数的问题，并在一个例子中认识到一次因式分解如何同时回答这两个问题。
指出这些思想在后面各单元、其他课程以及科学与技术应用中重新出现的地方。

入门测评

在学习本单元之前，先测一测自己的起点是有益的。这份自我测评不计分：前九道题逐一对应本单元的九节课，第十道题要求把一个具体情境表示为函数；同样的技能会在最后的总结课中再次测量。最后三道题检查本单元默认已从关于数集的单元中掌握的内容。每个错误答案都会指出应当在哪一节课上多停留。

入门测评

开始本单元之前，先测一测你的起点。这是一次简短的自我测评：不计分，结果只保存在你的浏览器中。

第 1 题函数 $f(x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{x - 1}$ 的定义域是什么？
所有 $x$ ，其中 $x \leq 4$ 且 $x \neq 1$ 。
所有 $x$ ，其中 $x < 4$ 且 $x \neq 1$ 。
所有 $x$ ，其中 $x \leq 4$ 。
所有 $x$ ，其中 $x \geq 4$ 。
第 2 题函数 $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ 限制在 $\ico{1}{\infty}$ 上时，是到 $\ico{2}{\infty}$ 上的双射。它的反函数是什么？
$f^{-1}(y) = 1 + \sqrt{y - 2}$
$f^{-1}(y) = 1 - \sqrt{y - 2}$
$f^{-1}(y) = \sqrt{y - 2} - 1$
$f^{-1}(y) = \frac{1}{(y - 1)^2 + 2}$
第 3 题当 $k$ 取何值时，多项式 $x^3 + k x^2 + x - 6$ 能被 $x - 2$ 整除？
第 4 题若 $r$ 与 $s$ 是 $2x^2 - 6x + 1$ 的根，则 $r^2 + s^2$ 等于多少？
第 5 题设 $a$ 和 $b$ 为整数。根据有理根定理，下列哪个数不可能是 $3x^3 + a x^2 + b x + 2$ 的根？
$\frac{3}{2}$
$\frac{2}{3}$
$-\frac{1}{3}$
$-2$
第 6 题哪两个数 $A$ 和 $B$ 使得 $\frac{3x + 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ 对每个不等于 $1$ 也不等于 $-2$ 的实数成立？
$A = \frac{4}{3}$ ， $B = \frac{5}{3}$
$A = 4$ ， $B = -5$
$A = \frac{4}{3}$ ， $B = -\frac{5}{3}$
$A = 3$ ， $B = 1$
第 7 题不等式 $\frac{(x - 1)^2 (x + 3)}{x - 2} < 0$ 的解集是什么？
所有 $x$ ，其中 $-3 < x < 2$ 且 $x \neq 1$ 。
所有 $x$ ，其中 $-3 < x < 2$ 。
所有 $x$ ，其中 $x < -3$ 或 $1 < x < 2$ 。
所有 $x$ ，其中 $x < -3$ 或 $x > 2$ 。
第 8 题函数 $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x - 1}$ 的图像的斜渐近线是什么？
$y = 2x + 5$
$y = 2x + 3$
$y = 2$
$x = 1$
第 9 题函数 $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}$ 的图像在 $x$ 趋于 $-\infty$ 时的渐近线是什么？
$y = -x - 3$
$y = x + 3$
$y = -x + 3$
$y = -x$
第 10 题一个容器装有 $50$ 升水，每升含糖 $4$ 克。从某一时刻起，以每分钟 $2$ 升的速度向其中加入糖浆，这种糖浆每升含糖 $30$ 克，加入后立即混合均匀，并且没有液体流出。从这一时刻起，糖的浓度（以克每升计）取哪些值？
所有数 $y$ ，其中 $4 \leq y < 30$ 。
所有数 $y$ ，其中 $4 \leq y \leq 30$ 。
所有数 $y$ ，其中 $0 \leq y < 30$ 。
所有数 $y$ ，其中 $4 \leq y \leq 17$ 。
第 11 题来自前面的单元不等式 $\abs{2x - 3} < 5$ 的解集是什么？
所有 $x$ ，其中 $-1 < x < 4$ 。
所有 $x$ ，其中 $x < 4$ 。
所有 $x$ ，其中 $x < -1$ 或 $x > 4$ 。
第 12 题来自前面的单元计算 $27^{-\frac{2}{3}}$ 。
第 13 题来自前面的单元不等式 $\frac{x - 1}{3} - \frac{2x + 1}{2} \geq 1$ 的解集是什么？
所有 $x$ ，其中 $x \leq -\frac{11}{4}$ 。
所有 $x$ ，其中 $x \geq -\frac{11}{4}$ 。
所有 $x$ ，其中 $x \leq -\frac{5}{4}$ 。