지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수를 다루는 단원을 마무리하며, 이 단원은 강좌의 마지막 단원이다. 단원의 결과를 하나의 연역 사슬로 모으는데, 이 사슬은 실수의 완비성에서 출발하여 쌍곡선의 매개변수 표시에 이른다. 또한 이 사슬이 귀납법과 이항정리에서 쌍곡선의 방정식에 이르기까지 강좌의 앞 단원들에 어떻게 기대는지, 그리고 삼각함수와 극좌표로 시작하는 강좌 「대수학과 기하학 II」를 어떻게 준비하는지 보인다. 끝으로, 각 수업의 연습 문제보다 어렵고 그 가운데 여러 수업을 엮어 자기 나름의 아이디어를 찾아야 하는 열 개의 도전 과제로 마친다.

학습 목표

단원의 정의와 정리의 사슬을 재구성하고, 각 고리에서 그것이 의존하는 앞의 결과를 밝힐 수 있다.
단원의 결과를 앞 단원들의 결과와 관련짓고, 강좌 「대수학과 기하학 II」의 삼각함수에서 그것이 맡을 역할을 내다볼 수 있다.
지수함수의 단조성, 로그의 성질, 부등식 $e^x \geq 1 + x$ , 쌍곡선함수의 덧셈정리를 엮은 문제를 풀 수 있다.
정형적이지 않은 문제를 이미 아는 문제로 바꾸어 주는 치환, 부등식, 보조 함수를 스스로 고를 수 있다.

단원에서 이룬 것

단원은 하나의 결핍에서 출발했다. 수 집합을 다루는 단원을 마쳤을 때, 거듭제곱 $a^x$ 은 $x$ 가 유리수일 때는 뜻이 있었지만 $x = \sqrt{2}$ 일 때는 뜻이 없었다. 그 최종 결과는 수직선 전체에서 정의되고, 완전한 대수적 법칙, 명시적인 역함수, 기하학적 해석을 갖춘 함수족이다. 사슬의 고리들은 아래와 같다.

실수 지수의 거듭제곱

지수함수와 실수 지수의 거듭제곱 수업은 $a^x$ 을, $a > 1$ 일 때, 거듭제곱 $a^r$ (단, $r$ 은 유리수이고 $r \leq x$ )의 상한으로 정의했다. 완비성은 상한의 존재를 보장했고, 유리수의 조밀성은 조임 $a^r < a^x < a^s$ ( $r < x < s$ 일 때)을 주었으며, 그와 함께 엄격한 단조성을 주었다. 베르누이 부등식은 조임 구간의 길이를 어림했고, 아르키메데스 성질과 함께 지수법칙을 증명할 수 있게 해 주었다. 그 가운데 마지막 법칙은 밑과 지수의 부호에 따라 경우를 나누어 증명했다:

a^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

이 법칙들로 지수함수는 양수이고, 단사이며, 엄격하게 단조임이 드러났다. 상한에 의한 새로운 논증이 베르누이 부등식과 함께 지수함수가 모든 양수 값을 취함을 증명했으므로, 지수함수는 $\mathbb{R}$ 에서 $\ioo{0}{\infty}$ 로의 전단사 함수이다. 그리고 지수함수가 결국 제곱을 앞지른다는 것이 증명되었다.

수 e

수 e와 자연지수함수 수업은 특별한 밑 하나를 골랐다. 이항정리와 베르누이 부등식으로 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 은 증가하고 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ 는 감소함을 증명하고, $e$ 를 두 수열이 끼고 있는 수로 정의했다. 그것이 계승의 역수의 합의 상한이기도 하며 그 오차가 $\frac{1}{n! \, n}$ 보다 작다는 것, 그리고 무리수라는 것을 증명했고, 기본 부등식과 거듭제곱의 거듭제곱으로 원금 $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ 의 상한이 $e^r$ 임을 극한의 개념에 기대지 않고 증명했다. 이 수업에서 가장 풍성한 결과는 기본 부등식으로, 모든 실수 $x$ 에 대해 성립하고 등호는 $x = 0$ 에서만 성립하며, 이후의 거의 모든 증명에 다시 나타난다:

e^x \geq 1 + x

로그와 방정식

로그함수 수업은 $\log_a$ 를 지수함수의 역함수로 얻고, 지수법칙 하나하나를 로그의 성질로 옮겼다. 밑변환은 모든 로그가 단 하나의 로그의 상수배임을 보였고, 유클리드 보조정리는 $\log_2 3$ 이 무리수임을 증명했다. 지수·로그 방정식과 부등식 수업은 이 함수들의 두 성질을 방법으로 바꾸었다. 단사성 덕분에 지수끼리, 진수끼리 같다고 놓을 수 있고, 단조성은 밑에 따라 부등호의 방향을 유지하거나 뒤집는다. 이런 문제에 고유한 어려움, 곧 정의역, 무연근, 보조 변수의 양수가 아닌 값은 모두 지수함수가 양수 값만 취한다는 데서 비롯된다. 그 수업의 결과 가운데 단원이 증명하지 않는 것에 기대는 것은 단 하나이다. $x + 2^x = 5$ 과 같이 대수적 풀이법이 없는 방정식의 해의 존재는 유리함수 수업에서 받아들인 사잇값 정리와, 실수 지수의 거듭제곱 수업에서 받아들이는 지수함수의 연속성에 기댄다. 이 두 사실의 증명은 미적분학에 속한다. 반면 해의 유일성과 해의 위치를 찾아내는 이분법은 순서에서 연역된다.

모형과 쌍곡선함수

증가와 감소의 모형 수업은 법칙 $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ 이 모형 $P_0 e^{kt}$ 을 특징짓는다는 것, 따라서 같은 길이의 시간 동안 같은 비율로 변하는 단조인 양은 모두 지수적이라는 것을 증명했다. 여기에서 배가 시간과 반감기, 탄소 14 연대 측정, 뉴턴의 법칙, 반로그 선형화, 로지스틱 모형이 나온다. 끝으로 쌍곡선함수 수업은 $e^x$ 과 $e^{-x}$ 을 결합하여 쌍곡코사인과 쌍곡사인을 만들었고, 그 기본 항등식은 지수법칙의 직접적인 귀결이다:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

여기에서 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$ 의 오른쪽 가지의 매개변수 표시가 나왔고, 그 매개변수는 로그로 되찾아진다. 또 덧셈정리와 역함수가 나왔는데, 역함수는 $e^y$ 에 관한 이차방정식을 풀어 로그로 나타난다. 이렇게 사슬은 스스로 닫힌다. 지수함수가 쌍곡선함수를 낳고, 로그가 그것을 거꾸로 되돌린다.

아래 그림은 네 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞의 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이며, 각 받침은 자신에게 기대는 고리들과 실선으로, 자신이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 증명 없이 받아들인 것이나 앞 단원들에서 온 것은 예외로, 둥근 테로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

A완비성. 위로 유계인 공집합이 아닌 실수의 집합은 모두 상한을 가진다. 수 집합을 다루는 단원에서 진술했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
B조밀성과 아르키메데스 성질. 서로 다른 두 실수 사이에는 언제나 유리수가 있고, 모든 실수는 어떤 자연수에 의해 넘어선다. 수 집합을 다루는 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
C베르누이 부등식. $x \geq -1$ 이고 $n$ 이 자연수이면 $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ 이다. 자연수를 다루는 단원에서 귀납법으로 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
D이항정리. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ 가 성립한다. 자연수를 다루는 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
E유클리드 보조정리. 소수가 자연수들의 곱을 나누면 그 인수 가운데 어느 하나를 나눈다. 자연수를 다루는 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
F지수법칙. $a > 0$ , $b > 0$ 와 실수 $x$ , $y$ 에 대하여 $a^{x + y} = a^x a^y$ , $(ab)^x = a^x b^x$ , $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ 이 성립한다. 확립되는 곳: 3. 실수 지수의 지수법칙.
G지수함수의 단조성. $a > 1$ 이면, 실수 $u$ , $v$ 에 대하여 $u < v$ 일 필요충분조건은 $a^u < a^v$ 이다. 밑이 $0$ 과 $1$ 사이에 있으면 부등호의 방향이 뒤집힌다. 확립되는 곳: 2. 조임과 단조성.
H역함수로서의 로그. $x > 0$ 일 때, $\log_a x = y$ 일 필요충분조건은 $a^y = x$ 이다. 따라서 $a^{\log_a x} = x$ 이고 $\log_a \left( a^y \right) = y$ 이다. 확립되는 곳: 15. 로그.

제1구간 실수 지수의 거듭제곱
- 모든 실수 지수에 대해 $a^x$ 을 유리수 지수 거듭제곱의 상한으로 정의하고, 그것이 앞서의 정의를 확장함을 정당화한다.
- $a^x$ 을 유리수 지수 거듭제곱 사이에 조이고, 그로부터 엄격한 단조성을 이끌어 낸다.
- 거듭제곱의 거듭제곱을 포함한 실수 지수의 지수법칙을, 베르누이 부등식으로 길이를 어림한 조임으로 증명한다.
- 지수함수를 기술한다. 정의역, 부호, 단사성, 한없는 증가, 수평 점근선.
- 완비성과 베르누이 부등식으로 지수함수가 모든 양수 값을 취함을 증명한다.
1. 실수 지수의 거듭제곱. $a > 1$ 이면, 거듭제곱 $a^x$ 은 거듭제곱 $a^r$ (단, $r$ 은 유리수이고 $r \leq x$ )의 상한이다. 이 상한은 존재하며, $x$ 가 유리수이면 이미 알려진 거듭제곱과 일치한다.
  받침: A (완비성), B (조밀성과 아르키메데스 성질). 증명된 수업: 지수함수와 실수 지수.
2. 조임과 단조성. $a > 1$ 이고 $r$ , $s$ 가 $r < x < s$ 를 만족하는 유리수이면 $a^r < a^x < a^s$ 이다. 따라서 $x < y$ 이면, $a^x < a^y$ ( $a > 1$ 일 때)이고 $a^x > a^y$ ( $0 < a < 1$ 일 때)이다. 또한 양수인 모든 밑에 대하여 $a^x > 0$ 이다.
  사용: 1. 실수 지수의 거듭제곱. 받침: B (조밀성과 아르키메데스 성질). 증명된 수업: 지수함수와 실수 지수.
3. 실수 지수의 지수법칙. $a > 0$ , $b > 0$ 와 실수 $x$ , $y$ 에 대하여 $a^{x + y} = a^x a^y$ 와 $(ab)^x = a^x b^x$ 이 성립한다. 앞의 것과 양의 거듭제곱근의 유일성, 그리고 새로운 조임으로, 부호의 모든 경우에 $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ 도 성립한다.
  사용: 2. 조임과 단조성. 받침: B (조밀성과 아르키메데스 성질), C (베르누이 부등식). 증명된 수업: 지수함수와 실수 지수.
4. 지수함수. $a > 0$ 이고 $a \neq 1$ 이면, 함수 $a^x$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 정의되고 양수이며 단사이다. $a > 1$ 이면 증가하고, 어떤 값도 넘어서며, 왼쪽으로 갈수록 $0$ 에 가까워진다. $\left( \frac{1}{a} \right)^x$ 의 그래프는 $y$ 축에 대한 그 대칭 이동이다.
  사용: 1. 실수 지수의 거듭제곱. 받침: C (베르누이 부등식), G (지수함수의 단조성). 증명된 수업: 지수함수와 실수 지수.
5. 지수함수의 치역. $a > 0$ 이고 $a \neq 1$ 이면, 모든 $y > 0$ 에 대하여, 실수 $x$ 로서 $a^x = y$ 를 만족하는 것이 오직 하나 존재한다. $a > 1$ 이면 그것은 유리수 $r$ (단, $a^r < y$ )의 상한이다. 지수함수는 $\mathbb{R}$ 에서 $\ioo{0}{\infty}$ 로의 전단사 함수이다.
  사용: 4. 지수함수. 받침: A (완비성), B (조밀성과 아르키메데스 성질), C (베르누이 부등식), F (지수법칙), G (지수함수의 단조성). 증명된 수업: 지수함수와 실수 지수.
제2구간 수 e
- 이항정리와 베르누이 부등식으로 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 은 증가하고 $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ 는 감소함을 증명하고, 앞의 것을 부등식 $k! \geq 2^{k - 1}$ (귀납법으로 증명한다)으로 어림한다.
- $e$ 를 두 수열이 끼고 있는 수로 정의한다.
- $e$ 가 계승의 역수의 합의 상한임을 확인하고, 오차를 어림하며, $e$ 가 무리수임을 이끌어 낸다.
- 기본 부등식 $e^x \geq 1 + x$ 을 증명하고, 이를 이용해 원금 $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ 의 상한이 $e^r$ 임을 증명한다.
1. 수열의 증가. 수열 $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ 은 엄격하게 증가하는 수열이다.
  받침: D (이항정리). 증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
2. 계승과 2의 거듭제곱. 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $k! \geq 2^{k - 1}$ 가 성립하고, 등호는 $k = 1$ 또는 $k = 2$ 일 때만 성립한다. 귀납법으로 증명한다.
  증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
3. 수열의 상계. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n \leq s_n < 3$ 가 성립한다. 여기서 $s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ 이다. $s_n$ 의 각 항은 공비 $\frac{1}{2}$ 인 등비수열의 항으로 어림된다.
  사용: 7. 계승과 2의 거듭제곱. 받침: D (이항정리). 증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
4. 동반 수열. 수열 $b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ 은 엄격하게 감소하는 수열이다.
  받침: C (베르누이 부등식). 증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
5. 수 e. 수 $e$ 는 항 $a_n$ 의 상한이며, $a_n < e < b_n$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 성립한다.
  사용: 6. 수열의 증가, 8. 수열의 상계, 9. 동반 수열. 받침: A (완비성). 증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
6. 수 e의 급수와 그 오차. 합 $s_n$ 의 상한은 $e$ 이고, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}$ 가 성립한다.
  사용: 8. 수열의 상계, 10. 수 e. 받침: A (완비성), B (조밀성과 아르키메데스 성질), C (베르누이 부등식). 증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
7. e의 무리성. 수 $e$ 는 무리수이다.
  사용: 11. 수 e의 급수와 그 오차. 증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
8. 기본 부등식. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $e^x \geq 1 + x$ 가 성립하고, 등호는 $x = 0$ 에서만 성립한다.
  사용: 10. 수 e. 받침: B (조밀성과 아르키메데스 성질), C (베르누이 부등식), F (지수법칙), G (지수함수의 단조성). 증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
9. 연속 복리. $r > 0$ 이면, 원금 $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ 는 $n$ 과 함께 증가하고, 어느 것도 $e^r$ 에 이르지 않으며, 그 상한은 $e^r$ 이다. $t > 0$ 이면, 수 $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$ 의 상한은 $e^{rt}$ 이다.
  사용: 1. 실수 지수의 거듭제곱, 6. 수열의 증가, 10. 수 e, 13. 기본 부등식. 받침: D (이항정리), F (지수법칙), G (지수함수의 단조성). 증명된 수업: 수 e와 자연지수함수.
제3구간 로그와 방정식
- $\log_a$ 를 지수함수의 역함수로 얻고, 지수법칙 하나하나를 로그의 성질로 옮긴다.
- 밑변환으로 모든 로그를 단 하나의 로그로 바꾸고, 그 단조성과 부호를 조사한다.
- 유클리드 보조정리로 $\log_2 3$ 이 무리수임을 증명한다.
- 단사성과 단조성을 방정식과 부등식을 푸는 방법으로 바꾼다.
1. 로그. 밑이 $a$ 인 지수함수는 $\mathbb{R}$ 에서 $\ioo{0}{\infty}$ 로의 전단사 함수이므로, 각 $x > 0$ 에 대하여 수 $\log_a x$ 는 실수 $y$ 로서 $a^y = x$ 을 만족하는 단 하나의 것이며, 함수 $\log_a$ 는 그 역함수이다.
  사용: 5. 지수함수의 치역. 증명된 수업: 로그함수와 그 성질.
2. 로그의 성질. 양수 $x$ , $y$ 와 실수 $r$ 에 대하여 $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ , $\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x$ 이 성립한다.
  받침: F (지수법칙), H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 로그함수와 그 성질.
3. 밑변환 공식. $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ 이 성립한다. 모든 로그는 자연로그를 상수로 나눈 것이며, $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ 이다.
  사용: 16. 로그의 성질. 받침: H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 로그함수와 그 성질.
4. 로그의 단조성과 부호. 함수 $\log_a$ 는 $a > 1$ 이면 엄격하게 증가하는 함수이고 $0 < a < 1$ 이면 엄격하게 감소하는 함수이며, $\log_a x > 0$ 일 필요충분조건은 $(a - 1)(x - 1) > 0$ 이다.
  받침: G (지수함수의 단조성), H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 로그함수와 그 성질.
5. 무리수인 로그. $a$ 와 $b$ 가 $1$ 보다 큰 서로소인 자연수이면 수 $\log_a b$ 는 무리수이다. 특히 $\log_2 3$ 은 무리수이다.
  사용: 18. 로그의 단조성과 부호. 받침: F (지수법칙), H (역함수로서의 로그), E (유클리드 보조정리). 증명된 수업: 로그함수와 그 성질.
6. 단사성과 방정식. $a^u = a^v$ 일 필요충분조건은 $u = v$ 이고, $\log_a u = \log_a v$ 일 필요충분조건은 $u = v$ 이다. 방정식 $a^x = c$ 는 오직 하나의 해 $\log_a c$ 를 가지며( $c > 0$ 일 때), $c \leq 0$ 일 때는 해가 없다.
  사용: 4. 지수함수. 받침: H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 지수·로그 방정식과 부등식.
7. 단조성과 부등식. $a > 1$ 이면, $a^u < a^v$ 일 필요충분조건은 $u < v$ 이고, $\log_a u < \log_a v$ 일 필요충분조건은 $u < v$ 이다. $0 < a < 1$ 이면 이 동치들은 방향을 뒤집어 성립한다.
  사용: 18. 로그의 단조성과 부호. 받침: G (지수함수의 단조성). 증명된 수업: 지수·로그 방정식과 부등식.
제4구간 모형과 쌍곡선함수
- 모형 $P_0 e^{kt}$ 을 같은 길이의 시간 동안의 일정한 비로 특징짓고, 배가 시간과 반감기를 구한다.
- 지수적 자료를 반로그 평면에서 선형화하고, 로지스틱 모형을 조사한다.
- $e^x$ 과 $e^{-x}$ 으로부터 쌍곡코사인과 쌍곡사인을 정의하고, 그 단조성을 조사한다.
- 기본 항등식을 증명하고, 쌍곡선의 오른쪽 가지를 매개변수로 표시하며, 덧셈정리와 역함수를 구한다.
1. 일정한 비. $P(t) = P_0 e^{kt}$ (단, $P_0 > 0$ )이면, $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ 이 모든 실수 $t$ , $h$ 에 대하여 성립한다. 정수 시각에서는 $k = \ln(1 + r)$ 인 이산 모형이며, 함수는 $k > 0$ 이면 증가하고 $k < 0$ 이면 감소한다.
  받침: F (지수법칙), G (지수함수의 단조성), H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 지수적 증가와 감소의 모형.
2. 일정한 비의 역. $P$ 가 양수이고 단조이며 몫 $\frac{P(t + h)}{P(t)}$ 가 $h$ 에만 의존하면, $P(t) = P_0 e^{kt}$ 가 어떤 실수 $k$ 에 대하여 성립한다. 방정식 $f(t + h) = f(t) f(h)$ 과 단조성이 지수함수를 결정한다.
  사용: 2. 조임과 단조성. 받침: B (조밀성과 아르키메데스 성질), F (지수법칙), H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 지수적 증가와 감소의 모형.
3. 배가와 반감기. $k > 0$ 이면, 모형 $P_0 e^{kt}$ 은 길이가 $T = \frac{\ln 2}{k}$ 인 모든 기간에 두 배가 되며, 두 배가 되는 것은 그런 기간뿐이다. $k = -\lambda < 0$ 이면, 길이가 $\frac{\ln 2}{\lambda}$ 인 모든 기간에 절반으로 줄어든다.
  사용: 22. 일정한 비, 20. 단사성과 방정식. 받침: H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 지수적 증가와 감소의 모형.
4. 반로그 선형화. 점 $(t, y)$ (단, $y > 0$ )가 $y = C e^{kt}$ 의 그래프 위에 있을 필요충분조건은 $(t, \ln y)$ 가 직선 $Y = \ln C + kt$ 위에 있는 것이다. 가로 좌표가 서로 다른 두 점을 지나는 이런 꼴의 그래프는 오직 하나이다.
  사용: 16. 로그의 성질. 받침: H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 지수적 증가와 감소의 모형.
5. 로지스틱 모형. 함수 $P(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$ 은, $K$ , $A$ , $r$ 이 양수일 때, $0$ 과 $K$ 사이에서 엄격하게 증가하는 함수이고, 값 $\frac{K}{2}$ 를 $t_0 = \frac{\ln A}{r}$ 에서 취하며, 그 그래프는 그 점에 대하여 대칭이다.
  사용: 4. 지수함수. 받침: G (지수함수의 단조성), H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 지수적 증가와 감소의 모형.
6. 쌍곡선함수. $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ , $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ 라 하면, 쌍곡코사인은 우함수, 쌍곡사인은 기함수이며, $e^x = \cosh x + \sinh x$ , $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ 이다.
  사용: 4. 지수함수. 증명된 수업: 쌍곡선함수.
7. 쌍곡선함수의 단조성. 쌍곡사인과 쌍곡탄젠트는 엄격하게 증가하는 함수이고 $-1 < \tanh x < 1$ 이다. 쌍곡코사인은 $x \leq 0$ 에서 감소하고 $x \geq 0$ 에서 증가하며, 그 최솟값은 $\cosh 0 = 1$ 이다.
  사용: 27. 쌍곡선함수. 받침: F (지수법칙), G (지수함수의 단조성). 증명된 수업: 쌍곡선함수.
8. 기본 항등식. 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ 가 성립한다.
  사용: 27. 쌍곡선함수. 받침: F (지수법칙). 증명된 수업: 쌍곡선함수.
9. 쌍곡선의 매개변수 표시. 함수 $t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right)$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 $x^2 - y^2 = 1$ 의 오른쪽 가지로의 전단사 함수이며, 그 역함수는 점 $(x, y)$ 에 수 $\ln(x + y)$ 를 대응시킨다.
  사용: 20. 단사성과 방정식, 27. 쌍곡선함수, 28. 쌍곡선함수의 단조성, 29. 기본 항등식. 받침: H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 쌍곡선함수.
10. 덧셈정리. $\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$ 과 $\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$ 가 성립한다.
  사용: 27. 쌍곡선함수. 받침: F (지수법칙). 증명된 수업: 쌍곡선함수.
11. 역쌍곡선함수. $\operatorname{arcsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ , $\operatorname{arccosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ ( $x \geq 1$ 일 때), $\operatorname{arctanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ( $-1 < x < 1$ 일 때)가 성립한다.
  사용: 28. 쌍곡선함수의 단조성. 받침: H (역함수로서의 로그). 증명된 수업: 쌍곡선함수.

삼각함수를 향하여. 사슬은 스스로 닫힌다. 지수함수가 쌍곡선함수를 낳고, 로그가 그것을 거꾸로 되돌린다. 뒤이은 강좌는 원 $x^2 + y^2 = 1$ 에 대하여, 이 단원이 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$ 에 대하여 한 일을 한다.