Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Гиперболические функции

Краткое содержание

В этом уроке изучаются гиперболические косинус, синус и тангенс, три функции, которые получаются при сочетании экспоненты exe^x с обратной к ней величиной e−xe^{-x}. Определяются их чётность, знак, монотонность и множество значений, и доказывается тождество cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, согласно которому точка (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) пробегает правую ветвь гиперболы x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 и проходит через каждую её точку ровно один раз; отсюда и происходит их название. Затем выводятся формулы сложения и формулы двойного аргумента и находятся обратные функции, которые выражаются через логарифмы. Наконец, описываются цепная линия, то есть форма подвешенной цепи, и площадь гиперболического сектора, которая предвещает аналогию с круговыми функциями.

Цели обучения

  1. Определять гиперболические косинус, синус и тангенс через экспоненту и доказывать их чётность, знак, монотонность и оценки.
  2. Доказывать основное тождество и применять его для параметризации ветвей гипербол, понимая, что каждой точке ветви соответствует единственный параметр.
  3. Выводить формулы сложения и формулы двойного аргумента и применять их к доказательству тождеств и неравенств.
  4. Находить обратные гиперболические функции с их областями определения, решая квадратные уравнения относительно eye^y, и применять их для решения гиперболических уравнений.

Определение и первые свойства

В уроке о числе e и натуральной экспоненте была определена функция exe^x, положительная и строго возрастающая на всей числовой прямой. Обратная к ней величина e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} тоже положительна, но строго убывает, и её график есть отражение графика exe^x относительно оси yy, согласно уроку о действиях с функциями. Полусумма и полуразность этих двух функций, а также их частное встречаются в геометрии, в физике и в анализе так часто, что получают собственные имена.

Для всякого действительного числа xx гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тангенс числа xx определяются соответственно как полусумма exe^x и e−xe^{-x}, их полуразность и частное второй и первой.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

Все три функции определены на всём R\mathbb{R}: знаменатель тангенса есть сумма двух положительных чисел и никогда не обращается в нуль. При x=0x = 0 имеем e0=1e^0 = 1, так что cosh⁡0=1\cosh 0 = 1, sinh⁡0=0\sinh 0 = 0 и tanh⁡0=0\tanh 0 = 0. Прилагательное «гиперболический» будет оправдано в третьем разделе, где мы увидим, что эти функции описывают гиперболу.

ЛеммаЧётность и разложение экспоненты

Гиперболический косинус есть чётная функция, а гиперболические синус и тангенс являются нечётными функциями. Кроме того, для всякого действительного xx выполняются ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x и e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

При замене xx на −x-x функции exe^x и e−xe^{-x} меняются ролями. На рисунке показаны графики гиперболических косинуса и синуса с двумя точками с противоположными абсциссами на каждом.

Доказательство

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    При замене xx на −x-x полусумма не меняется, потому что два её слагаемых меняются местами: гиперболический косинус чётен, и его график симметричен относительно оси yy.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    Полуразность же меняет знак: гиперболический синус нечётен, и его график симметричен относительно начала координат.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    Тангенс, будучи частным нечётной и чётной функций, нечётен.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    Складывая и вычитая определения гиперболических косинуса и синуса, мы восстанавливаем обе экспоненты: cosh⁡x\cosh x и sinh⁡x\sinh x являются соответственно чётной и нечётной частью экспоненты.

ПримерГрафики гиперболических косинуса и синуса

Графики cosh⁡\cosh и sinh⁡\sinh строятся сложением и вычитанием, абсцисса за абсциссой, ординат ex2\frac{e^x}{2} и e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

Доказательство

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    График ex2\frac{e^x}{2} получается из графика exe^x сжатием по вертикали вдвое: он пересекает ось yy в точке 12\frac{1}{2}, неограниченно возрастает вправо и приближается к оси xx влево.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    График e−x2\frac{e^{-x}}{2} есть отражение только что построенного графика относительно оси yy.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    В каждой абсциссе cosh⁡x\cosh x есть сумма двух ординат. В точке 00 обе равны 12\frac{1}{2}: график проходит через (0,1)(0, 1) и симметричен относительно оси yy, потому что гиперболический косинус чётен.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    Гиперболический косинус превосходит ex2\frac{e^x}{2} ровно на e−x2\frac{e^{-x}}{2}, положительную величину, которая становится сколь угодно малой, когда xx растёт: вправо график cosh⁡\cosh приближается сверху к графику ex2\frac{e^x}{2}, а влево, в силу симметрии, к графику e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    Гиперболический синус есть разность ординат. Он проходит через начало координат, и его график симметричен относительно начала координат, потому что гиперболический синус нечётен.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    Вправо график sinh⁡\sinh приближается снизу к графику ex2\frac{e^x}{2}, тогда как график cosh⁡\cosh приближается к нему сверху: они сближаются, никогда не касаясь друг друга, потому что их разность положительна.

Знак гиперболического синуса читается из его определения: sinh⁡x>0\sinh x > 0 равносильно ex>e−xe^x > e^{-x}, а так как экспонента строго возрастает, это происходит ровно тогда, когда x>−xx > -x, то есть когда x>0x > 0. Следовательно, гиперболический синус отрицателен при x<0x < 0, равен нулю в 00 и положителен при x>0x > 0; гиперболический тангенс, будучи частным синуса и положительного числа, имеет тот же знак. Гиперболический косинус, напротив, всегда положителен, и верно даже нечто большее.

ЛеммаНижняя оценка гиперболического косинуса

Для всякого действительного xx выполняется cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}. Следовательно, cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1, причём равенство достигается только при x=0x = 0.

Идея состоит в том, чтобы узнать в числителе cosh⁡x−1\cosh x - 1 квадрат разности. На рисунке показан график гиперболического косинуса над прямой y=1y = 1, а разность между ними изображена вертикальным отрезком.

Доказательство

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    По свойству степеней exe^x есть квадрат ex2e^{\frac{x}{2}}, e−xe^{-x} есть квадрат e−x2e^{-\frac{x}{2}}, а произведение этих двух степеней равно e0=1e^0 = 1.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    Следовательно, числитель cosh⁡x−1\cosh x - 1 есть квадрат разности, и эта разность равна удвоенному sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    Квадрат не бывает отрицательным: гиперболический косинус не меньше 11.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    Равенство требует, чтобы основание квадрата было равно нулю, то есть ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}; так как экспонента инъективна, это требует x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}, то есть x=0x = 0.

Неравенство cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 есть неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел exe^x и e−xe^{-x}, среднее геометрическое которых равно 11.