Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Бесконечные пределы

Краткое содержание

В этом занятии изучаются функции, значения которых неограниченно возрастают или убывают. Оно дополняет общую схему определений предела недостающей клеткой, клеткой значения вблизи ∞\infty, и отличает бесконечные пределы, которые являются точным способом не иметь предела, от остальных форм расходимости. Одна-единственная лемма, лемма об обратной величине, сводит бесконечные пределы к пределам, равным нулю, так что правила для суммы, произведения и частного выводятся из арифметических свойств пределов; лишь сравнение, теорема о неограниченных монотонных функциях и композиция требуют собственного рассуждения. С их помощью завершаются два результата, которые предыдущие занятия оставили незаконченными: частное со знаменателем, стремящимся к нулю, и рациональные функции с числителем большей степени. Занятие показывает также, почему неопределённости не являются правилами, и завершается композицией с бесконечными пределами.

Цели обучения

  1. Определять по схеме вызова и ответного хода бесконечные пределы, в точке, с одной стороны и на бесконечности, и отличать их от остальных форм расходимости.
  2. Доказывать лемму об обратной величине и выводить из неё и из сравнения правила для суммы, произведения и частного с бесконечными пределами.
  3. Распознавать неопределённости и показывать на примерах, что они могут давать любой результат.
  4. Вычислять бесконечные пределы многочленов, рациональных функций, тригонометрических функций и композиций и доказывать теорему о неограниченных монотонных функциях.

Недостающая клетка

В занятии о пределах при стремлении переменной к бесконечности была описана общая схема: всякое определение предела есть вызов относительно значений с ответным ходом относительно переменной, и меняется лишь то, что значит быть близко к каждому из объектов. Для переменной уже использованы все формы: вблизи числа aa, с одной стороны от него или вблизи ±∞\pm\infty. Для значений только одна: вблизи числа LL. Это занятие дополняет схему оставшейся формой, в которой значение находится вблизи ∞\infty, то есть f(x)>Nf(x) > N, или вблизи −∞-\infty, то есть f(x)<Nf(x) < N.

ОпределениеБесконечные пределы

Пусть aa есть предельная точка множества AA, области определения функции ff. Говорят, что ff стремится к бесконечности, когда xx стремится к aa, и пишут lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, если для всякого действительного NN существует δ>0\delta > 0, такое что f(x)>Nf(x) > N для всякого xx из AA с 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta. Точно так же lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty, если для всякого NN существует δ>0\delta > 0, такое что f(x)<Nf(x) < N в этих xx.

Записанное с помощью кванторов, определение имеет привычный вид; вызов теперь есть верхняя полуплоскость, полуплоскость точек с ординатой больше NN:

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

Варианты получаются изменением одного лишь ответного хода, как в предыдущих занятиях: lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty, если условие выполняется при a<x<a+δa < x < a + \delta; lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, если существует MM, такое что оно выполняется при x>Mx > M; и аналогично в остальных случаях. В дальнейшем PP обозначает любую из целей переменной (aa, a+a^+, a−a^-, ∞\infty или −∞-\infty), а «вблизи PP» означает в проколотой окрестности, с одной стороны или на луче, в зависимости от случая. Все доказательства занятия используют лишь одно общее свойство: два условия, выполняющиеся вблизи PP, выполняются одновременно вблизи PP, если взять меньший из двух радиусов или большую из двух границ. Теоремы о конечных пределах, на которые ссылаются при произвольной цели PP (единственность, локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические свойства пределов и леммы занятия об арифметических свойствах пределов), справедливы для всех них благодаря занятию об односторонних пределах и лемме об инверсии из предыдущего занятия, чьё соответствие δ=1M\delta = \frac{1}{M} между границей и радиусом точно так же переносит бесконечные пределы, потому что не зависит от формы вызова.

Стоит подчеркнуть, что говорит эта запись. Если lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, то функция не имеет предела в aa в смысле занятия о пределе функции одной действительной переменной, потому что она не ограничена вблизи aa, а локальная ограниченность утверждает, что функция, имеющая предел, ограничена. Равенство с ∞\infty описывает точный способ не иметь предела. Говорят, что ff расходится в PP, если она не имеет там конечного предела; стремление к ∞\infty или к −∞-\infty есть две формы расходимости, но не единственные. Функция sin⁡1x\sin \frac{1}{x} расходится в 00 и ограничена; функция 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} расходится в 00, не ограничена вблизи 00 и тем не менее не стремится ни к ∞\infty, ни к −∞-\infty, потому что обращается в нуль в точках, сколь угодно близких к 00.

УтверждениеОбратные величины к x2x^2 и к xx в нуле

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty. Напротив, lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty и lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, так что 1x\frac{1}{x} не стремится ни к ∞\infty, ни к −∞-\infty, когда xx стремится к 00. Ответный ход на вызов NN есть корень из величины, обратной к NN. На рисунке верхняя полуплоскость есть вызов, а полоса рядом с 00 есть ответный ход.

Доказательство

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    Пусть NN есть действительное число; достаточно рассмотреть N>0N > 0, потому что ответный ход на больший вызов отвечает и на все меньшие. В качестве ответного хода берётся квадратный корень из обратной к нему величины.

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    Если 0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta, то квадрат xx положителен и меньше 1N\frac{1}{N}; при переходе к обратным величинам положительных чисел неравенство меняет направление.

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    Для 1x\frac{1}{x} справа утверждение об обратной величине из предыдущего занятия даёт ответный ход δ=1N\delta = \frac{1}{N}. Слева 1x\frac{1}{x} есть число, противоположное 1−x\frac{1}{-x}, а −x-x лежит справа от 00: значения меньше −N-N.

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    В каждой проколотой окрестности точки 00 есть значения 1x\frac{1}{x}, большие 11 и меньшие −1-1: никакое δ\delta не отвечает ни на вызов N=1N = 1 для ∞\infty, ни на вызов N=−1N = -1 для −∞-\infty.