Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Асимптоты и методы построения графиков

Краткое содержание

Это занятие завершает изучение пределов в этом разделе их первым геометрическим приложением: асимптотами. В курсе «Алгебра и геометрия» вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты рациональных функций и функций с корнями находились с помощью таблицы знаков и деления многочленов, а поведение функций вблизи них принималось как интуитивно очевидный факт. Здесь асимптоты определяются через односторонние пределы, пределы на бесконечности и бесконечные пределы, а принятые факты доказываются. Доказывается, что прямая является асимптотой ровно тогда, когда расстояние от кривой до неё стремится к нулю, выводится формула углового коэффициента и начальной ординаты наклонной асимптоты и устанавливается, что на каждом конце существует не более одной асимптоты. Кроме того, занятие исправляет распространённое убеждение, будто кривая не может пересекать свою асимптоту, предлагает метод построения графика функции без производных и применяет его к функциям из курса «Алгебра и геометрия», таблицы знаков и деления многочленов которых теперь дополняются пределами.

Цели обучения

  1. Определять с помощью пределов вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты и связывать их с расстоянием от кривой до прямой.
  2. Доказывать формулы углового коэффициента и начальной ординаты наклонной асимптоты, а также единственность невертикальной асимптоты на каждом конце.
  3. Доказывать факты, принятые в курсе «Алгебра и геометрия», о поведении рациональной функции вблизи нуля её знаменателя и определять положение кривой относительно её асимптоты.
  4. Строить графики алгебраических и тригонометрических функций, объединяя область определения, симметрии, точки пересечения с осями, таблицу знаков и асимптоты.

Определение

В занятии о рациональных функциях курса «Алгебра и геометрия» асимптотой называлась прямая, к которой кривая подходит всё ближе, удаляясь вдоль одной из своих ветвей. С пределами этого раздела эта идея записывается точно. Удаляться можно двумя способами: переменная приближается к числу, а значения неограниченно возрастают, или переменная неограниченно возрастает. Первому способу соответствуют вертикальные асимптоты; второму все остальные.

ОпределениеАсимптоты

Пусть ff есть функция с областью определения AA.

  • Прямая x=ax = a называется вертикальной асимптотой графика ff, если хотя бы один из односторонних пределов ff в aa равен ∞\infty или −∞-\infty.
  • Если AA не ограничено сверху, прямая y=mx+by = mx + b называется асимптотой графика ff на ∞\infty, если lim⁡x→∞(f(x)−(mx+b))=0\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0. Она называется горизонтальной, если m=0m = 0, и наклонной, если m≠0m \neq 0. Так же определяется асимптота на −∞-\infty.

Три замечания уточняют определение. Первое: горизонтальная асимптота y=Ly = L на ∞\infty есть просто утверждение lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L из занятия о пределах при стремлении переменной к бесконечности. Второе: невертикальные асимптоты определяются на каждом конце отдельно и могут быть различными на ∞\infty и на −∞-\infty, как прямые y=π2y = \frac{\pi}{2} и y=−π2y = -\frac{\pi}{2} у арктангенса. Третье: если f(x)−g(x)f(x) - g(x) стремится к 00 для функции gg, которая не является функцией первой степени, как многочлен-частное при делении, когда степень числителя превосходит степень знаменателя на два или больше, говорят, что кривая y=g(x)y = g(x) есть криволинейная асимптота; всё сказанное ниже о наклонных асимптотах верно и для неё, кроме формул углового коэффициента и начальной ординаты.

Определение измеряет разность ординат, то есть расстояние по вертикали между кривой и прямой. Интуитивная же идея говорит о расстоянии от кривой до прямой, которое измеряется по перпендикуляру. Утверждение, приведённое ниже, показывает, что оба расстояния стремятся к нулю одновременно.

УтверждениеРасстояние до асимптоты

Пусть Px=(x,f(x))P_x = (x, f(x)) есть точка графика с абсциссой xx, и пусть rr есть прямая y=mx+by = mx + b. Тогда rr является асимптотой графика ff на ∞\infty тогда и только тогда, когда lim⁡x→∞d⁡(Px,r)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0. Расстояние до прямой равно расстоянию по вертикали, умноженному на положительную постоянную. На рисунке кривая есть f(x)=x2+1+1x−1f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}, а её асимптота есть прямая y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1.

Доказательство

  1. d⁡(Px,r)=∣mx−f(x)+b∣m2+1=∣f(x)−(mx+b)∣m2+1\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}

    Прямая rr имеет уравнение mx−y+b=0mx - y + b = 0. По формуле расстояния от точки до прямой из занятия о векторах на плоскости расстояние от PxP_x до rr равно расстоянию по вертикали, делённому на m2+1\sqrt{m^2 + 1}, что не зависит от xx.

  2. f(x)−(mx+b)→0⇔d⁡(Px,r)→0f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}

    По лемме о пределе как расстоянии, стремящемся к нулю, из занятия об арифметических свойствах пределов, перенесённой на бесконечность, f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) стремится к 00 тогда и только тогда, когда модуль этой разности стремится к 00; а он стремится к 00 тогда и только тогда, когда к нему стремится его произведение на положительную постоянную 1m2+1\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}, по правилу линейной комбинации.