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Topos Uranos
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解析三角学：总结与挑战

摘要

本课结束解析三角学这一单元。它把本单元六节课中证明的内容汇成一条演绎链：基本恒等式，两角差的余弦公式以及由它推出的全部公式，和差化积与辅助角形式，方程与不等式的求解，两直线的夹角，以及对圆锥曲线进行分类的坐标轴旋转。它说明这条链怎样依靠前一单元和课程代数与几何 I，特别是单位圆、极坐标、多项式和圆锥曲线，又怎样为随后的单元作准备：在那里，同样的公式将作为复数的乘法法则重新出现。本课最后是一份结业测评，与导言中的入门测评平行，以及十道挑战题，难度高于本单元的练习题，需要综合多节课的内容。

学习目标

  1. 重建本单元的演绎链，从两角差的余弦公式直到按判别式对圆锥曲线分类，并在每一处指出它所依赖的结果。
  2. 把本单元的结果与前一单元和课程 I 中关于单位圆、极坐标、多项式和圆锥曲线的结果联系起来。
  3. 预见两角和公式在极坐标形式的复数乘法中的作用。
  4. 解综合运用恒等式、方程、直线夹角和旋转的问题，在每种情形下选出使问题变得可解的变换。

本单元的收获

本单元从确立语言开始。在关于基本三角恒等式的课中，恒等式被定义为在两边的整个公共定义域上都成立的等式；倒数关系、商数关系、平方关系、奇偶关系和余角关系的恒等式被汇集在一起；证明的方法也被确立：把一边变形为另一边，或把两边都变形为同一个式子，而不从待证的结论出发；一个反例就足以否定一个错误的恒等式。借助这种语言，每个函数都用另一个函数表示出来，根式通过代换得到变形，椭圆和双曲线也在参数表示 (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) 和 (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) 中被辨认出来。

决定性的一课是关于两角和与差公式的课。用两种方法，即在笛卡儿坐标和极坐标中，计算单位圆一条弦的长度，证明了对任意实数 α\alpha 和 β\beta，下面的等式成立：

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

其余一切都由它推出。由奇偶性得到和的余弦；由余角关系得到和与差的正弦；由商数关系得到和的正切。若是这样，令 α=β\alpha = \beta 便得到二倍角公式；解出平方，得到降幂公式和半角公式；再加一次，得到三倍角公式。代换 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} 把正弦和余弦化为 tt 的有理分式，由此得到圆的有理参数化和全部勾股数的公式。

关于和差化积的课走了相反的路：把两角和与差的公式相加、相减，积就化为和，和就化为积。它的主要结果是：每个组合 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x 都是单一的波 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)，其中 R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}；由此得到它的值域 [−R,R]\icc{-R}{R}、同频率振动的叠加、拍，以及借助一个使和式可以裂项相消的因子，求出等差数列中的正弦之和与余弦之和。

有了这些工具，关于三角方程与三角函数不等式的课得以解出一整类问题。sin⁡x=c\sin x = c、cos⁡x=c\cos x = c 和 tan⁡x=c\tan x = c 的通解，是把反函数给出的解按周期性延拓而得；其余方程借助恒等式、因式分解、两个正弦相等或两个余弦相等以及辅助角形式化归为这些方程，同时始终注意两点：除法可能丢失解，平方可能增添解。不等式在一周内借助单位圆或符号表求解，再按周期延拓。

最后两课把这套计算带入解析几何。在关于两直线的夹角的课中，差的正切由两条直线的斜率给出它们的夹角，数量积给出第二个公式，对竖直的直线也成立；求出了角平分线和内心，并为不可到达的高度、简谐运动、抛射体的射程和光的反射建立了模型。这一课是本单元唯一不加证明而承认某些事实的课，并且明确说明：从欧几里得几何中，承认课程 I 已经承认的三个事实（毕达哥拉斯定理、平行线间同位角相等、三角形内角和为 π\pi），从物理学中，承认简谐运动的方程和抛射体的方程。最后，在关于坐标轴的旋转的课中，差角公式描述了旋转坐标轴时的坐标变换；满足 cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} 的角消去 xyxy 项，和 A+CA + C 与判别式 B2−4ACB^2 - 4AC 在旋转下不变，因此判别式的符号对每个二次方程进行分类。

整条链可以这样概括：用两种方法计算的一条弦给出差的余弦；由它得到全部和角公式；由这些公式得到各种变换和辅助角形式；用它们求解方程；而解出的方程又度量直线间的夹角，并消去圆锥曲线的交叉项。 下图把这条链分成五段，顺序与上文的叙述相同：中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依靠它的环节，并用虚线连到确立它的那个环节，只有不加证明而承认的支柱，以及来自前一单元或课程 I 的支柱例外，它们画成圆环。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

  • A单位圆. 承认按弧长行进的公理：对每个实数 ss，单位圆上有唯一一点 P(s)P(s)，从 (1,0)(1, 0) 出发走过长度 ∣s∣\abs{s} 即可到达；行进可以接续，P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s)；点 P(s)P(s) 的横坐标在 [0,π]\icc{0}{\pi} 上严格递减，在 [π,2π]\icc{\pi}{2\pi} 上递增；圆上每一点都是某个 P(s)P(s)。在关于三角函数与极坐标的单元中，由这条公理证明了：圆上每一点都是 P(θ)P(\theta)，其中 θ\theta 是 [0,2π)\ico{0}{2\pi} 中唯一的数；余弦和正弦作为 P(θ)P(\theta) 的坐标是周期函数，满足奇偶关系和余角关系；并且它们在各自的主区间上严格单调。 本单元中不加证明而采用。
  • B反函数. 反正弦、反余弦和反正切在各自的主区间上给出具有给定正弦、余弦或正切的唯一的角；已在关于三角函数与极坐标的单元中证明。 本单元中不加证明而采用。
  • C极坐标. 极坐标为 (r,φ)(r, \varphi) 的点的笛卡儿坐标是 x=rcos⁡φx = r \cos \varphi 和 y=rsin⁡φy = r \sin \varphi，而 (r1,θ1)(r_1, \theta_1) 与 (r2,θ2)(r_2, \theta_2) 之间的距离满足 d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)；已在关于三角函数与极坐标的单元中证明。 本单元中不加证明而采用。
  • D平面解析几何. 距离公式、点到直线的距离、半平面定理、数量积及柯西-施瓦茨不等式和两向量的夹角，以及轴与坐标轴平行的圆锥曲线的分类；已在课程 I 关于平面解析几何的单元中以及关于解三角形的课中证明。 本单元中不加证明而采用。
  • E课程 I 的代数与算术. 多项式的因式分解、因式定理与综合除法、符号表、裂项相消的和以及欧几里得引理；已在课程 I 关于自然数的单元和关于代数函数与多项式的单元中证明。 本单元中不加证明而采用。
  • F平方关系. 对任意 θ\theta 有 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1，并在各自的定义域内有 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta 和 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta。 确立于: 2. 基本恒等式.
  • G两角和公式. 对任意实数 α\alpha 和 β\beta 有 cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta 和 sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta，以及两角差的公式，它们由把 β\beta 换成 −β-\beta 得到。 确立于: 6. 两角和公式.
  • H欧几里得几何. 如同课程 I 关于平面解析几何的单元那样，从欧几里得几何中承认毕达哥拉斯定理及其逆定理、一条截线与两条平行线所成的同位角相等，以及三角形内角和为 π\pi；由此推出对顶角相等和平行线间内错角相等。 本单元中不加证明而采用。

  1. 第 1 段 语言：恒等式及其证明

    • 把恒等式定义为在两边的整个公共定义域上都成立的等式，并把它与方程区分开。
    • 汇集倒数关系、商数关系、平方关系、奇偶关系和余角关系的恒等式。
    • 不从待证的结论出发证明恒等式，并用反例否定错误的恒等式。
    • 用代换变形根式，并在三角参数表示中辨认椭圆和双曲线。

    1. 恒等式及其证明. 恒等式是在两边的整个公共定义域上都成立的等式；证明它的方法是把一边变形为另一边，或把两边都变形为同一个式子，而不从它本身出发；否定它只需一个反例。

      证明于: 基本三角恒等式.

    2. 基本恒等式. 在每个恒等式的公共定义域上，倒数关系、商数关系和平方关系成立；正弦、正切、余割和余切是奇函数，余弦和正割是偶函数，并且 π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta 的每个函数等于 θ\theta 的余函数。

      使用: 1. 恒等式及其证明. 依据: A (单位圆). 证明于: 基本三角恒等式.

    3. 三角代换. 若 θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x，则 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta；若 θ=arctan⁡x\theta = \arctan x，则 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta；若 x≥1x \geq 1 且 θ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x}，则 x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta。

      使用: 2. 基本恒等式. 依据: F (平方关系), B (反函数). 证明于: 基本三角恒等式.

    4. 椭圆与双曲线的参数表示. 当 tt 取遍 [0,2π)\ico{0}{2\pi} 时，点 (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t) 恰好走遍椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 一次；而点 (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t) 恰好走遍双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的右支一次，此时 tt 取遍 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}；若取遍 (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}，则走遍左支。

      使用: 2. 基本恒等式. 依据: A (单位圆), F (平方关系). 证明于: 基本三角恒等式.

  2. 第 2 段 两角差的余弦公式及其推论

    • 用两种方法计算单位圆的一条弦，从而证明两角差的余弦公式。
    • 由它推出和与差的余弦和正弦，以及和的正切。
    • 求出二倍角公式、降幂公式、半角公式和三倍角公式。
    • 把正弦和余弦表示为 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} 的有理分式，给出圆的有理参数化，并生成全部勾股数。

    1. 两角差的余弦. 对任意实数 α\alpha 和 β\beta 有 cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta，因为连接 P(α)P(\alpha) 与 P(β)P(\beta) 的弦，在笛卡儿坐标和极坐标中算出的长度相同。

      依据: C (极坐标), D (平面解析几何), F (平方关系). 证明于: 两角和与差、二倍角与半角公式.

    2. 两角和公式. 由奇偶关系和余角关系得到 cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta、sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta 以及差的正弦；并且，若 α\alpha 和 β\beta 的正切有定义且 tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1，则 tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}。

      使用: 2. 基本恒等式, 5. 两角差的余弦. 证明于: 两角和与差、二倍角与半角公式.

    3. 二倍角. 有 sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta、cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta，并在有定义处有 tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}。

      依据: G (两角和公式), F (平方关系). 证明于: 两角和与差、二倍角与半角公式.

    4. 降幂与半角. 有 cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} 和 sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}；由此，θ2\frac{\theta}{2} 的正弦和余弦是 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2} 与 1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2} 的平方根，符号由其所在象限决定，以及 tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}（当 cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1 时）。

      使用: 7. 二倍角. 依据: F (平方关系). 证明于: 两角和与差、二倍角与半角公式.

    5. 三倍角. 对任意实数 θ\theta 有 cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta 和 sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta。

      使用: 7. 二倍角. 依据: F (平方关系), G (两角和公式). 证明于: 两角和与差、二倍角与半角公式.

    6. 半角的正切. 若 θ\theta 不是 π\pi 的奇数倍且 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}，则 sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2} 且 cos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}。

      使用: 7. 二倍角. 依据: F (平方关系). 证明于: 两角和与差、二倍角与半角公式.

    7. 有理参数化. 斜率为 tt、过点 (−1,0)(-1, 0) 的直线与单位圆再交于 (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right)；圆上其余每一点都可这样由唯一的 tt 得到，并且该点为有理点当且仅当 tt 为有理数。

      使用: 10. 半角的正切. 依据: E (课程 I 的代数与算术). 证明于: 两角和与差、二倍角与半角公式.

    8. 勾股数. bb 为偶数的本原勾股数恰为 a=m2−n2a = m^2 - n^2、b=2mnb = 2mn、c=m2+n2c = m^2 + n^2，其中 m>nm > n、gcd⁡(m,n)=1\operatorname{gcd}(m, n) = 1，且 m−nm - n 为奇数。

      使用: 11. 有理参数化. 依据: E (课程 I 的代数与算术). 证明于: 两角和与差、二倍角与半角公式.

  3. 第 3 段 变换与辅助角形式

    • 把两角和与差的公式相加、相减，把积化为和、把和化为积。
    • 把每个组合 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x 写成单一的波 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)，并求出它的值域。
    • 合成同频率的振动，并解释拍的现象。
    • 借助裂项相消的和，求等差数列中的正弦之和与余弦之和。

    1. 积化和差. 有 sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)，同样，cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta、cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta 和 sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta 是 α+β\alpha + \beta 与 α−β\alpha - \beta 的正弦或余弦的半和或半差。

      依据: G (两角和公式). 证明于: 和差化积与辅助角公式.

    2. 和差化积. 对任意实数 pp 和 qq 有 sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}，对 sin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q、cos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q 和 cos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q 也有类似的公式；由此得到 sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx) 的拍。

      使用: 13. 积化和差. 证明于: 和差化积与辅助角公式.

    3. 辅助角形式. 若 aa 和 bb 不全为零且 R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}，则存在唯一的 φ\varphi（在 [0,2π)\ico{0}{2\pi} 内），使得 asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi)（对一切 xx 成立）；这种形式是唯一的，函数的值域为 [−R,R]\icc{-R}{R}。

      依据: A (单位圆), D (平面解析几何), F (平方关系), G (两角和公式). 证明于: 和差化积与辅助角公式.

    4. 振动的叠加. 除非相互抵消，振动 A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1) 与 A2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2) 之和是同频率的振动，其振幅满足 A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2)。

      使用: 5. 两角差的余弦, 15. 辅助角形式. 依据: F (平方关系), G (两角和公式). 证明于: 和差化积与辅助角公式.

    5. 等差数列中的和. 若 xx 不是 2π2\pi 的整数倍，则有 ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}，而余弦之和用 cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2} 代替 sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2} 即得。

      使用: 13. 积化和差, 14. 和差化积. 依据: E (课程 I 的代数与算术). 证明于: 和差化积与辅助角公式.

  4. 第 4 段 方程与不等式

    • 由反函数和周期性求出 sin⁡x=c\sin x = c、cos⁡x=c\cos x = c 和 tan⁡x=c\tan x = c 的通解。
    • 借助恒等式、因式分解、两个正弦相等或两个余弦相等以及辅助角形式，把其余方程化归为最简方程。
    • 除法时不丢失解，平方时不增添解。
    • 借助单位圆或符号表在一周内解不等式，再按周期延拓。

    1. 通解. 若 ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1，则 sin⁡x=c\sin x = c 的解是 arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi 和 π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi，cos⁡x=c\cos x = c 的解是 arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi 和 −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi；对任意实数 cc，tan⁡x=c\tan x = c 的解是 arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi，其中 kk 为整数。

      使用: 2. 基本恒等式. 依据: A (单位圆), B (反函数). 证明于: 三角方程与三角函数不等式.

    2. 正弦相等与余弦相等. sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B 当且仅当 A=B+2kπA = B + 2k\pi 或 A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi，cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B 当且仅当 A=B+2kπA = B + 2k\pi 或 A=−B+2kπA = -B + 2k\pi，这里 kk 为某个整数；两个有定义的正切相等当且仅当 A=B+kπA = B + k\pi。

      使用: 14. 和差化积. 依据: A (单位圆), G (两角和公式). 证明于: 三角方程与三角函数不等式.

    3. 多项式方程与齐次方程. 方程 P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0 等价于各方程 sin⁡x=r\sin x = r，其中 rr 取遍 PP 的实根；关于 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 的齐次方程，在单独考察余弦的零点之后，化为关于 tan⁡x\tan x 的多项式方程；平方后得到的每个解都必须代回原方程验算。

      使用: 18. 通解. 依据: E (课程 I 的代数与算术). 证明于: 三角方程与三角函数不等式.

    4. 关于正弦和余弦的一次方程. 方程 asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c 有解当且仅当 c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2，此时它的解是 −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi 和 π−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi，其中 RR 和 φ\varphi 取自辅助角形式。

      使用: 15. 辅助角形式, 18. 通解. 证明于: 三角方程与三角函数不等式.

    5. 不等式. 若 −1<c<1-1 < c < 1 且 β=arccos⁡c\beta = \arccos c，则 cos⁡x>c\cos x > c 当且仅当 −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi（kk 为某个整数），对正弦也有类似结论；三角因式的积与商用一周内的符号表求解。

      使用: 18. 通解. 依据: A (单位圆), B (反函数), E (课程 I 的代数与算术). 证明于: 三角方程与三角函数不等式.

  5. 第 5 段 解析几何：直线与圆锥曲线

    • 用差的正切和数量积度量两直线的夹角。
    • 求两直线的角平分线和三角形的内心。
    • 为不可到达的高度、简谐运动、抛射体的射程和光的反射建立模型。
    • 推出旋转公式，消去 xyxy 项，并按判别式的符号对每个二次方程分类。

    1. 两直线的夹角. 非竖直直线的斜率是其倾斜角的正切；斜率为 m1m_1 和 m2m_2 的两直线垂直当且仅当 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0，若不垂直，则它们的夹角 θ\theta 满足 tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}，与它们方向向量的数量积公式一致。

      使用: 5. 两角差的余弦, 6. 两角和公式. 依据: B (反函数), D (平面解析几何), F (平方关系), H (欧几里得几何). 证明于: 两直线的夹角与三角学的应用.

    2. 角平分线与内心. 到两条相交直线距离相等的点构成两条互相垂直的直线，即角平分线，每一条平分不同的一对对顶角；三角形的三条内角平分线各与对边相交，交于三角形内部的一点，即内心，也就是内切圆的圆心。

      使用: 8. 降幂与半角. 依据: D (平面解析几何), H (欧几里得几何). 证明于: 两直线的夹角与三角学的应用.

    3. 抛射体的射程. 承认物理学中的运动方程，即水平方向的匀速运动与竖直方向的匀加速下落的合成，则以速率 vv、仰角 θ\theta 抛出的抛射体，其射程为 v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}；当 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} 时射程最大，每个较小的射程恰由两个互余的角得到。

      使用: 18. 通解, 7. 二倍角. 证明于: 两直线的夹角与三角学的应用.

    4. 旋转公式. 若坐标轴旋转角 θ\theta，则新坐标为 X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta 和 Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta，且两点间的距离不变。

      依据: A (单位圆), C (极坐标), F (平方关系), G (两角和公式). 证明于: 坐标轴的旋转与一般二次方程.

    5. 旋转后的系数. 旋转坐标轴时，方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 的常数项不变，而它关于 XYXY 的新系数为 B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta。

      使用: 26. 旋转公式, 7. 二倍角. 证明于: 坐标轴的旋转与一般二次方程.

    6. 消去 xy 项. 若 B≠0B \neq 0，则存在唯一的角 θ\theta（在 (0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}} 内），旋转该角使 B1B_1 为零，即满足 cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} 的那个角。

      使用: 27. 旋转后的系数. 依据: B (反函数). 证明于: 坐标轴的旋转与一般二次方程.

    7. 旋转不变量. 对任意旋转角有 A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C 和 B12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC。

      使用: 27. 旋转后的系数, 7. 二倍角. 依据: F (平方关系). 证明于: 坐标轴的旋转与一般二次方程.

    8. 按判别式分类. 若 AA、BB、CC 不全为零且 Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC，则当 Δ<0\Delta < 0 时方程表示椭圆、一个点或空集；当 Δ=0\Delta = 0 时表示抛物线、两条平行直线、一条直线或空集；当 Δ>0\Delta > 0 时表示双曲线或两条相交直线。

      使用: 26. 旋转公式, 28. 消去 xy 项, 29. 旋转不变量. 依据: D (平面解析几何). 证明于: 坐标轴的旋转与一般二次方程.

走向极坐标形式的复数. 把 cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha 与 cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta 相乘，就出现了 α+β\alpha + \beta 的余弦和正弦：两角和公式就是复数的乘法法则，随后的单元把它们合成一个公式，即棣莫弗公式。