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Topos Uranos
中文 (中国)

复合函数求导的链式法则

摘要

本课证明链式法则：若 gg 在 aa 处可导，且 ff 在 g(a)g(a) 处可导，则复合函数 f∘gf \circ g 在 aa 处可导，其导数为乘积 f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a)。证明使用卡拉泰奥多里刻画，它不作任何除法；本课解释为什么除以 g(x)−g(a)g(x) - g(a) 的那种论证是不够的，以及在什么情形下它可行。借助该法则，幂、根式、有理函数和三角函数的复合函数只需几行即可求导，而用前面的法则，这些求导要么需要冗长的推演，要么无法做到。本课还关注复合函数的定义域，导数公式并不显示它；本课并以莱布尼茨记号表述该法则，在这种记号下它看起来像分数的约分，其实并不是。

学习目标

  1. 用卡拉泰奥多里刻画证明链式法则，并解释为什么除以 g(x)−g(a)g(x) - g(a) 的证明在 g′(a)=0g'(a) = 0 时失效。
  2. 求两个或更多已知函数的复合函数的导数，并在各个导数所对应的点处取值。
  3. 在求导之前确定复合函数的定义域，并认识到该法则的条件是充分的，而不是必要的。
  4. 用莱布尼茨记号书写和阅读链式法则。

复合函数的导数

用关于求导法则的课中的法则和关于初等函数的导数的课中的公式，可以求 (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12} 的导数，但只能把这个幂展开成 2424 次多项式，或者一次又一次地应用乘积法则。而 sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) 和 1+x2\sqrt{1 + x^2} 目前还无法求导：没有任何法则说明如何处理作用在另一个函数上的函数。这两个表达式都是复合函数：(2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12} 是幂 t12t^{12} 在 t=2x2+1t = 2x^2 + 1 处的值，sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) 是正弦在 t=cos⁡xt = \cos x 处的值。

有两种特殊情形已经知道。关于初等函数的课中的例题 2 证明了：f(cx+b)f(cx + b) 在 aa 处的导数为 cf′(ca+b)c f'(ca + b)；内层函数是线性的，斜率为 cc，外层函数的导数在点 ca+bca + b 处取值，而不是在 aa 处。关于求导法则的课中的练习题 4 用归纳法得到：(f(x))n\left(f(x)\right)^n 在 aa 处的导数为 n(f(a))n−1f′(a)n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a)。在这两种情形中，导数都是一个乘积：外层函数的导数（在内层函数的值处取值）乘以内层函数的导数。其思想就是变化率的思想：如果 t=g(x)t = g(x) 的变化速度为 g′(a)g'(a) 倍（相对于 xx），而 f(t)f(t) 的变化速度为 f′(g(a))f'(g(a)) 倍（相对于 tt），那么 f(g(x))f(g(x)) 的变化速度为 f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a) 倍（相对于 xx）。

定理链式法则

设 gg 是定义在 AA 上的函数，在点 aa（AA 中的点，且是 AA 的聚点）处可导；ff 是定义在集合 BB（包含 gg 的所有值）上的函数，在 b=g(a)b = g(a) 处可导。则 f∘gf \circ g 在 aa 处可导，且

(f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

用卡拉泰奥多里刻画分解这两个增量，再把它们依次衔接：ff 的增量在 t=g(x)t = g(x) 处取值，gg 的增量代替 t−bt - b。图中取 g(x)=x2g(x) = x^2、f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t 和 a=1a = 1，显示 gg 的割线与切线、ff 在 b=1b = 1 处的割线与切线，最后显示 sin⁡(x2)\sin\left(x^2\right) 的割线与切线，其在 11 处的斜率为乘积 cos⁡1⋅2\cos 1 \cdot 2。

证明

  1. g(x)−g(a)=ψ(x)(x−a),x∈A,f(t)−f(b)=φ(t)(t−b),t∈Bg(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B

    由关于作为极限的导数的课中的导数的刻画定理，存在 ψ ⁣:A→R\psi \colon A \to \mathbb{R}（在 aa 处连续，且 ψ(a)=g′(a)\psi(a) = g'(a)）和 φ ⁣:B→R\varphi \colon B \to \mathbb{R}（在 bb 处连续，且 φ(b)=f′(b)\varphi(b) = f'(b)），使得：

  2. f(g(x))−f(g(a))=φ(g(x))(g(x)−g(a))=φ(g(x)) ψ(x)(x−a)f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)

    设 xx 属于 AA。数 t=g(x)t = g(x) 属于 BB，第二个等式对它成立，不论它是否等于 bb；然后用第一个分解代替 t−b=g(x)−g(a)t - b = g(x) - g(a)。

  3. γ(a)=φ(g(a)) ψ(a)=φ(b) ψ(a)=f′(g(a)) g′(a)\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}

    由于 gg 在 aa 处可导，由可导必连续定理，它在 aa 处连续；而 φ\varphi 在 b=g(a)b = g(a) 处连续。由关于极限与连续性的课中的连续函数的复合定理，φ∘g\varphi \circ g 在 aa 处连续，而因子 γ=(φ∘g) ψ\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi 由连续函数运算中的乘积法则也连续。由于 aa 是 AA（即 f∘gf \circ g 的定义域）的聚点，卡拉泰奥多里刻画给出导数。

若 gg 在整个 AA 上可导，ff 在整个 BB 上可导，则该法则在 AA 的每个聚点处成立，并可写成函数之间的等式：(f∘g)′=(f′∘g) g′(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'。外层函数的导数在 g(x)g(x) 处取值，而不是在 xx 处；这是应用该法则时最常见的错误。这个证明的优势在于它的第二部分：ff 的分解在 t=bt = b 处也成立，在那里它的两边都为零，因此不论 gg 是否重复它的值 g(a)g(a)（在 aa 附近），都无关紧要。