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Topos Uranos
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쌍곡선함수

요약

이 수업은 쌍곡코사인, 쌍곡사인, 쌍곡탄젠트를 다룬다. 이 세 함수는 자연지수함수 exe^x과 그 역수 e−xe^{-x}을 결합하여 얻는다. 이 수업은 이 함수들의 홀짝성, 부호, 단조성, 치역을 밝히고, 항등식 cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1를 증명한다. 이 항등식에 따르면 점 (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right)는 쌍곡선 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1의 오른쪽 가지 위를 움직이며 그 각 점을 정확히 한 번씩 지나는데, 함수들의 이름은 여기에서 비롯된다. 이어서 덧셈정리와 2배각 공식을 유도하고, 로그로 표현되는 역함수를 구한다. 끝으로 매달린 체인의 모양인 현수선과 쌍곡 부채꼴의 넓이를 설명하는데, 후자는 원함수와의 유비를 예고한다.

학습 목표

  1. 쌍곡코사인, 쌍곡사인, 쌍곡탄젠트를 자연지수함수로 정의하고, 그 홀짝성, 부호, 단조성, 위아래의 한계를 증명한다.
  2. 기본 항등식을 증명하고 이를 이용하여 쌍곡선의 가지를 매개변수로 나타내며, 가지 위의 각 점에 유일한 매개변수가 대응함을 인식한다.
  3. 덧셈정리와 2배각 공식을 유도하고, 이를 항등식과 부등식의 증명에 적용한다.
  4. eye^y에 대한 이차방정식을 풀어 역쌍곡함수를 그 정의역과 함께 구하고, 이를 이용하여 쌍곡함수 방정식을 푼다.

정의와 기본 성질

수 e와 자연지수함수에 관한 수업에서 함수 exe^x을 정의하였는데, 이 함수는 실수 전체에서 양수이고 순증가한다. 그 역수 e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x}도 양수이지만 순감소하며, 그 그래프는 exe^x의 그래프를 yy축에 대하여 대칭이동한 것이고, 이는 함수의 연산에 관한 수업에 따른 것이다. 이 두 함수의 합의 절반과 차의 절반, 그리고 그 몫은 기하학, 물리학, 해석학에 매우 자주 나타나므로 고유한 이름을 갖는다.

모든 실수 xx에 대하여 xx의 쌍곡코사인, 쌍곡사인, 쌍곡탄젠트를 각각 exe^x과 e−xe^{-x}의 합의 절반, 그 차의 절반, 그리고 뒤의 것을 앞의 것으로 나눈 몫으로 정의한다.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

세 함수는 R\mathbb{R} 전체에서 정의된다. 탄젠트의 분모는 두 양수의 합이므로 결코 영이 되지 않는다. x=0x = 0에서는 e0=1e^0 = 1이므로 cosh⁡0=1\cosh 0 = 1, sinh⁡0=0\sinh 0 = 0, tanh⁡0=0\tanh 0 = 0이다. ‘쌍곡’이라는 형용사는 셋째 절에서 정당화되는데, 거기에서 이 함수들이 쌍곡선을 그린다는 것을 보게 된다.

보조정리홀짝성과 지수함수의 분해

쌍곡코사인은 우함수이고, 쌍곡사인과 쌍곡탄젠트는 기함수이다. 또한 모든 실수 xx에 대하여 ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x와 e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x이 성립한다.

xx를 −x-x로 바꾸면 함수 exe^x과 e−xe^{-x}은 역할을 맞바꾼다. 그림은 쌍곡코사인과 쌍곡사인의 그래프를, 각 그래프 위에 가로 좌표가 서로 반대수인 두 점을 잡아 보여 준다.

증명

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    xx를 −x-x로 바꾸어도 합의 절반은 변하지 않는다. 두 항이 서로 자리를 바꿀 뿐이기 때문이다. 쌍곡코사인은 우함수이고, 그 그래프는 yy축에 대하여 대칭이다.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    반면 차의 절반은 부호가 바뀐다. 쌍곡사인은 기함수이고, 그 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    탄젠트는 기함수를 우함수로 나눈 몫이므로 기함수이다.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    쌍곡코사인과 쌍곡사인의 정의를 더하고 빼면 두 지수함수가 되살아난다. cosh⁡x\cosh x와 sinh⁡x\sinh x는 각각 지수함수의 짝수 부분과 홀수 부분이다.

예시쌍곡코사인과 쌍곡사인의 그래프

cosh⁡\cosh와 sinh⁡\sinh의 그래프는 가로 좌표마다 ex2\frac{e^x}{2}와 e−x2\frac{e^{-x}}{2}의 세로 좌표를 더하고 빼서 그린다.

증명

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    ex2\frac{e^x}{2}의 그래프는 exe^x의 그래프를 세로 방향으로 절반으로 축소하여 얻는다. 이 그래프는 yy축과 12\frac{1}{2}에서 만나고, 오른쪽으로 한없이 증가하며, 왼쪽으로 xx축에 가까워진다.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    e−x2\frac{e^{-x}}{2}의 그래프는 방금 그린 그래프를 yy축에 대하여 대칭이동한 것이다.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    각 가로 좌표에서 cosh⁡x\cosh x는 두 세로 좌표의 합이다. 00에서는 둘 다 12\frac{1}{2}와 같다. 따라서 그래프는 (0,1)(0, 1)을 지나고, yy축에 대하여 대칭이다. 쌍곡코사인은 우함수이기 때문이다.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    쌍곡코사인은 ex2\frac{e^x}{2}보다 정확히 e−x2\frac{e^{-x}}{2}만큼 크다. 이것은 양의 양이며, xx가 커질 때 얼마든지 작아진다. 오른쪽으로 가면 cosh⁡\cosh의 그래프는 ex2\frac{e^x}{2}의 그래프에 위에서 가까워지고, 왼쪽으로 가면 대칭에 의하여 e−x2\frac{e^{-x}}{2}의 그래프에 가까워진다.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    쌍곡사인은 두 세로 좌표의 차이다. 이 함수는 원점을 지나고, 그 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 쌍곡사인은 기함수이기 때문이다.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    오른쪽으로 가면 sinh⁡\sinh의 그래프는 ex2\frac{e^x}{2}의 그래프에 아래에서 가까워지고, cosh⁡\cosh의 그래프는 위에서 가까워진다. 두 그래프는 서로 가까워지지만 결코 맞닿지 않는다. 그 차가 양수이기 때문이다.

쌍곡사인의 부호는 그 정의에서 읽힌다. sinh⁡x>0\sinh x > 0는 ex>e−xe^x > e^{-x}와 동치이고, 지수함수는 순증가하므로 이것은 정확히 x>−xx > -x일 때, 곧 x>0x > 0일 때 일어난다. 따라서 쌍곡사인은 x<0x < 0일 때 음수, 00에서 영, x>0x > 0일 때 양수이다. 쌍곡탄젠트는 사인을 양수로 나눈 몫이므로 같은 부호를 갖는다. 반면 쌍곡코사인은 항상 양수이며, 그보다 더 강한 사실이 성립한다.

보조정리쌍곡코사인의 아래 한계

모든 실수 xx에 대하여 cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}가 성립한다. 따라서 cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1이고, 등호는 x=0x = 0일 때만 성립한다.

핵심은 cosh⁡x−1\cosh x - 1의 분자에서 차의 제곱을 알아보는 것이다. 그림은 직선 y=1y = 1 위쪽에 있는 쌍곡코사인의 그래프를 보여 주며, 둘의 차를 연직 선분으로 나타낸다.

증명

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    지수법칙에 의하여 exe^x은 ex2e^{\frac{x}{2}}의 제곱이고, e−xe^{-x}은 e−x2e^{-\frac{x}{2}}의 제곱이며, 이 두 거듭제곱의 곱은 e0=1e^0 = 1이다.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    따라서 cosh⁡x−1\cosh x - 1의 분자는 차의 제곱이고, 그 차는 sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}의 두 배이다.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    제곱은 음수가 아니다. 따라서 쌍곡코사인은 적어도 11이다.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    등호가 성립하려면 제곱의 밑이 영, 곧 ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}이어야 한다. 지수함수는 단사이므로 이는 x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}, 곧 x=0x = 0을 요구한다.

부등식 cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1는 양수 exe^x과 e−xe^{-x}의 산술평균과 기하평균 사이의 부등식이며, 그 기하평균은 11이다.