الملخص:
في هذه الحصة، نتناول العلاقة بين الحد والاستمرارية في الدالة، بدءًا بتفسير بديهي ورسمي لهذا المفهوم. نستكشف الاستمرارية في نقطة وفي مجموعة، مع شرح الشروط اللازمة لكي تكون الدالة مستمرة. كما نستعرض الخصائص الجبرية للدوال المستمرة، بما في ذلك الجمع، الضرب، القسمة وتكوين الدوال. في النهاية، يتم حل أمثلة عملية لتحليل استمرارية دوال مختلفة وحساب الحدود، وربطها بمفهوم الاستمرارية.

أهداف التعلم:
في نهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:

1. تحليل استمرارية دالة في نقطة عن طريق التحقق من الشروط المحددة.
2. تقييم ما إذا كانت الدالة مستمرة في مجموعة معينة باستخدام التعريف الرسمي للاستمرارية.
3. إثبات استمرارية دالة بناءً على خصائصها الجبرية.
4. تصنيف نقاط الانقطاع إلى أنواع مختلفة وفقًا للشروط غير المتحققة.

فهرس المحتويات:
المقدمة
الاستمرارية في نقطة
الاستمرارية في مجموعة
خصائص الدوال المستمرة
التمارين

المقدمة

من الناحية البديهية، تُفهم الاستمرارية في الدالة كخاصية تسمح برسم منحناها “دون رفع القلم”. هذه الفكرة التي يسهل فهمها بحد ذاتها ليست كافية إذا كان الهدف هو الصرامة في التفكير الرياضي. يجب تحقيق الحد الأدنى من الشروط الرسمية. من الناحية الرسمية، ترتبط استمرارية الدوال بشكل وثيق بمفهوم الحد، وهذا ما سندرسه بالتفصيل.

الاستمرارية في نقطة

الدالة f(x) تكون مستمرة في نقطة x=x_0 إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية:

• f(x) معرفة في x_0
• الحد \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) موجود
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

يمكن تلخيص ذلك رياضيًا باستخدام التعبير التالي:

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

هذا هو التعريف الرياضي للحد حيث تم استبدال القيمة “L” بـ “f(x_0)”

الاستمرارية في مجموعة

يمكن تمديد تعريف الاستمرارية من نقطة واحدة إلى جميع النقاط داخل مجموعة معينة. نقول أن f(x) مستمرة داخل مجموعة I\subseteq Dom(f) إذا كانت مستمرة عند جميع النقاط x_0\in I. يمكن تلخيص ذلك رياضيًا باستخدام التعبير التالي:

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

خصائص الدوال المستمرة

الجبر الخاص بالدوال المستمرة

إذا كانت f و g دوال مستمرة على I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g) فإننا نحصل على:

• f\pm g مستمرة في I
• f\cdot g مستمرة في I
• إذا كانت \alpha\in\mathbb{R}، فإن \alpha f مستمرة في I
• f/g مستمرة في I بشرط أن g\neq 0
• إذا كانت \alpha,\beta\in\mathbb{R} و \beta\neq 0، فإن f^{\alpha/\beta} مستمرة في I بشرط أن تكون f^{\alpha/\beta} معرفة جيدًا في I.

جميع هذه الخصائص التي قد تبدو صعبة الإثبات باستخدام التعريف الرسمي للاستمرارية، هي في الواقع سهلة جدًا لأنها تقريبًا مماثلة لجبر الحدود الذي أثبتناه بالفعل، وبالتالي نعفى من إثباتها مرة أخرى.

تركيب الدوال المستمرة

إذا كانت f مستمرة في I\subseteq Dom(f) و g مستمرة في f(I)، فإن تركيب الدوال (g\circ f)(x) = g(f(x)) يكون مستمرًا في I. هذا، كما قد يُتوقع، هو نتيجة مباشرة لقوانين التركيب الخاصة بحدود الدوال.

التمارين

1. حلل استمرارية الدوال التالية
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	الحل
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	الحل
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	الحل
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	الحل
   e.	y=csc(2x)	الحل
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	الحل
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	الحل
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	الحل
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	الحل

2. احسب الحدود التالية. هل الدوال مستمرة في النقاط التي تقترب منها؟
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	الحل
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	الحل
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	الحل
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	الحل
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	الحل
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	الحل