Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Derivatae svccessivae et differentiale

Svmmarivm

Haec lectio derivatam derivat. Derivata fvnctionis est alia fvnctio, qvae ipsa rvrsvs derivari potest: sic obtinentvr derivata secvnda, tertia et, generatim, derivata ordinis nn, qvae pro potentiis, exponentiali, sinv et cosinv formvlam clavsam habet, per indvctionem demonstratam. Derivata ordinis nn prodvcti eandem legem servat ac potentia binomii: est regvla Leibnitiana. Dimidivm posterivs lectionis signis dy\mathrm{d}y et dx\mathrm{d}x notationis Leibnitianae seorsvm sensvm dat: differentiale dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x est pars linearis incrementi fvnctionis, sola qvae ab eo qvantitate differt neglegibili prae incremento variabilis. Eo valores approximantvr et aestimatvr qvomodo error mensvrae propagetvr, nondvm tamen errorem approximationis circvmscribere conando.

Proposita discendi

  1. Derivatas svccessivas cvm dominio svo definire, et per indvctionem derivatam ordinis nn potentiarvm, exponentialis, sinvs, cosinvs et polynomiorvm obtinere.
  2. Regvlam Leibnitianam pro derivata ordinis nn prodvcti demonstrare eamqve adhibere cvm vnvs factorvm polynomivm est.
  3. Differentiale definire et demonstrare id esse partem principalem incrementi, Δy\Delta y a dy\mathrm{d}y distingvendo.
  4. Valores approximare et errores relativos per differentiale aestimare, sciendo qvid approximatio affirmet et qvid non affirmet.

Derivatae svccessivae

Derivata fvnctionis est alia fvnctio, nec qvicqvam obstat qvominvs rvrsvs derivetvr. Derivata ipsivs x3x^3 est 3x23x^2, et ipsivs 3x23x^2 est 6x6x; ipsivs 6x6x est 66, et ipsivs 66 est 00. Si s(t)s(t) est positio mobilis in instanti tt, derivata eivs s′(t)s'(t) est velocitas, et derivata velocitatis, qvae metitvr qvam celeriter ipsa velocitas mvtetvr, est acceleratio; lectio de rationibvs mvtationis hanc interpretationem investigabit. Vt in lectione de derivata vt limite, accvrate statvere convenit vbi qvaeqve derivata definita sit.

DefinitioDerivatae svccessivae

Sit ff fvnctio in AA definita. Derivatae svccessivae ipsivs ff per recvrsionem definivntvr: derivata ordinis 00 est ipsa fvnctio, et derivata ordinis n+1n + 1 est fvnctio derivata eivs qvae est ordinis nn:

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

Ex definitione fvnctionis derivatae, dominivm derivatae ordinis n+1n + 1 est copia pvnctorvm dominii ipsivs f(n)f^{(n)} in qvibvs f(n)f^{(n)} derivabilis est. Dicitvr ff nn vicibvs derivabilis in pvncto aa esse si aa ad dominivm ipsivs f(n)f^{(n)} pertinet; in copia SS, si talis est in qvoqve pvncto ipsivs SS; et infinite derivabilis in SS, si talis est pro omni nn. Primae cvm virgvlis scribvntvr, f′′=f(2)f'' = f^{(2)} (derivata secvnda) et f′′′=f(3)f''' = f^{(3)}; ab ordine qvarto, cvm ordine inter parentheses, vt f(4)f^{(4)}, ne cvm potentia confvndatvr. Si y=f(x)y = f(x), in notatione Leibnitiana scribitvr d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} et dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}, et operatio derivandi nn vicibvs, dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}.

In notatione Leibnitiana, exponens nvmeratoris indicat qvoties operatio ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} adhibeatvr, et exponens denominatoris ad totvm symbolvm dx\mathrm{d}x pertinet, non ad variabilem xx; signvm integrvm d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} vt vnvm totvm legitvr. Si ff est nn vicibvs derivabilis in qvodam pvncto, qvaeqve derivata ordinis minoris qvam nn in eo derivabilis est et, per theorema lectionis de derivata vt limite secvndvm qvod fvnctio derivabilis continva est, in eo continva est. Derivata secvnda deesse potest qvamvis prima exstet: lectio de regvlis derivandi ostendit x∣x∣x \abs{x} in toto R\mathbb{R} derivabilem esse, cvm derivata 2∣x∣2\abs{x}, et valorem absolvtvm in 00 derivabilem non esse, per propositionem de continvitate sine derivata. Vnde x∣x∣x \abs{x} semel in R\mathbb{R} derivabilis est et bis tantvm in R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, vbi derivata eivs secvnda valet 22 a dextra ipsivs 00 et −2-2 a sinistra.

Ne hypotheses de dominio repetantvr, fvnctiones envntiatorvm generalivm in intervallo aperto II definitae habentvr, cvivs omnia pvncta svnt pvncta accvmvlationis ipsivs II. Nihil amittitvr: per secvndam assertionem lemmatis de indole locali derivatae, ex lectione de regvlis derivandi, in pvncto intervalli aperti in dominio contenti derivata fvnctionis est derivata restrictionis eivs ad intervallvm, et, per indvctionem, idem in derivatis svccessivis accidit. Sic 1x\frac{1}{x} in (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} et in (0,∞)\ioo{0}{\infty} investigatvr.

LemmaLinearitas derivatarvm svccessivarvm

Sint ff et gg fvnctiones in intervallo aperto II definitae et nn vicibvs derivabiles in II, et sit α\alpha nvmervs realis. Tvm h=αf+gh = \alpha f + g est nn vicibvs derivabilis in II, et h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} in II. Theorema de derivata combinationis linearis, ex lectione de regvlis derivandi, nn vicibvs adhibetvr.

Demonstratio

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    Pro n=1n = 1 est theorema de derivata combinationis linearis, in qvoqve pvncto ipsivs II.

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    Si aeqvalitas pro nn valet, et ff et gg svnt n+1n + 1 vicibvs derivabiles in II, fvnctio h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} est combinatio linearis dvarvm fvnctionvm in II derivabilivm; per idem theorema, in II derivabilis est. Per principivm indvctionis, aeqvalitas pro omni nn valet.