Zusammenfassung:
In dieser Vorlesung wird der Zusammenhang zwischen Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion behandelt, beginnend mit einer intuitiven und formalen Erklärung des Begriffs. Es wird die Stetigkeit an einem Punkt und in einer Menge untersucht, wobei die notwendigen Bedingungen für die Stetigkeit einer Funktion detailliert dargestellt werden. Außerdem werden die algebraischen Eigenschaften stetiger Funktionen vorgestellt, einschließlich Summen, Produkte, Quotienten und Komposition von Funktionen. Schließlich werden praktische Beispiele gelöst, um die Stetigkeit verschiedener Funktionen zu analysieren und Grenzwerte zu berechnen, wobei diese mit dem Konzept der Stetigkeit verknüpft werden.

Lernziele:
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:

1. Zu analysieren, ob eine Funktion an einem Punkt stetig ist, indem die definierten Bedingungen überprüft werden.
2. Zu beurteilen, ob eine Funktion in einer bestimmten Menge stetig ist, unter Verwendung der formalen Definition von Stetigkeit.
3. Die Stetigkeit einer Funktion anhand ihrer algebraischen Eigenschaften nachzuweisen.
4. Die Unstetigkeitspunkte in verschiedene Typen einzuordnen, je nach den nicht erfüllten Bedingungen.

INHALTSVERZEICHNIS:
Einführung
Stetigkeit an einem Punkt
Stetigkeit in einer Menge
Eigenschaften stetiger Funktionen
Übungen

Einführung

Intuitiv versteht man unter Stetigkeit einer Funktion die Eigenschaft, ihren Graphen „ohne Absetzen des Stifts“ zeichnen zu können. Diese Vorstellung ist zwar an sich leicht verständlich, reicht jedoch nicht aus, wenn man die Strenge des mathematischen Denkens erreichen möchte. Es ist ein Mindestmaß an Formalität erforderlich. Formal betrachtet ist die Stetigkeit von Funktionen eng mit dem Konzept des Grenzwerts verknüpft, und genau dies werden wir im Detail untersuchen.

Stetigkeit an einem Punkt

Eine Funktion f(x) ist an einem Punkt stetig x=x_0 genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• f(x) ist in x_0 definiert
• Der Grenzwert \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) existiert
• \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

All dies lässt sich mathematisch durch den folgenden Ausdruck zusammenfassen:

\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Dies ist genau die mathematische Definition des Grenzwerts, bei der der Wert „L“ durch „f(x_0)“ ersetzt wurde.

Stetigkeit in einer Menge

Die Definition der Stetigkeit an einem Punkt kann auf die Stetigkeit für alle Punkte innerhalb einer bestimmten Menge erweitert werden. Wir sagen, dass f(x) in einer Menge I\subseteq Dom(f) stetig ist, wenn sie für alle Punkte x_0\in I stetig ist. Dies lässt sich mathematisch durch den folgenden Ausdruck zusammenfassen.

\left(\forall x_0 \in I\subseteq Dom(f) \right)\left(\forall \epsilon \gt 0 \right) \left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0\lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - f(x_0)|\lt \epsilon\right)

Eigenschaften stetiger Funktionen

Algebra stetiger Funktionen

Wenn f und g stetige Funktionen sind in I\subseteq Dom(f)\cap Dom(g), dann gilt:

• f\pm g ist stetig in I
• f\cdot g ist stetig in I
• Wenn \alpha\in\mathbb{R}, dann ist \alpha f stetig in I
• f/g ist stetig in I, sofern g\neq 0
• Wenn \alpha,\beta\in\mathbb{R} und \beta\neq 0, dann ist f^{\alpha/\beta} stetig in I, sofern f^{\alpha/\beta} in I wohldefiniert ist.

Alle diese Eigenschaften, die sich aus der formalen Definition der Stetigkeit schwierig beweisen lassen, sind in Wirklichkeit sehr einfach, da sie praktisch analog zur Algebra der Grenzwerte sind, die wir bereits bewiesen haben, sodass wir von deren Durchführung entbunden sind.

Komposition stetiger Funktionen

Wenn f stetig ist in I\subseteq Dom(f) und g stetig ist in f(I), dann ist die Komposition (g\circ f)(x) = g(f(x)) stetig in I. Dies ist, wie man bereits vermuten kann, eine direkte Folge der Kompositionsgesetze für Grenzwerte von Funktionen.

Übungen

1. Analysieren Sie die Stetigkeit der folgenden Funktionen
   

   a.	y=\dfrac{1}{x-2} - 3x	LÖSUNG
   b.	y=\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}	LÖSUNG
   c.	y=|x-1| + \sin(x)	LÖSUNG
   d.	y=\dfrac{\cos(x)}{x}	LÖSUNG
   e.	y=csc(2x)	LÖSUNG
   f.	y=\dfrac{x\tan(x)}{x^2 + 1}	LÖSUNG
   g.	y=\sqrt{2x + 3}	LÖSUNG
   h.	y=\dfrac{x+2}{\cos(x)}	LÖSUNG
   i.	y=\dfrac{\sqrt{x^4 + 1}}{1+\sin^2(x)}	LÖSUNG

2. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. Sind die Funktionen in den Punkten, denen sie sich annähern, stetig?
   

   a.	\displaystyle\lim_{x\to\pi} \sin(x -\sin(x))	LÖSUNG
   b.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\cos(\tan(x)) \right)	LÖSUNG
   c.	\displaystyle\lim_{x\to 1} \sec\left(x\sec^2(x) - \tan^2(x) -1 \right)	LÖSUNG
   d.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\cos\left(\sin\left(x^{1/3}\right)\right) \right)	LÖSUNG
   e.	\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{19 - 3\sec{2x}}} \right)	LÖSUNG
   f.	\displaystyle\lim_{x\to \pi/6} \sqrt{\csc^2(x) + 5\sqrt{3}\tan(x)}	LÖSUNG