Тригонометрические уравнения и неравенства

Доказательство

1. 1
   $$\dato{a}{-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow \left( \sin x = c \leftrightarrow x = \alpha \right)}$$

   Пусть $\alpha = \arcsin c$; это число лежит в $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ и удовлетворяет условию $\sin \alpha = c$. Так как синус строго возрастает на этом промежутке, он не принимает на нём одно и то же значение дважды: $\alpha$ есть единственное решение на первой половине оборота. На единичной окружности $P(\alpha)$ есть точка правой полуокружности, лежащая на высоте $c$.

2. 2
   $$\sin x = \resaltar{\sin(\pi - x)} = c \leftrightarrow \resaltar{\pi - x = \alpha} \leftrightarrow \dato{b}{x = \pi - \alpha}$$

   Если $x$ лежит в $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$, то угол $\pi - x$ лежит в $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ и имеет тот же синус, что и $x$. По доказанному выше $x$ является решением ровно тогда, когда $\pi - x = \alpha$: горизонтальная прямая на высоте $c$ пересекает левую полуокружность в симметричной точке $P(\pi - \alpha)$.

3. 3
   $$\sin x = \resaltar{\sin x_0} = c \leftrightarrow \dato{g}{\resaltar{x = \alpha + 2k\pi \vee x = \pi - \alpha + 2k\pi}}$$

   Пусть теперь $x$ есть произвольное действительное число. По лемме, при $p = 2\pi$ и $a = -\frac{\pi}{2}$, можно записать $x = x_0 + 2k\pi$, где $x_0$ лежит в рассмотренном обороте, а по периодичности $\sin x = \sin x_0$. Следовательно, $x$ является решением тогда и только тогда, когда $x_0$ равно $\alpha$ или $\pi - \alpha$.

4. 4
   $$\alpha = \pm \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\pi - \alpha = \alpha} \vee \resaltar{\pi - \alpha = \alpha + 2\pi}$$

   Обратно, всякое число из этих двух серий является решением, также по периодичности. На графике синуса прямая $y = c$ пересекает кривую в двух точках на каждом периоде. Если $c = 1$ или $c = -1$, обе серии совпадают, поскольку $\pi - \alpha$ отличается от $\alpha$ на число, кратное $2\pi$, и на каждом периоде имеется единственная точка пересечения.

5. 5
   $$\frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} - \arccos c} + 2k\pi \vee \frac{\pi}{2} - x = \resaltar{\frac{\pi}{2} + \arccos c} + 2k\pi$$

   Для косинуса используется симметрия дополнительных углов, $\cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right)$, и теорема о дополнительных углах из урока об обратных функциях, $\arcsin c = \frac{\pi}{2} - \arccos c$. Применяя доказанное выше к углу $\frac{\pi}{2} - x$, получаем две серии.

6. 6
   $$\cos x = c \leftrightarrow \resaltar{x = \pm \arccos c + 2k\pi}$$

   Выражая $x$, получаем серии $\arccos c - 2k\pi$ и $-\arccos c - 2k\pi$; так как $-k$ пробегает целые числа, когда их пробегает $k$, это серии из формулировки. На окружности точки $P(\beta)$ и $P(-\beta)$, где $\beta = \arccos c$, суть две точки пересечения с вертикальной прямой, абсцисса которой равна $c$.

7. 7
   $$\tan x = \resaltar{\tan x_0} = c \leftrightarrow \resaltar{x = \arctan c + k\pi}$$

   Для тангенса, имеющего период $\pi$, лемма применяется при $p = \pi$ и $a = -\frac{\pi}{2}$: если $x = x_0 + k\pi$, где $x_0$ лежит в $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$, на котором тангенс есть биекция на $\mathbb{R}$, то единственное решение есть $x_0 = \arctan c$; точка $-\frac{\pi}{2}$ не учитывается, поскольку в ней тангенс не определён. Если $\abs{c} > 1$, ни синус, ни косинус не принимают значения $c$, поскольку их значения лежат в $\icc{-1}{1}$.

Доказательство

1. 1
   $$\dato{u}{x_1 + 2j\pi \in \ico{a}{a + 2\pi} \leftrightarrow j = -k}$$

   Пусть $x_1$ есть действительное число. По лемме, при $p = 2\pi$, существует единственное целое $k$, такое что $x_1 - 2k\pi$ лежит в $\ico{a}{a + 2\pi}$: серия чисел $x_1 + 2j\pi$, где $j$ целое, имеет ровно один член на обороте.

2. 2
   $$\alpha + 2k\pi = \pi - \alpha + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\alpha = \frac{\pi}{2} + (j - k)\pi} \leftrightarrow \alpha = \pm \frac{\pi}{2} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Пусть $\alpha = \arcsin c$, где это число лежит в $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$. Если у двух серий синуса есть общий член, они совпадают, и это происходит ровно тогда, когда $\alpha$ равно $\frac{\pi}{2}$ или $-\frac{\pi}{2}$, то есть когда $c = \pm 1$. Следовательно, если $\abs{c} < 1$, две серии дают обороту два различных решения, а если $\abs{c} = 1$, только одно.

3. 3
   $$\beta + 2k\pi = -\beta + 2j\pi \leftrightarrow \resaltar{\beta = (j - k)\pi} \leftrightarrow \beta \in \left\{ 0, \pi \right\} \leftrightarrow \resaltar{c = \pm 1}$$

   Пусть $\beta = \arccos c$, где это число лежит в $\icc{0}{\pi}$. Две серии косинуса имеют общий член ровно тогда, когда $\beta$ есть целое кратное числа $\pi$, то есть когда $\beta$ равно $0$ или $\pi$, что равносильно условию $c = \pm 1$; подсчёт тот же, что и для синуса.

4. 4
   $$-\frac{\pi}{2} < \arctan c < \frac{\pi}{2} \rightarrow \resaltar{\arctan c + k\pi \neq \frac{\pi}{2} + j\pi}$$

   Для тангенса серия только одна, с расстоянием $\pi$ между соседними членами, и лемма при $p = \pi$ даёт ей ровно один член в $\ico{a}{a + \pi}$. Этот член является решением, так как $\arctan c + k\pi$ никогда не имеет вид $\frac{\pi}{2} + j\pi$, при котором тангенс не определён: $\arctan c$ лежит в $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$.