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Topos Uranos
中文 (中国)

复数的极坐标形式

摘要

本课用模和一个辐角（即表示该复数的点的极角）来书写每个非零复数，由此得到它的极坐标形式，也称三角形式，z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)。本课描述一个复数的全部辐角，定义辐角主值并按象限修正反正切来计算它，并证明两个极坐标形式何时表示同一个数。本课借助两角和与差的公式证明核心定理：两个复数相乘时，模相乘、辐角相加；相除时，模相除、辐角相减。由此推出共轭复数的辐角与倒数的辐角，并指出乘积的辐角主值等于各辐角主值之和，只是可能相差一周。最后，本课把乘以一个复数解释为旋转与伸缩的复合，这推广了乘以 ii 所带来的四分之一周的旋转，并证明顶点为 00、11、ww 和 00、zz、zwzw 的两个三角形相似。

学习目标

  1. 把非零复数写成极坐标形式，按象限计算其辐角主值，并判断两个极坐标形式何时表示同一个数。
  2. 借助两角和与差的公式证明在乘积中模相乘、辐角相加，并推出商、共轭复数与倒数的法则。
  3. 把乘以一个复数解释为旋转与伸缩的复合，并证明顶点为 00、11、ww 和 00、zz、zwzw 的两个三角形相似。
  4. 把极坐标形式应用于三角函数的精确值、反正切之间的恒等式、含 zz 及其共轭复数的方程，以及由辐角定义的轨迹。

复数的极坐标形式

在课程 代数与几何 I 中关于复数的课里，每个复数 z=a+biz = a + bi 被表示为平面上的点 (a,b)(a, b)，它的模 ∣z∣\abs{z} 被定义为该点到原点的距离，并且证明了乘以 ii 使每个点旋转四分之一周。乘以任意一个复数的情形则留待以后，因为它的效果在代数形式中读不出来：(a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) 的实部是 ac−bdac - bd，这个表达式没有显示出任何几何意义。然而，平面上的点也可以用它到原点的距离以及从原点看它的方向来确定，正如在关于极坐标的课中那样。对点如此，对复数也如此；而且在这第二种描述中，正如将要证明的，乘法变得一目了然。

设 z=a+biz = a + bi 是非零复数。zz 的辐角是指满足下列条件的任意实数 θ\theta：a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta 且 b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta。若 r=∣z∣r = \abs{z}，且 θ\theta 是 zz 的一个辐角，则下面的表达式称为 zz 的一个极坐标形式，也称三角形式。
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

每个非零复数都有辐角。事实上，由在关于极坐标的课中证明的从笛卡儿坐标到极坐标的定理，点 (a,b)(a, b)（不同于极点）有一个极坐标表示 (r,θ)(r, \theta)，其中 r>0r > 0，且其极径为 r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}，即 zz 的模；于是等式 a=rcos⁡θa = r \cos \theta 与 b=rsin⁡θb = r \sin \theta 表明极角 θ\theta 是 zz 的一个辐角。因此，zz 的一个辐角就是连接原点与 zz 的线段同正实半轴所成的角，以弧度计量。与此相反，零没有辐角：等式 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 对任意 θ\theta 都成立，没有哪个角能把它区分出来。为了表示 zz 的任意一个辐角，写作 arg⁡z\arg z，读作“zz 的辐角”。

下面的定理说明，模与辐角不同于半径为负的极坐标，它们除了相差整周之外，唯一地确定复数。一切关于极坐标形式的计算都依赖于它：要证明两个复数相等，只需比较它们的模和辐角。

定理极坐标形式下的相等

设 rr、r1r_1 与 r2r_2 为正实数，θ\theta、θ1\theta_1 与 θ2\theta_2 为实数。复数 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 的模为 rr，辐角为 θ\theta。此外，复数 r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) 与 r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) 相等，当且仅当 r1=r2r_1 = r_2 且 θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi，这里 kk 是某个整数。 证明要用到平方关系、正弦与余弦的周期性，以及关于角及其度量的课中对终边相同的角的刻画：两个角给出单位圆上同一个点，当且仅当它们相差 2π2\pi 的整数倍。

证明

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    设 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)，其中 r>0r > 0。它的实部是 rcos⁡θr \cos \theta，虚部是 rsin⁡θr \sin \theta；由平方关系，它的模的平方是 r2r^2。

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    数 ∣z∣\abs{z} 与 rr 都是正数，且平方相同；因此它们相等，于是 zz 的实部与虚部正是定义所要求的：θ\theta 是 zz 的一个辐角。所以，每个这种形式且满足 r>0r > 0 的表达式都是极坐标形式。

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    如果模分别为 r1r_1 与 r2r_2 的两个复数相等，那么它们的模相同，而由上面刚刚证明的结论，它们的模就是 r1r_1 与 r2r_2。

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    令实部相等、虚部相等，再除以不为零的 r1=r2r_1 = r_2：角 θ1\theta_1 与 θ2\theta_2 给出单位圆上同一个点，所以它们是终边相同的角。

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    反过来，若 r1=r2r_1 = r_2 且 θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi，则由正弦与余弦的周期性，两个表达式有相同的实部与虚部，这两个复数相等。

由此可知，若 θ\theta 是 zz 的一个辐角，则 zz 的辐角恰好是数 θ+2kπ\theta + 2k\pi，其中 kk 为整数：同一个复数的两个辐角总是相差整数周。因此，等式 arg⁡z=θ\arg z = \theta 的意思是 θ\theta 是 zz 的辐角之一，它并不确定其余的辐角。此外还应注意，定理要求 r>0r > 0：表达式 −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) 不是极坐标形式，因为 −2-2 不是模；由于 −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) 且 −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi)，同一个数的极坐标形式写作 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)。

辐角主值

在非零复数的辐角中，恰有一个位于区间 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 内，因为这个区间的长度为 2π2\pi，并且每一族 θ+2kπ\theta + 2k\pi 在其中只有唯一的代表。这个辐角称为 zz 的辐角主值，记作 arg⁡z\operatorname{arg} z，读作“zz 的辐角主值”。由关于极坐标的课中的定理，让 aa 与 bb 分别充当 xx 与 yy 的角色，它可以用关于反三角函数的课中的反正切来计算；反正切只看得到第一和第四象限，在另外两个象限中必须修正：

arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
例题第二象限中复数的极坐标形式

我们把复数 z=−3+iz = -\sqrt{3} + i 写成极坐标形式，并描述它的全部辐角。图形在复平面上跟随这一计算。

证明

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    模是点 (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) 到原点的距离。

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    虚部与实部之比的反正切给出第四象限的一个角：它是相反的点 3−i\sqrt{3} - i 的辐角，而不是 zz 的辐角。

  3. arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    由于实部为负、虚部为正，该点在第二象限，公式要加上 π\pi。

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    我们用 5π6\frac{5\pi}{6} 的余弦值与正弦值来验证极坐标形式，这些值由 π6\frac{\pi}{6} 的余弦值与正弦值通过补角的对称性得到。

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    其余的辐角与辐角主值相差整数周：例如，−7π6-\frac{7\pi}{6} 与 17π6\frac{17\pi}{6} 也是 zz 的辐角，但它们不在 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 中。

位于坐标轴上的复数的极坐标形式应当一眼认出。正实数的辐角主值为 00，负实数的为 π\pi；纯虚数 bibi 在 b>0b > 0 时辐角主值为 π2\frac{\pi}{2}，在 b<0b < 0 时为 −π2-\frac{\pi}{2}。例如：

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

区间 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 是一种约定，与关于极坐标的课中的约定相同；也有教材采用 [0,2π)\ico{0}{2\pi}。不依赖于约定的是全部辐角组成的集合，因此本课的定理都对任意辐角陈述，除非明确另作说明。