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Topos Uranos
中文 (中国)

线性方程组与高斯-若尔当消元法

摘要

本课研究方程个数和未知数个数任意的线性方程组。它把每个方程组写成一个矩阵方程 AX=BAX = B，并用增广矩阵来表示它；证明三种初等行变换把一个方程组变成另一个同解的方程组，并证明任何矩阵都可以通过它们化为行最简形，从中可以直接读出解：这就是高斯-若尔当消元法。接着证明这个形式是唯一的，无论所用的变换如何，并用它定义矩阵的秩；证明鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理，它判定一个方程组是否有解以及其解含有多少个自由参数，并把它应用于齐次线性方程组。这样就完成了在关于数集的单元中开始的方程组研究。

学习目标

  1. 把线性方程组写成矩阵形式，写出它的增广矩阵，并说明为什么初等行变换保持它的解。
  2. 用高斯-若尔当消元法把矩阵化为行最简形，证明这个形式是唯一的，并从中读出方程组的解。
  3. 计算矩阵的秩，并应用鲁歇-弗罗贝尼乌斯定理对方程组进行分类，包括系数依赖于参数的情形。
  4. 把插值、化学平衡、流量网络和幻方问题表述为线性方程组，并用自由参数描述它们的解。

方程组的矩阵形式

在课程 代数与几何 I 中关于一次方程、一次不等式与线性方程组的课里，用代入消元法、加减消元法和比较法解了含两个和三个方程的方程组，并借助行列式对含两个方程、两个未知数的方程组进行了分类。那里留下了一般情形没有解决，其分类是不加证明地接受的。本课用关于矩阵及其运算的课中的工具来解决它。

含 mm 个方程、nn 个未知数的线性方程组 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 是由下面形式的 mm 个方程组成、并且这些方程必须同时成立的方程组；数 aija_{ij} 是未知数 xjx_j 在第 ii 个方程中的系数，bib_i 是这个方程的常数项。

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

方程组的一个解是由 nn 个数组成的有序数组 (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n)，把这些数代替未知数后满足全部 mm 个方程。设 AA 是系数矩阵，有 mm 行 nn 列，其第 ii 行第 jj 列的元素为 aija_{ij}；设 XX 是未知数列，BB 是常数项列。正如在那一课中已经指出的，根据矩阵乘法的定义，第 ii 个元素（在列 AXAX 中）恰好是第 ii 个方程的左边。由此可知，整个方程组写成列矩阵之间的一个等式，AX=BAX = B。例如，下文将要求解的方程组写成：

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

解方程组只需要知道数 aija_{ij} 和 bib_i：未知数的名字不参与计算。方程组的增广矩阵是矩阵 MM，有 mm 行 n+1n + 1 列，它是在 AA 的后面添上列 BB 作为最后一列得到的；我们把它记作 M=(A,B)M = \left( A, B \right)。MM 的每一行概括一个方程：它的前 nn 个元素是系数，最后一个元素是常数项。在这个例子中：

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

一个方程组如果至少有一个解，就称为相容的；如果没有解，就称为不相容的；一个相容方程组如果恰有一个解，就称为有唯一解的，如果有不止一个解，就称为有无穷多解的。两个未知数相同的方程组，当它们的解集相同时，称为同解的。在课程 I 的那一课中已经看到，含两个方程、两个未知数的方程组没有解、有一个解或有无穷多解；在本课的末尾我们将知道，任何线性方程组都是如此，并且将得到一个判别所处情形的准则。