타원과 원의 방정식

요약

이 수업은 타원을 두 고정된 점(초점)까지의 거리의 합이 일정한 평면 위의 점들의 집합으로 정의하고, 이 정의로부터 타원의 축약 방정식을 이끌어 내며, 그 과정에서 점이 더해지거나 없어지지 않음을 확인한다. 긴반지름과 짧은반지름, 초점거리, 그리고 그 사이의 피타고라스 관계를 밝히고, 방정식을 평행이동하여 임의의 점을 중심으로 하고 장축이 수평 또는 연직인 타원을 얻으며, 두 초점이 일치하는 경우로서 원을 얻는다. 마지막으로 전개한 방정식을 다루어, 완전제곱식 만들기로 그것이 타원, 원, 단 하나의 점 가운데 무엇을 나타내는지 아니면 어떤 점도 나타내지 않는지를 판정한다.

학습 목표

초점을 이용하여 타원의 정의를 진술하고, 거리의 합이 만족해야 하는 조건을 정당화하며, 그로부터 축약 방정식을 이끌어 낸다.
축이 좌표축에 평행한 타원의 중심, 긴반지름과 짧은반지름, 꼭짓점, 초점을 알아낸다.
완전제곱식 만들기로 전개한 방정식에서 타원과 원을 식별하고, 방정식이 한 점을 나타내거나 어떤 점도 나타내지 않는 경우를 알아본다.
타원으로 이어지는 교점, 접선, 자취 문제를 푼다.

타원의 정의

포물선의 방정식에 관한 수업에서와 같이, 출발점은 거리로 표현된 기하학적 성질이며, 거리는 직선의 방정식에 관한 수업에서 본 공식으로 계산한다.

$F_1$ 과 $F_2$ 를 평면 위의 두 점, $a$ 를 두 점 사이의 거리의 절반보다 큰 수라 하자. 초점이 $F_1$ 과 $F_2$ 인 타원은 평면 위의 점 $P$ 가운데 두 초점까지의 거리의 합이 $2a$ 와 같은 것들의 집합이다.

$a$ 에 부과한 조건은 사소한 것이 아니다. 삼각부등식(등호가 성립하는 경우와 함께 평면벡터에 관한 수업에서 증명하였다)에 의해, 임의의 점 $P$ 에서 두 초점까지의 거리의 합은 두 초점 사이의 거리보다 크거나 같고, 등호는 두 초점을 잇는 선분 위의 점에서만 성립한다. 따라서 $2a$ 가 두 초점 사이의 거리와 같다면 그 집합은 이 선분이 되고, 더 작다면 어떤 점도 포함하지 않는다. $2a$ 가 두 초점 사이의 거리보다 클 때에만 곡선이 얻어진다.

두 초점을 잇는 선분의 중점이 타원의 중심이고, 두 초점을 지나는 직선이 타원의 초점축이다. $2c$ 가 두 초점 사이의 거리일 때 수 $c$ 를 초점거리라 하며, 위의 조건은 $a > c \geq 0$ 으로 쓸 수 있다.