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Topos Uranos
中文 (中国)

指数中的变量与对数求导法

摘要

本课求变量位于指数中的函数的导数。所有这些函数都归结为自然指数函数：ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}、xr=erln⁡xx^r = e^{r \ln x} 和 (f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}，因此只需 exe^x 的导数、对数的导数和链式法则。由此得到任意底的指数函数与对数的导数、实数指数幂的导数，以及底数和指数都变化的幂的导数，例如 xxx^x 或 xsin⁡xx^{\sin x}。ln⁡∣f(x)∣\ln \abs{f(x)} 的导数（即 f′(x)f(x)\frac{f'(x)}{f(x)}）把乘积、商和幂化为和：这就是对数求导法，本课在论证它时不预设所要证明的结论。最后，过原点的对数切线判定 πe\pi^e 与 eπe^\pi 哪个更大，并解释为什么结果取决于数 ee。

学习目标

  1. 从等式 ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a} 出发，求任意底的指数函数与对数及其复合函数的导数。
  2. 求实数指数幂与幂指函数的导数，方法是把它们写成以 ee 为底的指数函数，并限定在底数为正的定义域上。
  3. 对乘积、商和幂应用对数求导法，事先检验函数在该点可导且不为零。
  4. 借助对数的切线和指数函数的基本不等式，比较 πe\pi^e 与 eπe^\pi 这样的幂。

任意底的指数函数与对数

关于初等函数的导数的课证明了 exe^x 是它自身的导数，ln⁡x\ln x 的导数是 1x\frac{1}{x}，并预告了 axa^x 的导数是 axln⁡aa^x \ln a。无需用差商重复计算：每个正的底数都是 ee 的幂。由自然对数的定义（见关于对数函数的课），eln⁡y=ye^{\ln y} = y 对任意 y>0y > 0 成立；由幂的对数法则（同一课），ln⁡(ax)=xln⁡a\ln\left(a^x\right) = x \ln a。借助链式法则，其余部分立即可得。

定理以 a 为底的指数函数与对数的导数

设 a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1。指数函数 axa^x 在 R\mathbb{R} 上可导，对数 log⁡ax\log_a x 在 (0,∞)\ioo{0}{\infty} 上可导，函数 log⁡a∣x∣\log_a \abs{x} 在 R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} 上可导：

ddx(ax)=axln⁡a,ddx(log⁡ax)=1xln⁡a(x>0),ddx(log⁡a∣x∣)=1xln⁡a(x≠0)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

把以 aa 为底的指数函数用自然指数函数表示，并应用链式法则；以 aa 为底的对数是自然对数的常数倍。图中显示 2x2^x、exe^x 和 4x4^x 以及它们在点 (0,1)(0, 1) 处的切线，斜率分别为 ln⁡2\ln 2、11 和 ln⁡4\ln 4；最后显示 log⁡2x\log_2 x 在 (1,0)(1, 0) 处的切线，它是 2x2^x 的切线的反射。

证明

  1. ax=eln⁡(ax)=exln⁡aa^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}

    设 xx 是实数。数 axa^x 为正；由自然对数的定义和幂的对数法则（见关于对数函数的课）：

  2. ddx(exln⁡a)=exln⁡a⋅ln⁡a=axln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}

    内层函数 xln⁡ax \ln a 是线性的，导数为 ln⁡a\ln a，外层函数 ete^t 在整个 R\mathbb{R} 上可导，这由自然指数函数的导数定理保证。由链式法则（见关于链式法则的课）：

  3. ddx(log⁡a∣x∣)=1ln⁡a⋅1x=1xln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}

    由换底公式定理（见关于对数函数的课），log⁡ay=ln⁡yln⁡a\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a} 对任意 y>0y > 0 成立，且 ln⁡a≠0\ln a \neq 0，因为 a≠1a \neq 1。由自然对数的导数定理（它对 ln⁡x\ln x 和 ln⁡∣x∣\ln \abs{x} 都成立）以及线性组合的导数定理（见关于求导法则的课）：

axa^x 的导数与函数本身成比例，比例常数为 ln⁡a\ln a，当 a>1a > 1 时为正，当 0<a<10 < a < 1 时为负；由对数的单射性，它等于 11 的情形只有 a=ea = e。当 a=1a = 1 时，函数 1x1^x 是常数，公式仍然成立，因为 ln⁡1=0\ln 1 = 0。在 x=0x = 0 处，导数的定义给出极限 ah−1h→ln⁡a\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a，这正是关于初等函数的连续性的课中对数函数与幂的重要极限推论：axa^x 在 00 处的导数早已知道，而法则 ax+h=axaha^{x + h} = a^x a^h 把它推广到所有点。

推论与指数函数和对数的复合

设 uu 是定义在 AA 上的函数，在点 aa（AA 中的点，且是 AA 的聚点）处可导，又设 b>0b > 0，且 b≠1b \neq 1。则 eu(x)e^{u(x)} 和 bu(x)b^{u(x)} 在 aa 处可导。若 u(a)≠0u(a) \neq 0，则函数 ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)} 和 log⁡b∣u(x)∣\log_b \abs{u(x)} 在 aa 处可导（在其定义域内）；若 u(a)>0u(a) > 0，则 ln⁡u(x)\ln u(x) 也可导，其导数与 ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)} 的导数相同。在 x=ax = a 处的导数为：

ddx(eu(x))=eu(x)u′(x),ddx(bu(x))=bu(x)ln⁡b⋅u′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)
ddx(ln⁡∣u(x)∣)=u′(x)u(x),ddx(log⁡b∣u(x)∣)=u′(x)u(x)ln⁡b\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

前两个是链式法则；后两个是它在复合函数定义域上的形式，因为对数在 00 处没有定义。

证明

  1. ddx(eu(x))=eu(x)u′(x),ddx(bu(x))=bu(x)ln⁡b⋅u′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}

    外层函数 ete^t 和 btb^t 在整个 R\mathbb{R}（包含 uu 的所有值）上可导；链式法则给出 x=ax = a 处的前两个导数。

  2. ddx(ln⁡∣u(x)∣)=1u(x)⋅u′(x)=u′(x)u(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}

    函数 ln⁡∣t∣\ln \abs{t} 定义在 B=R∖{0}B = \mathbb{R} \setminus \{0\} 上（它包含以 u(a)u(a) 为中心、以 r=∣u(a)∣r = \abs{u(a)} 为半径的区间），且在 u(a)u(a) 处可导，导数为 1u(a)\frac{1}{u(a)}。由复合函数定义域上的链式法则这一推论，aa 是 ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)} 的定义域的聚点，在 x=ax = a 处的导数为：

  3. ddx(log⁡b∣u(x)∣)=1ln⁡b⋅u′(x)u(x)=u′(x)u(x)ln⁡b\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}

    若 u(a)>0u(a) > 0，则同一推论（取 B=(0,∞)B = \ioo{0}{\infty} 和 r=u(a)r = u(a)）给出 ln⁡u(x)\ln u(x) 的导数，两者相同。对于底 bb，由换底公式，除以常数 ln⁡b\ln b。

因此，2sin⁡x2^{\sin x} 的导数是 2sin⁡xln⁡2⋅cos⁡x2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x，ln⁡(x2+1)\ln\left(x^2 + 1\right) 的导数是 2xx2+1\frac{2x}{x^2 + 1}，在整个 R\mathbb{R} 上成立。关于链式法则的课求出了 ln⁡(cos⁡x)\ln(\cos x) 在其定义域（其中 cos⁡x>0\cos x > 0）上的导数，得到 −tan⁡x-\tan x；绝对值推广了这个结果：ln⁡∣cos⁡x∣\ln \abs{\cos x} 在满足 cos⁡x≠0\cos x \neq 0 的点处有定义，其导数在整个这个集合上为 −tan⁡x-\tan x，这个集合正是正切函数的定义域。