Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Формулы сложения, двойного и половинного угла

Краткое содержание

В этом уроке доказываются формулы, выражающие синус, косинус и тангенс суммы или разности углов через тригонометрические отношения каждого из углов. Первая из них, формула косинуса разности, получается вычислением двумя способами длины хорды единичной окружности: по формуле расстояния в декартовых координатах и по формуле расстояния в полярных координатах, которая показывает, что хорда зависит только от разности углов. Из неё с помощью чётности и симметрий дополнительных углов выводятся остальные формулы сложения, а из них формулы двойного угла, формулы понижения степени, формулы половинного угла, со знаком, определяемым четвертью, и формулы тройного угла. С их помощью вычисляются точные значения, например для π12\frac{\pi}{12} и π5\frac{\pi}{5}. Наконец, подстановка t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} выражает синус и косинус рациональными дробями от tt, даёт рациональную параметризацию единичной окружности и, с её помощью, формулу, порождающую все пифагоровы тройки.

Цели обучения

  1. Доказывать формулу косинуса разности через длину хорды единичной окружности и выводить из неё формулы синуса и тангенса суммы или разности вместе с условиями их применимости.
  2. Выводить формулы двойного угла, понижения степени, половинного угла и тройного угла и выбирать знак квадратного корня по четверти, в которой лежит угол.
  3. Вычислять точные значения тригонометрических отношений незамечательных углов, таких как π12\frac{\pi}{12}, 5π12\frac{5\pi}{12} и π5\frac{\pi}{5}, сводя задачу при необходимости к алгебраическим уравнениям.
  4. Выражать синус и косинус через тангенс половинного угла, получать рациональную параметризацию единичной окружности и порождать с её помощью все пифагоровы тройки.

Косинус разности

Симметрии, доказанные в уроке о тригонометрических отношениях и единичной окружности, такие как cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta или sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta, связывают тригонометрические отношения одного угла с отношениями другого, который получается прибавлением или вычитанием угла, кратного прямому. Однако эти равенства суть частные случаи общей задачи: вычислить тригонометрические отношения α+β\alpha + \beta и α−β\alpha - \beta по отношениям α\alpha и β\beta, каковы бы ни были эти числа. С самого начала стоит заметить, что тригонометрические отношения не распределяются по сумме: sin⁡(π6+π3)=sin⁡π2=1\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1, тогда как sin⁡π6+sin⁡π3=1+32\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, а это больше, чем 11. Правильная формула смешивает синусы и косинусы, и ключом к её получению служит хорда единичной окружности.

Как и в аксиоме обхода по длине дуги из урока об углах и их измерении, P(θ)P(\theta) обозначает точку единичной окружности, в которую приходят, пройдя от (1,0)(1, 0) дугу длины ∣θ∣\abs{\theta}, против часовой стрелки, если θ>0\theta > 0, и по часовой стрелке, если θ<0\theta < 0; по определению из того урока, P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right).

ТеоремаКосинус разности

Для любых действительных чисел α\alpha и β\beta выполняется cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.

Расстояние между P(α)P(\alpha) и P(β)P(\beta) вычисляется сначала по их декартовым координатам, а затем по их полярным координатам, равным (1,α)(1, \alpha) и (1,β)(1, \beta); приравнивая два результата, получаем формулу.

Доказательство

  1. d2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2d^2 = \left( \resaltar{\cos \alpha - \cos \beta} \right)^2 + \left( \resaltar{\sin \alpha - \sin \beta} \right)^2

    Пусть dd есть расстояние между P(α)P(\alpha) и P(β)P(\beta). По формуле расстояния из урока курса I об уравнении прямой его квадрат равен сумме квадратов разностей координат.

  2. d2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2cos⁡αcos⁡β−2sin⁡αsin⁡β=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)d^2 = \left( \resaltar{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} \right) + \left( \resaltar{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta} \right) - 2 \cos \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \sin \beta = \dato{c}{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)}

    Раскрываем оба квадрата и группируем синус и косинус каждого угла; по основному тригонометрическому тождеству каждая группа равна 11.

  3. d2=1+1−2⋅1⋅1⋅cos⁡(α−β)=2−2cos⁡(α−β)d^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \resaltar{\cos(\alpha - \beta)} = \dato{p}{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)}

    По теореме о расстоянии в полярных координатах из урока о полярных координатах, применённой при r1=r2=1r_1 = r_2 = 1, то же расстояние зависит только от разности углов. Геометрически поворот на угол −β-\beta вокруг начала координат переводит P(β)P(\beta) в (1,0)(1, 0) и P(α)P(\alpha) в P(α−β)P(\alpha - \beta) и сохраняет расстояния: две хорды на рисунке равны.

  4. 2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)↔cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\resaltar{2 - 2 \cos(\alpha - \beta)} = \resaltar{2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)} \leftrightarrow \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

    Приравниваем два выражения для d2d^2, вычитаем 22 и делим на −2-2.

Доказательство не требует никаких условий на α\alpha и β\beta: теорема о расстоянии в полярных координатах верна для любых углов, а если P(α)=P(β)P(\alpha) = P(\beta), то оба выражения для d2d^2 равны нулю. Нет здесь и порочного круга: та теорема была доказана с помощью теоремы косинусов, которая, в свою очередь, получена размещением треугольника в системе координат, без формул сложения углов. Этот путь можно пройти и в обратном направлении: если стороны bb и cc треугольника выходят из начала координат с углами наклона β\beta и α\alpha, то квадрат расстояния между их концами равен b2+c2−2bc(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right), и тот, кто располагает формулой косинуса разности, получает отсюда теорему косинусов из урока о решении треугольников.