Résumé :
Ce cours traite de la relation entre la limite et la continuité d’une fonction, en commençant par une explication intuitive et formelle du terme. La continuité en un point et sur un ensemble est explorée, en détaillant les conditions nécessaires pour qu’une fonction soit continue. Les propriétés algébriques des fonctions continues sont également présentées, y compris les sommes, produits, quotients et compositions de fonctions. Enfin, des exemples pratiques sont résolus pour analyser la continuité de différentes fonctions et calculer des limites, en les reliant au concept de continuité.

Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

1. Analyser la continuité d’une fonction en un point en vérifiant les conditions définies.
2. Évaluer si une fonction est continue sur un ensemble donné en utilisant la définition formelle de la continuité.
3. Démontrer la continuité d’une fonction à partir de ses propriétés algébriques.
4. Classer les points de discontinuité en différents types selon les conditions qui ne sont pas remplies.

TABLE DES MATIÈRES :
Introduction
Continuité en un Point
Continuité sur un Ensemble
Propriétés des Fonctions Continues
Exercices

Introduction

De manière intuitive, la continuité d’une fonction est comprise comme la propriété qui permet de tracer son graphique « sans lever le crayon ». Bien que cette notion soit assez simple à comprendre, elle n’est pas suffisante si l’on souhaite obtenir la rigueur du raisonnement mathématique. Un minimum de formalités est nécessaire. D’un point de vue formel, la continuité des fonctions est étroitement liée au concept de limite, que nous étudierons en détail.

Continuité en un Point

Une fonction f(x) est continue en un point x=x_0 si, et seulement si, les conditions suivantes sont remplies :

• f(x) est définie en x_0
• La limite \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) existe
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

Tout cela peut être résumé mathématiquement par l’expression suivante :

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Ceci est précisément la définition mathématique de la limite, où la valeur « L » est remplacée par « f(x_0) »

Continuité sur un Ensemble

La définition de la continuité en un point peut être étendue à la continuité sur tous les points d’un certain ensemble. Nous disons que f(x) est continue sur un ensemble I\subseteq Dom(f) si elle est continue pour tous les points x_0\in I. Cela peut être résumé mathématiquement par l’expression suivante.

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Propriétés des Fonctions Continues

Algèbre des Fonctions Continues

Si f et g sont des fonctions continues sur I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g), alors nous avons :

• f\pm g est continue sur I
• f\cdot g est continue sur I
• Si \alpha\in\mathbb{R}, alors \alpha f est continue sur I
• f/g est continue sur I, tant que g\neq 0
• Si \alpha,\beta\in\mathbb{R} et \beta\neq 0, alors f^{\alpha/\beta} est continue sur I, à condition que f^{\alpha/\beta} soit bien définie sur I.

Toutes ces propriétés, qui semblent difficiles à démontrer à partir de la définition formelle de la continuité, sont en réalité très faciles car elles sont pratiquement analogues à l’algèbre des limites que nous avons déjà démontrée, ce qui nous dispense de les démontrer à nouveau.

Composition des Fonctions Continues

Si f est continue sur I\subseteq Dom(f) et g est continue sur f(I), alors la composition (g\circ f)(x) = g(f(x)) est continue sur I. Cela, comme on peut s’y attendre, est une conséquence directe des lois de composition pour les limites des fonctions.

Exercices

1. Analysez la continuité des fonctions suivantes
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	SOLUTION
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	SOLUTION
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	SOLUTION
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	SOLUTION
   e.	y=csc(2x)	SOLUTION
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	SOLUTION
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	SOLUTION
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	SOLUTION
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	SOLUTION

2. Calculez les limites suivantes. Les fonctions sont-elles continues aux points auxquels elles tendent ?
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	SOLUTION
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	SOLUTION
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	SOLUTION
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	SOLUTION
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	SOLUTION
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	SOLUTION