सारांश:
इस कक्षा में हम एक फ़ंक्शन की सीमा और निरंतरता के बीच के संबंध पर चर्चा करेंगे, जिसे एक सहज और औपचारिक स्पष्टीकरण के साथ शुरू किया जाएगा। किसी बिंदु और किसी सेट पर निरंतरता का पता लगाया जाएगा, यह समझाने के लिए कि एक फ़ंक्शन के निरंतर होने के लिए किन शर्तों की आवश्यकता होती है। निरंतर फ़ंक्शनों के बीजगणितीय गुणों को भी प्रस्तुत किया जाएगा, जिनमें जोड़, गुणन, विभाजन और संयोजन शामिल हैं। अंत में, विभिन्न कार्यों की निरंतरता का विश्लेषण करने और सीमा की गणना करने के लिए व्यावहारिक उदाहरण हल किए जाएंगे, जिन्हें निरंतरता की अवधारणा से जोड़ा जाएगा।

अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत तक, छात्र निम्नलिखित करने में सक्षम होंगे:

1. विश्लेषण करना कि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन निरंतर है या नहीं, और परिभाषित की गई शर्तों को सत्यापित करना।
2. मूल्यांकन करना कि कोई फ़ंक्शन किसी निर्दिष्ट सेट में निरंतर है या नहीं, निरंतरता की औपचारिक परिभाषा का उपयोग करके।
3. प्रदर्शित करना कि एक फ़ंक्शन अपनी बीजगणितीय गुणों के आधार पर निरंतर है।
4. वर्गीकृत करना असंलग्नता के बिंदुओं को, उन शर्तों के अनुसार जो पूरी नहीं होतीं।

सामग्री का सूचकांक:
परिचय
किसी बिंदु पर निरंतरता
एक सेट पर निरंतरता
निरंतर कार्यों के गुण
अभ्यास

परिचय

सहज रूप में, एक फ़ंक्शन की निरंतरता को इस तरह समझा जाता है कि इसका ग्राफ “बिना पेंसिल उठाए” बनाया जा सकता है। यह विचार जो कि अपने आप में समझने में काफी आसान है, वह पर्याप्त नहीं है अगर गणितीय तर्क की सख्ती की आवश्यकता है। इसके लिए न्यूनतम औपचारिकता की आवश्यकता होती है। औपचारिक रूप से, फ़ंक्शनों की निरंतरता का संबंध सीमा की अवधारणा से होता है, और हम इसे विस्तार से अध्ययन करेंगे।

किसी बिंदु पर निरंतरता

कोई फ़ंक्शन f(x) किसी बिंदु पर x=x_0 निरंतर है, अगर और केवल अगर निम्नलिखित शर्तें पूरी हों:

• f(x) x_0 पर परिभाषित है
• सीमा \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) मौजूद है
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

इन सभी को निम्नलिखित गणितीय अभिव्यक्ति के माध्यम से संक्षेपित किया जा सकता है

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

यह सीमा की गणितीय परिभाषा है, जिसमें मूल्य “L” को “f(x_0)” से बदल दिया गया है

एक सेट पर निरंतरता

निरंतरता की परिभाषा किसी एक बिंदु से सभी बिंदुओं के लिए विस्तारित की जा सकती है जो किसी विशेष सेट के भीतर हैं। हम कहते हैं कि f(x) किसी सेट I\subseteq Dom(f) में निरंतर है अगर वह सेट के सभी बिंदुओं x_0\in I. पर निरंतर हो। इसे निम्नलिखित गणितीय अभिव्यक्ति द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है।

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

निरंतर कार्यों के गुण

निरंतर कार्यों का बीजगणित

यदि f और g I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g) पर निरंतर कार्य हैं, तो हम यह कह सकते हैं:

• f\pm g I पर निरंतर है
• f\cdot g I पर निरंतर है
• यदि \alpha\in\mathbb{R}, तो \alpha f I पर निरंतर है
• f/g I पर निरंतर है जब g\neq 0
• यदि \alpha,\beta\in\mathbb{R} और \beta\neq 0, तो f^{\alpha/\beta} I पर निरंतर है, जब तक कि f^{\alpha/\beta} I पर अच्छी तरह से परिभाषित हो।

ये सभी गुण जो निरंतरता की औपचारिक परिभाषा से प्रमाणित करना कठिन प्रतीत होते हैं, वास्तव में बहुत आसान हैं, क्योंकि वे लगभग सीमा की बीजगणित के समान ही हैं जिसे हम पहले ही प्रमाणित कर चुके हैं, इसलिए हमें इसे दोबारा करने की आवश्यकता नहीं है।

निरंतर कार्यों का संयोजन

यदि f I\subseteq Dom(f) पर निरंतर है और g f(I) पर निरंतर है, तो संयोजन (g\circ f)(x) = g(f(x)) I पर निरंतर है। जैसा कि पहले से अनुमानित था, यह कार्यों की सीमाओं के संयोजन के नियमों का सीधा परिणाम है।

अभ्यास

1. निम्नलिखित कार्यों की निरंतरता का विश्लेषण करें
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	समाधान
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	समाधान
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	समाधान
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	समाधान
   e.	y=csc(2x)	समाधान
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	समाधान
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	समाधान
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	समाधान
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	समाधान

2. निम्नलिखित सीमाओं की गणना करें। क्या ये कार्य उन बिंदुओं पर निरंतर हैं जिनके पास वे पहुँचते हैं?
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	समाधान
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	समाधान
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	समाधान
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	समाधान
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	समाधान
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	समाधान