摘要：
本课程探讨了函数的极限与连续性的关系，从直观和正式的角度进行了解释。我们将讨论函数在某一点及某一集合上的连续性，详细说明函数连续所需的条件。同时介绍了连续函数的代数性质，包括和、积、商及函数的复合。最后，通过实际例子分析不同函数的连续性和极限，帮助理解连续性的概念。

学习目标：
完成本课程后，学生将能够：

1. 分析某一点处函数的连续性，验证其定义的条件。
2. 评估函数在某个集合中是否连续，使用连续性的正式定义。
3. 证明函数的连续性，基于其代数性质。
4. 分类不连续点的类型，根据未满足的条件进行分类。

内容目录:
简介
某一点处的连续性
集合上的连续性
连续函数的性质
练习

简介

直观来说，函数的连续性是指其图像可以“不断笔”地画出来。虽然这一概念很容易理解，但如果要达到数学推理的严谨性，这还远远不够。我们需要一定的形式化方法。严格来说，函数的连续性与极限的概念密切相关，这是我们将详细研究的内容。

某一点处的连续性

一个函数 f(x) 在点 x=x_0 处是连续的，当且仅当以下条件成立：

• f(x) 在 x_0 处定义
• 极限 \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) 存在
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

所有这些可以用如下数学表达式来概括

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

这正是极限的数学定义，其中值“L”被替换为“f(x_0)”

集合上的连续性

连续性的定义可以从一点扩展到整个集合内的连续性。我们说 f(x) 在集合 I\subseteq Dom(f) 内是连续的，如果它在集合中的每个点 x_0\in I. 处都是连续的。这可以通过下面的数学表达式来概括。

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

连续函数的性质

连续函数的代数

如果 f 和 g 是在 I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g) 上的连续函数，那么我们将有：

• f\pm g 在 I 上是连续的
• f\cdot g 在 I 上是连续的
• 如果 \alpha\in\mathbb{R}，那么 \alpha f 在 I 上是连续的
• f/g 在 I 上是连续的，前提是 g\neq 0
• 如果 \alpha,\beta\in\mathbb{R} 且 \beta\neq 0，那么 f^{\alpha/\beta} 在 I 上是连续的，前提是 f^{\alpha/\beta} 在 I 上定义良好。

这些从连续性的定义来看似乎很难证明的性质实际上非常简单，因为它们几乎与我们已经证明的极限代数是完全类比的，因此我们不需要再做证明。

连续函数的复合

如果 f 在 I\subseteq Dom(f) 上是连续的，且 g 在 f(I) 上是连续的，则复合函数 (g\circ f)(x) = g(f(x)) 在 I 上是连续的。这正如预想的那样，是函数极限复合定律的直接结果。

练习

1. 分析以下函数的连续性
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	解答
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	解答
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	解答
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	解答
   e.	y=csc(2x)	解答
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	解答
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	解答
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	解答
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	解答

2. 计算以下极限。函数在趋近的点上是否连续？
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	解答
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	解答
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	解答
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	解答
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	解答
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	解答