極限と連続性

要約:
本講義では、関数の極限と連続性の関係を扱い、まず直観的および形式的な説明から始めます。ある点および集合における連続性を探究し、関数が連続であるために必要な条件を詳しく説明します。さらに、連続関数の代数的性質（和、積、商、関数の合成）についても示されます。最後に、さまざまな関数の連続性を分析し、極限を計算して連続性の概念と関連付ける実践的な例を解きます。

学習目標:
本講義終了時、学生は次のことができるようになります:

分析する 与えられた点における関数の連続性を、定義された条件を検証することによって。
評価する 関数がある集合上で連続であるかどうかを、連続性の形式的定義を用いて。
証明する 関数の代数的性質に基づいてその連続性を。
分類する 不連続点を、満たされない条件に応じて異なる種類に。

内容目次:
序論
 一点における連続性
 集合における連続性
 連続関数の性質
 練習問題

序論

直観的に言えば、連続性とは グラフを「鉛筆を離さずに」描ける性質として理解されます。この概念はそれ自体では非常にわかりやすいものの、数学的推論の厳密さを求める場合には十分ではありません。一定の規範が必要となります。形式的に言えば、関数の連続性は極限の概念と密接に結びついており、ここではそれを詳細に学びます。

一点における連続性

関数 $f(x)$ がある点で連続である $x=x_0$ とは、次の条件が満たされる場合に限ります:

$f(x)$ が $x_0$ で定義されていること
極限 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)$ が存在すること
$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$ であること

これらすべては次の数式で要約できます。

$\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)$

これはまさに数学的な極限の定義であり、値「L」を「f( $x_0$ )」に置き換えたものです。

集合における連続性

連続性の定義 は、特定の集合内のすべての点に対して拡張することができます。 $f(x)$ が集合 $I\subseteq Dom(f)$ 内で連続であるとは、任意の点 $x_0\in I$ において連続である場合を指します。これは次の数式で要約されます。

$\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)$

連続関数の性質

連続関数の代数

$f$ と $g$ が連続関数である場合 $I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g)$ において、次が成り立ちます:

$f\pm g$ は $I$ で連続である
$f\cdot g$ は $I$ で連続である
もし $\alpha\in\mathbb{R}$ ならば、 $\alpha f$ は $I$ で連続である
$f/g$ は $g\neq 0$ である限り $I$ で連続である
もし $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ かつ $\beta\neq 0$ ならば、 $f^{\alpha/\beta}$ が $I$ で適切に定義されている限り、それは $I$ で連続である

これらの性質は、形式的な連続性の定義から証明するのは難しく見えるかもしれませんが、実際には非常に容易です。なぜなら、すでに証明済みである極限の代数とほぼ同じであるため、ここで再度証明する必要がないからです。

連続関数の合成

$f$ が $I\subseteq Dom(f)$ で連続し、 $g$ が $f(I)$ で連続するならば、合成関数 $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ は $I$ で連続します。これはすでに直感的に理解できるように、関数の極限における合成則から直接導かれる結果です。

練習問題

次の関数の連続性を分析しなさい

a.	$y=\dfrac{1}{x-2} - 3x$	解答
b.	$y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}$	解答
c.	$y=\|x-1\| + \sin(x)$	解答
d.	$y=\dfrac{\cos(x)}{x}$	解答
e.	$y=csc(2x)$	解答
f.	$y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}$	解答
g.	$y=\sqrt{2x + 3}$	解答
h.	$y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}$	解答
i.	$y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}$	解答

次の極限を計算しなさい。その関数は近づく点で連続していますか？

a.	$\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))$	解答
b.	$\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)$	解答
c.	$\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)$	解答
d.	$\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)$	解答
e.	$\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)$	解答
f.	$\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}$	解答