대수학과 기하학 I: 최종 결산

요약

이 항목은 또 하나의 수업이 아니라 강좌의 최종 결산이다. 학습 계획이 처음에 세운 여덟 가지 학습 목표를 되짚고, 각 단원과 그 각 수업이 그 목표들에 어떻게 기여했는지를 하나의 그림으로 보여 주며, 단원들의 마무리 평가의 첫 시도를 목표별로 모으고, 이 여정이 어디로 이어지는지, 곧 대수학과 기하학 II 강좌와 이 첫 강좌가 열어 주는 과목들을 가리키며 여정을 마무리한다.

강좌가 목표로 삼은 것

강좌는 하나의 전체 목적을 가지고 태어났다. 자연수에 관한 몇 개의 공리에서 출발하여 수 체계, 다항식의 대수, 기초적인 대수함수와 초월함수, 평면의 해석기하학을 구성하되, 사용하는 모든 결과를 증명하여, 강좌를 마친 사람이 계산할 줄 알 뿐 아니라 각 계산이 어디에서 오는지도 알게 하는 것이다. 학습 계획에 관한 수업은 이 목적을 여덟 가지 전체 학습 목표로 펼쳤는데, 그림이 그것들을 인용하는 번호와 함께 그것들을 곁에 두는 것이 좋다:

명시적인 연역적 추론으로 증명하며, 연역된 것과 받아들인 것을 구별한다.
집합, 관계, 함수의 언어로, 페아노 공리에서 대수적 형태의 복소수까지 수 체계를 구성한다.
정수의 산술을 증명하고 응용한다: 나누어떨어짐, 소수, 최대공약수, 합동식, 위치적 기수법, 경우의 수 세기.
대수식을 변형하고 방정식, 부등식, 연립방정식을 풀며, 매 변형의 근거를 밝힌다.
실함수를 분석하고 그 그래프를 그린다.
평면의 자취를 방정식으로 나타내고, 방정식이 정하는 곡선을 알아본다.
지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수로 문제를 풀며, 그 성질을 정의로부터 이끌어 낸다.
과학, 기술, 일상생활의 상황을 모형화하고, 문제의 설정, 계산, 증명을 글로 전달한다.

강좌의 각 주제 수업은 또한 저마다 세부 목표를 밝혔고, 그 하나하나는 이 여덟 목표 가운데 하나 또는 여럿에 직접 이바지했다. 반면 도입 수업은 어느 목표에도 이바지하지 않는 방향 설정의 목표(단원을 개관하고 그 역사를 자리매김하는 것)도 밝혔다. 종합 수업은 대수학과 기하학의 두 강좌에 공통인 기준에 따라 목표 1과 이어진다. 그 중심이 단원의 연역 사슬을 재구성하기 때문이다. 그렇다면 강좌 전체는 하나의 척추 모양을 띤다. 머리는 전체 목적이고, 기둥은 단원들의 순서로서 각 단원이 저마다의 부분을 가진다. 각 수업은 그 부분의 한 마디이며, 가장 직접적으로 이바지하는 전체 목표와 이어진다. 그리고 여덟 목표는 그것들을 길러 주는 수업들에 받쳐져 기둥 둘레에 떠 있다.