Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Преобразование сумм в произведения и гармоническая форма

Краткое содержание

Этот урок выводит из формул синуса и косинуса суммы и разности формулы, преобразующие произведения синусов и косинусов в суммы и, обратно, суммы в произведения, и истолковывает последние на единичной окружности с помощью середины хорды. Он доказывает, что всякое выражение asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x записывается в гармонической форме Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), где R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}, с углом φ\varphi, единственным в [0,2π)\ico{0}{2\pi}, выводит отсюда двумя способами его множество значений (одним из них служит неравенство Коши-Шварца) и заключает, что суперпозиция двух колебаний одной и той же частоты есть снова колебание. Он объясняет биения как произведение медленного колебания на быстрое и, умножая на множитель, делающий сумму телескопической, вычисляет в замкнутой форме суммы синусов и косинусов углов, образующих арифметическую прогрессию.

Цели обучения

  1. Вывести формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение из формул сложения и истолковать последние на единичной окружности.
  2. Записывать всякое выражение asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x в гармонической форме, доказывать существование и единственность его амплитуды и угла и применять её для нахождения множеств значений, наибольших и наименьших значений.
  3. Распознавать суперпозицию двух колебаний одной и той же частоты как колебание и описывать биения с помощью их огибающей.
  4. Вычислять суммы синусов и косинусов в арифметической прогрессии с помощью телескопических сумм и применять эти преобразования к упрощению выражений и доказательству тождеств.

От произведений к суммам

В уроке о формулах сложения для всех действительных α\alpha и β\beta были доказаны четыре равенства, приведённые ниже:

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β,sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, \qquad \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β,cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Две формулы каждой пары содержат одни и те же два произведения и различаются лишь знаком второго. Если это так, то при их сложении или вычитании одно из произведений сокращается, а другое удваивается: всякое произведение синуса или косинуса на другой синус или косинус выражается как полусумма или полуразность синусов или косинусов. Эти формулы, называемые формулами простаферезиса (от греческого «сложение и вычитание»), служили астрономам конца XVI века, среди них Тихо Браге, для сведения умножения многозначных чисел к сложениям и вычитаниям по таблицам синусов, ещё до того, как Джон Непер опубликовал в 1614 году свои таблицы логарифмов.

ТеоремаПреобразование произведения в сумму

Для всех действительных α\alpha и β\beta произведение sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta есть полусумма sin⁡(α+β)\sin(\alpha + \beta) и sin⁡(α−β)\sin(\alpha - \beta); произведение cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta есть полуразность тех же синусов; произведение cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta есть полусумма cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta) и cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta), а произведение sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta есть их полуразность.

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)),cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), \qquad \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)
cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)),sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right), \qquad \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)

Каждая формула получается сложением или вычитанием двух формул одной пары. Рисунок иллюстрирует их при α=2x\alpha = 2x и β=x\beta = x: произведение, изображённое жирной линией, совпадает с полусуммой или полуразностью двух колебаний частот 33 и 11, изображённых тонкой линией.

Доказательство

  1. sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β→sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{sc}{\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)}

    Складываем формулы синуса суммы и синуса разности: члены cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta сокращаются. Деля на 22, получаем первую формулу.

  2. sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β→cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \sin \beta} \rightarrow \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right)

    Если вместо сложения их вычесть, сокращаются члены sin⁡αcos⁡β\sin \alpha \cos \beta.

  3. cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β→cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \cos \alpha \cos \beta} \rightarrow \dato{cc}{\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) \right)}

    С формулами косинуса поступаем так же. При сложении сокращаются произведения синусов.

  4. cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡αsin⁡β→sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \resaltar{2 \sin \alpha \sin \beta} \rightarrow \dato{ss}{\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left( \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \right)}

    При вычитании формулы косинуса суммы из формулы косинуса разности сокращаются произведения косинусов.

  5. sin⁡αcos⁡α=12sin⁡(2α),cos⁡2α=12(1+cos⁡(2α)),sin⁡2α=12(1−cos⁡(2α))\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha), \quad \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) \right), \quad \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos(2\alpha) \right)

    При β=α\beta = \alpha, поскольку sin⁡0=0\sin 0 = 0 и cos⁡0=1\cos 0 = 1, получаются формула двойного угла для синуса и формулы понижения степени из урока о формулах сложения. На рисунке sin⁡2x\sin^2 x колеблется с периодом π\pi около 12\frac{1}{2}.

Эти формулы позволяют вычислять произведения, которые не сводятся к табличным значениям сомножитель за сомножителем. Например, при α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12} и β=π12\beta = \frac{\pi}{12} сумма углов равна π2\frac{\pi}{2}, а их разность равна π3\frac{\pi}{3}:

cos⁡5π12cos⁡π12=12(cos⁡π3+cos⁡π2)=12(12+0)=14\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + 0 \right) = \frac{1}{4}

Однако главный интерес этих формул в другом: произведение двух колебаний, которое трудно себе представить, есть суперпозиция двух колебаний, частоты которых равны сумме и разности частот сомножителей. Так, sin⁡(3x)cos⁡x=12(sin⁡(4x)+sin⁡(2x))\sin(3x) \cos x = \frac{1}{2} \left( \sin(4x) + \sin(2x) \right).