Резюме:
На этом уроке рассматривается связь между пределом и непрерывностью функции, начиная с интуитивного и формального объяснения термина. Рассматривается непрерывность в точке и на множестве, подробно описываются необходимые условия для непрерывности функции. Также представлены алгебраические свойства непрерывных функций, включая суммы, произведения, частные и композиции функций. В конце урока рассматриваются практические примеры для анализа непрерывности различных функций и вычисления пределов, связанных с понятием непрерывности.

Цели обучения:
После завершения этого урока студент сможет:

1. Анализировать непрерывность функции в точке, проверяя выполненные условия.
2. Оценивать, является ли функция непрерывной на заданном множестве, используя формальное определение непрерывности.
3. Доказывать непрерывность функции на основе её алгебраических свойств.
4. Классифицировать точки разрыва на различные типы в зависимости от невыполненных условий.

СОДЕРЖАНИЕ:
Введение
Непрерывность в точке
Непрерывность на множестве
Свойства непрерывных функций
Упражнения

Введение

Интуитивно непрерывность функции понимается как свойство, которое позволяет нарисовать её график «не отрывая карандаша от бумаги». Однако это понятие, хотя и легко для понимания, недостаточно для строгого математического обоснования. Требуется минимальная степень формальности. С формальной точки зрения, непрерывность функций тесно связана с понятием предела, и именно это мы будем изучать в деталях.

Непрерывность в точке

Функция f(x) является непрерывной в точке x=x_0, если и только если выполняются следующие условия:

• f(x) определена в x_0
• Существует предел \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

Все это можно выразить с помощью следующего математического выражения

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Это именно математическое определение предела, где значение «L» заменено на «f(x_0)»

Непрерывность на множестве

Определение непрерывности в одной точке может быть расширено до непрерывности во всех точках некоторого множества. Мы говорим, что f(x) непрерывна на множестве I\subseteq Dom(f), если она непрерывна во всех точках x_0\in I. Это можно выразить следующим математическим выражением.

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Свойства непрерывных функций

Алгебра непрерывных функций

Если f и g являются непрерывными функциями на I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g), то мы имеем:

• f\pm g непрерывна на I
• f\cdot g непрерывна на I
• Если \alpha\in\mathbb{R}, то \alpha f непрерывна на I
• f/g непрерывна на I, если g\neq 0
• Если \alpha,\beta\in\mathbb{R} и \beta\neq 0, то f^{\alpha/\beta} непрерывна на I, если f^{\alpha/\beta} хорошо определена на I.

Все эти свойства, которые могут показаться сложными для доказательства с использованием формального определения непрерывности, на самом деле довольно просты, поскольку они практически аналогичны алгебре пределов, которую мы уже доказали, поэтому мы освобождены от необходимости их доказывать снова.

Композиция непрерывных функций

Если f непрерывна на I\subseteq Dom(f) и g непрерывна на f(I), тогда композиция (g\circ f)(x) = g(f(x)) является непрерывной на I. Это, как уже можно предположить, является прямым следствием законов композиции для пределов функций.

Упражнения

1. Анализируйте непрерывность следующих функций
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	РЕШЕНИЕ
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	РЕШЕНИЕ
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	РЕШЕНИЕ
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	РЕШЕНИЕ
   e.	y=csc(2x)	РЕШЕНИЕ
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	РЕШЕНИЕ
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	РЕШЕНИЕ
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	РЕШЕНИЕ
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	РЕШЕНИЕ

2. Вычислите следующие пределы. Являются ли функции непрерывными в точках, к которым они стремятся?
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	РЕШЕНИЕ
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	РЕШЕНИЕ
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	РЕШЕНИЕ
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	РЕШЕНИЕ
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	РЕШЕНИЕ
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	РЕШЕНИЕ