Resumo:
Esta aula aborda a relação entre o limite e a continuidade de uma função, começando com uma explicação intuitiva e formal do termo. A continuidade em um ponto e em um conjunto é explorada, detalhando as condições necessárias para que uma função seja contínua. Também são apresentadas as propriedades algébricas das funções contínuas, incluindo somas, produtos, quocientes e composição de funções. Finalmente, são resolvidos exemplos práticos para analisar a continuidade de diferentes funções e calcular limites, relacionando-os ao conceito de continuidade.

Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:

1. Analisar a continuidade de uma função em um ponto verificando as condições definidas.
2. Avaliar se uma função é contínua em um determinado conjunto usando a definição formal de continuidade.
3. Demonstrar a continuidade de uma função a partir de suas propriedades algébricas.
4. Classificar os pontos de descontinuidade em diferentes tipos de acordo com as condições que não são cumpridas.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
Introdução
Continuidade em um Ponto
Continuidade em um Conjunto
Propriedades das Funções Contínuas
Exercícios

Introdução

Intuitivamente, a continuidade de uma função é entendida como a propriedade que permite desenhar seu gráfico “sem levantar o lápis”. Esta noção, que é bastante simples de entender por si só, não é suficiente, no entanto, se o que se deseja é o rigor do raciocínio matemático. É necessário um mínimo de formalidade. Formalmente falando, a continuidade das funções está intimamente ligada ao conceito de limite, e é isso que estudaremos em detalhe.

Continuidade em um Ponto

Uma função f(x) é contínua em um ponto x=x_0 se, e somente se, as seguintes condições forem atendidas:

• f(x) está definida em x_0
• O limite \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) existe
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

Tudo isso pode ser sintetizado matematicamente através da expressão

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Esta é precisamente a definição matemática de limite, em que o valor “L” foi substituído por “f(x_0)”

Continuidade em um Conjunto

A definição de continuidade pontual pode ser estendida para a continuidade em todos os pontos dentro de um certo conjunto. Dizemos que f(x) é contínua dentro de um conjunto I\subseteq Dom(f) se for contínua em todos os pontos x_0\in I. Isto pode ser sintetizado matematicamente através da seguinte expressão.

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Propriedades das Funções Contínuas

Álgebra de Funções Contínuas

Se f e g são funções contínuas em I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g), então teremos que:

• f\pm g é contínua em I
• f\cdot g é contínua em I
• Se \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha f é contínua em I
• f/g é contínua em I sempre que g\neq 0
• Se \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \beta\neq 0, então f^{\alpha/\beta} é contínua em I, desde que f^{\alpha/\beta} esteja bem definida em I.

Todas essas propriedades que parecem difíceis de demonstrar a partir da definição formal de continuidade são, na verdade, muito fáceis, pois são praticamente análogas à álgebra dos limites que já temos demonstrado, pelo que estamos isentos de fazê-las.

Composição de Funções Contínuas

Se f é contínua em I\subseteq Dom(f) e g é contínua em f(I), então a composição (g\circ f)(x) = g(f(x)) é contínua em I. Isto, como já se intui, é uma consequência direta das leis de composição para os limites das funções.

Exercícios

1. Analise a continuidade das seguintes funções
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	SOLUÇÃO
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	SOLUÇÃO
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	SOLUÇÃO
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	SOLUÇÃO
   e.	y=csc(2x)	SOLUÇÃO
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	SOLUÇÃO
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	SOLUÇÃO
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	SOLUÇÃO
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	SOLUÇÃO

2. Calcule os seguintes limites. As funções são contínuas nos pontos aos quais se aproximam?
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	SOLUÇÃO
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	SOLUÇÃO
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	SOLUÇÃO
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	SOLUÇÃO
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	SOLUÇÃO
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	SOLUÇÃO