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Topos Uranos
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해석 삼각법: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 해석 삼각법 단원을 마무리한다. 단원의 여섯 수업에서 증명한 것을 하나의 연역적 사슬로 모은다. 곧 기본 항등식, 차의 코사인 공식과 그로부터 유도되는 모든 공식, 합을 곱으로 바꾸는 변환과 합성한 꼴, 방정식과 부등식의 풀이, 두 직선이 이루는 각, 그리고 이차곡선을 분류하는 좌표축의 회전이다. 이 사슬이 앞 단원과 대수학과 기하학 I 강좌에, 특히 단위원, 극좌표, 다항식, 이차곡선에 어떻게 기대는지, 그리고 같은 공식이 복소수의 곱셈 규칙으로 다시 나타나는 이어지는 단원을 어떻게 준비하는지 설명한다. 끝으로 도입의 입문 평가와 짝을 이루는 마무리 평가와, 단원의 연습 문제보다 어렵고 여러 수업을 결합하도록 요구하는 열 개의 도전 과제를 둔다.

학습 목표

  1. 차의 코사인 공식에서 판별식에 의한 이차곡선의 분류까지 단원의 연역적 사슬을 다시 세우고, 곳곳에서 의존하는 결과를 밝힌다.
  2. 단원의 결과를 단위원, 극좌표, 다항식, 이차곡선에 관한 앞 단원과 강좌 I의 결과와 연결한다.
  3. 극형식 복소수의 곱셈에서 덧셈정리가 하는 역할을 내다본다.
  4. 항등식, 방정식, 두 직선이 이루는 각, 회전을 결합한 문제를, 그때마다 문제를 다루기 쉽게 만드는 변환을 골라 푼다.

단원에서 이룬 것

단원은 언어를 정하는 데서 시작했다. 기본 삼각항등식 수업에서는 항등식을 양변의 공통 정의역 전체에서 성립하는 등식으로 정의하고, 역수 관계, 몫의 관계, 제곱 관계, 홀짝 관계, 여각 관계의 항등식을 모았으며, 증명 방법을 정했다. 곧 한 변을 다른 변으로 변형하거나 두 변을 같은 식으로 변형하는 것이며, 증명하려는 것에서 출발해서는 안 된다. 틀린 항등식을 반박하는 데는 반례 하나면 충분하다. 이 언어로 각 함수를 다른 함수로 나타내고, 치환으로 근호가 있는 식을 변형하고, 매개변수 표시 (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right), (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) 속에서 타원과 쌍곡선을 알아보았다.

결정적인 수업은 덧셈정리 수업이었다. 단위원의 현의 길이를 직교좌표와 극좌표의 두 가지 방법으로 계산하여, 모든 실수 α\alpha, β\beta에 대하여 아래 등식이 성립함을 증명했다.

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

나머지는 모두 여기서 유도되었다. 홀짝성에서 합의 코사인이, 여각 관계에서 합과 차의 사인이, 몫의 관계에서 합의 탄젠트가 얻어졌다. 그렇다면 α=β\alpha = \beta로 놓으면 배각 공식이, 제곱에 대해 풀면 차수를 낮추는 공식과 반각 공식이, 한 번 더 더하면 삼배각 공식이 얻어진다. 치환 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}는 사인과 코사인을 tt의 유리식으로 바꾸었고, 거기서 원의 유리 매개변수 표시와 모든 피타고라스 수의 공식이 나왔다.

합을 곱으로 바꾸는 변환 수업은 반대 길을 걸었다. 덧셈정리를 더하고 빼면 곱은 합으로, 합은 곱으로 바뀐다. 주된 결과는 모든 결합 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x의 식이 하나의 파동 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)이며, 여기서 R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}이라는 것이다. 그로부터 그 치역 [−R,R]\icc{-R}{R}, 진동수가 같은 진동의 중첩, 맥놀이, 그리고 합을 이웃한 항끼리 소거되는 꼴로 만드는 인수를 이용한, 각이 등차수열을 이루는 사인의 합과 코사인의 합이 따른다.

이 도구들로 삼각방정식과 삼각함수 부등식 수업은 문제의 한 무리 전체를 풀 수 있었다. sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c, tan⁡x=c\tan x = c의 일반해는 역함수가 주는 해를 주기성으로 확장한 것이다. 다른 방정식은 항등식, 인수분해, 두 사인 또는 두 코사인의 상등, 합성한 꼴로 이것들에 귀착된다. 이때 늘 두 가지를 조심한다. 나누면 해를 잃을 수 있고, 제곱하면 해가 늘어날 수 있다. 부등식은 단위원이나 부호표를 써서 한 바퀴 안에서 풀고 주기적으로 확장했다.

마지막 두 수업은 이 계산을 해석기하학으로 가져갔다. 두 직선이 이루는 각 수업에서는 차의 탄젠트가 두 직선의 기울기로부터 그 사잇각을 주었고, 내적이 연직인 직선에도 쓸 수 있는 두 번째 공식을 주었다. 각의 이등분선과 내심을 구하고, 접근할 수 없는 높이, 단진동, 발사체의 사거리, 빛의 반사를 모형화했다. 이 수업은 단원에서 유일하게 증명 없이 무언가를 받아들이는 수업이며, 그 사실을 밝힌다. 유클리드 기하학에서는 강좌 I이 이미 받아들였던 세 가지 사실(피타고라스 정리, 평행선에서 동위각의 상등, 삼각형의 내각의 합이 π\pi의 값이라는 것)을, 물리학에서는 단진동의 방정식과 발사체의 방정식을 받아들인다. 끝으로 좌표축의 회전 수업에서는 차의 공식이 축을 회전할 때의 좌표 변환을 기술했다. cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}의 조건을 만족하는 각은 xyxy항을 소거하고, 합 A+CA + C의 값과 판별식 B2−4ACB^2 - 4AC의 값은 회전으로 변하지 않는다. 따라서 판별식의 부호가 모든 이차방정식을 분류한다.

사슬 전체는 이렇게 요약할 수 있다. 두 가지로 계산한 현 하나가 차의 코사인을 주고, 거기서 덧셈정리가 모두 나온다. 그것들에서 변환과 합성한 꼴이 나오고, 그 모두로 방정식이 풀린다. 그리고 풀린 방정식이 두 직선이 이루는 각을 재고 이차곡선의 혼합항을 소거한다. 아래 그림은 이 사슬을 위의 문단 순서를 따르는 다섯 구간으로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞의 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이며, 각 받침은 자신에게 기대는 고리들과 실선으로, 자신이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 증명 없이 받아들인 것이나 앞 단원 또는 강좌 I에서 온 것은 예외로, 둥근 테로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

  • A단위원. 호의 길이를 따라 나아간다는 공리를 받아들인다. 각 실수 ss에 대하여 단위원 위의 점 P(s)P(s) 가운데 (1,0)(1, 0)에서 길이 ∣s∣\abs{s}만큼 나아가 도달하는 점이 오직 하나 존재하고, 나아감은 이어 붙일 수 있으며, P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s)의 관계가 성립하고, P(s)P(s)의 가로 좌표는 [0,π]\icc{0}{\pi}에서 순감소하고 [π,2π]\icc{\pi}{2\pi}에서 증가하며, 원 위의 모든 점은 어떤 P(s)P(s)의 점이다. 이 공리로부터 삼각함수와 극좌표 단원에서 다음이 증명되었다. 원 위의 모든 점은 P(θ)P(\theta)의 점이며, 여기서 θ\theta의 값은 [0,2π)\ico{0}{2\pi} 안에서 오직 하나로 정해진다는 것, 코사인과 사인은 P(θ)P(\theta)의 좌표로서 주기함수이고 홀짝 관계와 여각 관계를 만족한다는 것, 그리고 주구간에서 순단조라는 것이다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • B역함수. 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트는 각자의 주구간에서, 주어진 사인, 코사인, 탄젠트를 갖는 유일한 각을 준다. 삼각함수와 극좌표 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • C극좌표. 극좌표가 (r,φ)(r, \varphi)인 점의 직교좌표는 x=rcos⁡φx = r \cos \varphi, y=rsin⁡φy = r \sin \varphi이며, (r1,θ1)(r_1, \theta_1)과 (r2,θ2)(r_2, \theta_2) 사이의 거리는 d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)을 만족한다. 삼각함수와 극좌표 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • D평면의 해석기하학. 거리 공식, 점과 직선 사이의 거리, 반평면 정리, 코시-슈바르츠 부등식을 수반하는 내적과 두 벡터가 이루는 각, 그리고 축이 좌표축에 평행한 이차곡선의 분류. 강좌 I의 평면의 해석기하학 단원과 삼각형의 풀이 수업에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • E강좌 I의 대수와 산술. 다항식의 인수분해, 인수정리와 조립제법, 부호표, 이웃한 항끼리 소거되는 합, 유클리드의 보조정리. 강좌 I의 자연수 단원과 대수함수와 다항식 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • F제곱 관계. 모든 θ\theta에 대하여 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1이 성립하고, 각자의 정의역에서 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta이 성립한다. 확립되는 곳: 2. 기본 항등식.
  • G덧셈정리. 모든 실수 α\alpha, β\beta에 대하여 cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta이 성립하고, 차의 공식은 β\beta를 −β-\beta로 바꾸어 얻는다. 확립되는 곳: 6. 덧셈정리.
  • H유클리드 기하학. 강좌 I의 평면의 해석기하학 단원과 마찬가지로, 유클리드 기하학에서 피타고라스 정리와 그 역, 한 직선이 두 평행선과 만나서 생기는 동위각의 상등, 삼각형의 내각의 합이 π\pi의 값이라는 것을 받아들인다. 이로부터 맞꼭지각의 상등과 평행선의 엇각의 상등이 유도된다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.

  1. 제1구간 언어: 항등식과 그 증명

    • 항등식을 양변의 공통 정의역 전체에서 성립하는 등식으로 정의하고, 방정식과 구별한다.
    • 역수 관계, 몫의 관계, 제곱 관계, 홀짝 관계, 여각 관계의 항등식을 모은다.
    • 증명하려는 것에서 출발하지 않고 항등식을 증명하며, 틀린 것은 반례로 반박한다.
    • 치환으로 근호가 있는 식을 변형하고, 삼각함수에 의한 매개변수 표시 속에서 타원과 쌍곡선을 알아본다.

    1. 항등식과 그 증명. 항등식은 양변의 공통 정의역 전체에서 성립하는 등식이다. 한 변을 다른 변으로 변형하거나 두 변을 같은 식으로 변형하여 증명하며, 항등식 자체에서 출발해서는 안 된다. 또 반례 하나로 반박된다.

      증명된 수업: 기본 삼각항등식.

    2. 기본 항등식. 각각의 공통 정의역에서 역수 관계, 몫의 관계, 제곱 관계가 성립한다. 사인, 탄젠트, 코시컨트, 코탄젠트는 홀함수이고 코사인과 시컨트는 짝함수이며, π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta의 각 함수는 θ\theta의 여함수와 같다.

      사용: 1. 항등식과 그 증명. 받침: A (단위원). 증명된 수업: 기본 삼각항등식.

    3. 삼각치환. θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x일 때 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta이다. θ=arctan⁡x\theta = \arctan x일 때 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta이다. x≥1x \geq 1이고 θ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x}일 때 x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta이다.

      사용: 2. 기본 항등식. 받침: F (제곱 관계), B (역함수). 증명된 수업: 기본 삼각항등식.

    4. 매개변수로 나타낸 타원과 쌍곡선. tt의 값이 [0,2π)\ico{0}{2\pi}를 움직일 때, 점 (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t)는 타원 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1을 정확히 한 바퀴 돈다. 또 점 (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t)는 쌍곡선 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1의 오른쪽 가지를 정확히 한 번 지난다. 단, 이것은 tt의 값이 (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}를 움직일 때이며, (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}를 움직일 때는 왼쪽 가지를 지난다.

      사용: 2. 기본 항등식. 받침: A (단위원), F (제곱 관계). 증명된 수업: 기본 삼각항등식.

  2. 제2구간 차의 코사인 공식과 그 귀결

    • 단위원의 현을 두 가지로 계산하여 차의 코사인 공식을 증명한다.
    • 거기서 합과 차의 코사인과 사인, 그리고 합의 탄젠트를 유도한다.
    • 배각 공식, 차수를 낮추는 공식, 반각 공식, 삼배각 공식을 구한다.
    • 사인과 코사인을 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}의 유리식으로 나타내고, 원을 유리적으로 매개변수 표시하며, 모든 피타고라스 수를 만들어 낸다.

    1. 차의 코사인. 모든 실수 α\alpha, β\beta에 대하여 cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta이 성립한다. P(α)P(\alpha)와 P(β)P(\beta)를 잇는 현은 직교좌표로 계산하든 극좌표로 계산하든 길이가 같기 때문이다.

      받침: C (극좌표), D (평면의 해석기하학), F (제곱 관계). 증명된 수업: 덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식.

    2. 덧셈정리. 홀짝 관계와 여각 관계로부터 cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta 및 차의 사인이 얻어진다. 또 α\alpha, β\beta의 탄젠트가 정의되고 tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1일 때 tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}이다.

      사용: 2. 기본 항등식, 5. 차의 코사인. 증명된 수업: 덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식.

    3. 배각. sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta, cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta이 성립하고, 정의되는 곳에서는 tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}이 성립한다.

      받침: G (덧셈정리), F (제곱 관계). 증명된 수업: 덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식.

    4. 차수를 낮추는 공식과 반각. cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}이 성립한다. 이로부터 θ2\frac{\theta}{2}의 사인과 코사인은 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2}의 제곱근과 1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2}의 제곱근에 사분면에 따른 부호를 붙인 것이며, 또 tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}이다(단, cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1일 때).

      사용: 7. 배각. 받침: F (제곱 관계). 증명된 수업: 덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식.

    5. 삼배각. 모든 실수 θ\theta에 대하여 cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta, sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta이 성립한다.

      사용: 7. 배각. 받침: F (제곱 관계), G (덧셈정리). 증명된 수업: 덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식.

    6. 반각의 탄젠트. θ\theta의 값이 π\pi의 홀수 배가 아니고 t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}일 때, sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}이고 cos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}이다.

      사용: 7. 배각. 받침: F (제곱 관계). 증명된 수업: 덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식.

    7. 유리 매개변수 표시. 기울기가 tt이고 (−1,0)(-1, 0)을 지나는 직선은 단위원과 (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right)에서 다시 만난다. 원 위의 다른 모든 점은 오직 하나의 tt의 값으로부터 이렇게 얻어지며, 그 점이 유리점인 것은 tt의 값이 유리수일 때, 그리고 그때뿐이다.

      사용: 10. 반각의 탄젠트. 받침: E (강좌 I의 대수와 산술). 증명된 수업: 덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식.

    8. 피타고라스 수. bb의 값이 짝수인 원시 피타고라스 수는 정확히 a=m2−n2a = m^2 - n^2, b=2mnb = 2mn, c=m2+n2c = m^2 + n^2이다. 여기서 m>nm > n, gcd⁡(m,n)=1\operatorname{gcd}(m, n) = 1이고 m−nm - n의 값은 홀수이다.

      사용: 11. 유리 매개변수 표시. 받침: E (강좌 I의 대수와 산술). 증명된 수업: 덧셈정리와 배각 공식, 반각 공식.

  3. 제3구간 변환과 합성한 꼴

    • 덧셈정리를 더하고 빼서 곱을 합으로, 합을 곱으로 바꾼다.
    • 모든 결합 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x의 식을 하나의 파동 Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)의 식으로 쓰고, 그 치역을 구한다.
    • 진동수가 같은 진동을 합성하고 맥놀이를 설명한다.
    • 이웃한 항끼리 소거되는 합을 이용하여, 각이 등차수열을 이루는 사인과 코사인의 합을 구한다.

    1. 곱을 합으로 바꾸는 공식. sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)이 성립하고, 마찬가지로 cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta, cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta, sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta의 식은 α+β\alpha + \beta의 사인 또는 코사인과 α−β\alpha - \beta의 사인 또는 코사인의 반합 또는 반차이다.

      받침: G (덧셈정리). 증명된 수업: 합을 곱으로 바꾸는 공식과 삼각함수의 합성.

    2. 합을 곱으로 바꾸는 공식. 모든 실수 pp, qq에 대하여 sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}이 성립하고, sin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q, cos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q, cos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q에 대해서도 비슷한 공식이 있다. 여기서 sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx)의 맥놀이가 따른다.

      사용: 13. 곱을 합으로 바꾸는 공식. 증명된 수업: 합을 곱으로 바꾸는 공식과 삼각함수의 합성.

    3. 합성한 꼴. aa, bb의 값이 모두 영은 아니고 R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}일 때, φ\varphi의 값([0,2π)\ico{0}{2\pi}의 원소) 가운데 asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi)의 식이 모든 xx의 값에 대하여 성립하는 것이 오직 하나 존재한다. 이 꼴은 유일하며, 함수의 치역은 [−R,R]\icc{-R}{R}이다.

      받침: A (단위원), D (평면의 해석기하학), F (제곱 관계), G (덧셈정리). 증명된 수업: 합을 곱으로 바꾸는 공식과 삼각함수의 합성.

    4. 진동의 중첩. 서로 상쇄되지 않는 한, 진동 A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1), A2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2)의 합은 진동수가 같은 진동이며, 그 진폭은 A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2)을 만족한다.

      사용: 5. 차의 코사인, 15. 합성한 꼴. 받침: F (제곱 관계), G (덧셈정리). 증명된 수업: 합을 곱으로 바꾸는 공식과 삼각함수의 합성.

    5. 각이 등차수열을 이루는 합. xx의 값이 2π2\pi의 정수 배가 아니면 ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}이 성립하고, 코사인의 합은 cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2}의 식을 sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2}의 식 대신 써서 얻는다.

      사용: 13. 곱을 합으로 바꾸는 공식, 14. 합을 곱으로 바꾸는 공식. 받침: E (강좌 I의 대수와 산술). 증명된 수업: 합을 곱으로 바꾸는 공식과 삼각함수의 합성.

  4. 제4구간 방정식과 부등식

    • 역함수와 주기성으로부터 sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c, tan⁡x=c\tan x = c의 일반해를 구한다.
    • 다른 방정식을 항등식, 인수분해, 두 사인 또는 두 코사인의 상등, 합성한 꼴로 기본 방정식에 귀착시킨다.
    • 나눌 때 해를 잃지 않고, 제곱할 때 해를 늘리지 않는다.
    • 단위원이나 부호표를 써서 한 바퀴 안에서 부등식을 풀고 주기적으로 확장한다.

    1. 일반해. ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1일 때 sin⁡x=c\sin x = c의 해는 arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi, π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi이고, cos⁡x=c\cos x = c의 해는 arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi, −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi이다. 모든 실수 cc에 대하여 tan⁡x=c\tan x = c의 해는 arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi이다(kk의 값은 정수).

      사용: 2. 기본 항등식. 받침: A (단위원), B (역함수). 증명된 수업: 삼각방정식과 삼각함수 부등식.

    2. 사인의 상등과 코사인의 상등. sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B의 등식은 A=B+2kπA = B + 2k\pi 또는 A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi일 때, 그리고 그때뿐이며, cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B의 등식은 A=B+2kπA = B + 2k\pi 또는 A=−B+2kπA = -B + 2k\pi일 때, 그리고 그때뿐이다(kk의 값은 어떤 정수). 정의된 두 탄젠트가 같은 것은 A=B+kπA = B + k\pi일 때, 그리고 그때뿐이다.

      사용: 14. 합을 곱으로 바꾸는 공식. 받침: A (단위원), G (덧셈정리). 증명된 수업: 삼각방정식과 삼각함수 부등식.

    3. 다항방정식과 동차방정식. 방정식 P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0은 방정식 sin⁡x=r\sin x = r(rr의 값은 PP의 실근)와 동치이다. sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x에 관한 동차방정식은 코사인의 영점을 따로 조사한 뒤 tan⁡x\tan x에 관한 다항방정식에 귀착한다. 제곱하여 얻은 해는 모두 원래 방정식에 대입하여 확인해야 한다.

      사용: 18. 일반해. 받침: E (강좌 I의 대수와 산술). 증명된 수업: 삼각방정식과 삼각함수 부등식.

    4. 사인과 코사인에 관한 일차방정식. 방정식 asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c이 해를 갖는 것은 c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2일 때, 그리고 그때뿐이며, 그때 해는 −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi, π−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi이다. 여기서 RR, φ\varphi의 값은 합성한 꼴의 것이다.

      사용: 15. 합성한 꼴, 18. 일반해. 증명된 수업: 삼각방정식과 삼각함수 부등식.

    5. 부등식. −1<c<1-1 < c < 1이고 β=arccos⁡c\beta = \arccos c일 때, cos⁡x>c\cos x > c의 부등식은 −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi일 때(kk의 값은 어떤 정수), 그리고 그때뿐이며, 사인에 대해서도 마찬가지이다. 삼각함수 인수의 곱과 몫은 한 바퀴 안에서 부호표로 푼다.

      사용: 18. 일반해. 받침: A (단위원), B (역함수), E (강좌 I의 대수와 산술). 증명된 수업: 삼각방정식과 삼각함수 부등식.

  5. 제5구간 해석기하학: 직선과 이차곡선

    • 차의 탄젠트와 내적으로 두 직선이 이루는 각을 잰다.
    • 두 직선의 각의 이등분선과 삼각형의 내심을 구한다.
    • 접근할 수 없는 높이, 단진동, 발사체의 사거리, 빛의 반사를 모형화한다.
    • 회전 공식을 유도하고, xyxy항을 소거하며, 판별식의 부호로 모든 이차방정식을 분류한다.

    1. 두 직선이 이루는 각. 연직이 아닌 직선의 기울기는 그 경사각의 탄젠트이다. 기울기가 m1m_1, m2m_2인 두 직선이 수직인 것은 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0일 때, 그리고 그때뿐이며, 그렇지 않으면 두 직선이 이루는 각 θ\theta의 값은 tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}을 만족한다. 이는 방향벡터의 내적에 의한 공식과 일치한다.

      사용: 5. 차의 코사인, 6. 덧셈정리. 받침: B (역함수), D (평면의 해석기하학), F (제곱 관계), H (유클리드 기하학). 증명된 수업: 두 직선이 이루는 각과 삼각법의 응용.

    2. 각의 이등분선과 내심. 만나는 두 직선에서 같은 거리에 있는 점들은 서로 수직인 두 직선, 곧 각의 이등분선을 이루며, 각각은 서로 다른 맞꼭지각 한 쌍을 이등분한다. 또 삼각형의 세 내각의 이등분선은 각각 대변과 만나며, 삼각형 내부의 한 점, 곧 내심에서 만난다. 내심은 내접원의 중심이다.

      사용: 8. 차수를 낮추는 공식과 반각. 받침: D (평면의 해석기하학), H (유클리드 기하학). 증명된 수업: 두 직선이 이루는 각과 삼각법의 응용.

    3. 발사체의 사거리. 수평 방향의 등속 운동과 등가속도 낙하를 결합한 운동 방정식을 물리학에서 받아들이면, 속력 vv, 올려본각 θ\theta로 던진 발사체의 사거리는 v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}이다. θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}일 때 최대가 되며, 그보다 작은 사거리는 모두 서로 여각인 정확히 두 각으로 얻어진다.

      사용: 18. 일반해, 7. 배각. 증명된 수업: 두 직선이 이루는 각과 삼각법의 응용.

    4. 회전 공식. 축을 각 θ\theta만큼 회전하면 새 좌표는 X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta이며, 두 점 사이의 거리는 변하지 않는다.

      받침: A (단위원), C (극좌표), F (제곱 관계), G (덧셈정리). 증명된 수업: 좌표축의 회전과 일반 이차방정식.

    5. 회전 후의 계수. 축을 회전하면 방정식 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0은 상수항을 보존하고, XYXY의 새 계수는 B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta이다.

      사용: 26. 회전 공식, 7. 배각. 증명된 수업: 좌표축의 회전과 일반 이차방정식.

    6. xy항의 소거. B≠0B \neq 0일 때, 각 θ\theta((0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}}의 원소) 가운데 그 회전이 B1B_1의 값을 영으로 만드는 것이 오직 하나 존재한다. 그것은 cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}을 만족하는 각이다.

      사용: 27. 회전 후의 계수. 받침: B (역함수). 증명된 수업: 좌표축의 회전과 일반 이차방정식.

    7. 회전의 불변량. 어떤 회전각에 대해서도 A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C, B12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC이 성립한다.

      사용: 27. 회전 후의 계수, 7. 배각. 받침: F (제곱 관계). 증명된 수업: 좌표축의 회전과 일반 이차방정식.

    8. 판별식에 의한 분류. AA, BB, CC의 값이 모두 영은 아니고 Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC일 때, 방정식은 Δ<0\Delta < 0일 때 타원, 한 점 또는 공집합을, Δ=0\Delta = 0일 때 포물선, 평행한 두 직선, 한 직선 또는 공집합을, Δ>0\Delta > 0일 때 쌍곡선 또는 만나는 두 직선을 나타낸다.

      사용: 26. 회전 공식, 28. xy항의 소거, 29. 회전의 불변량. 받침: D (평면의 해석기하학). 증명된 수업: 좌표축의 회전과 일반 이차방정식.

극형식의 복소수를 향하여. cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha에 cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta를 곱하면 α+β\alpha + \beta의 코사인과 사인이 나타난다. 덧셈정리는 복소수의 곱셈 규칙이며, 이어지는 단원은 이것들을 하나의 공식, 드무아브르 공식으로 묶는다.