로그함수와 그 성질

지수함수의 역함수로서의 로그

지수함수와 실수 지수의 거듭제곱에 관한 수업에서 아래의 사실이 증명되었다. $a > 0$이고 $a \neq 1$이면, 각 실수 $x$에 거듭제곱 $a^x$을 대응시키는 함수는 $a > 1$일 때 엄격하게 증가하고 $0 < a < 1$일 때 엄격하게 감소한다. 또한 지수함수의 치역 정리(그 수업에서 실수의 완비성과 베르누이 부등식으로 증명됨)에 의해, 이 함수는 각 양의 값을 정확히 한 번씩 취하며, 따라서 $\mathbb{R}$에서 구간 $\ioo{0}{\infty}$로의 전단사 함수이다. 엄격하게 단조인 함수의 역함수 정리(함수의 연산과 역함수에 관한 수업에서 증명됨)에 의해, 이 함수는 역함수를 가진다. 그렇다면 각 양수 $x$에 대하여 지수 $y$가 유일하게 존재하여 $a^y = x$이 되고, 아래의 정의는 의미를 가진다.

$a > 0$, 단 $a \neq 1$이고, $x > 0$이라 하자. 밑이 $a$인 로그의 $x$에서의 값을 $\log_a x$로 쓰며, 이것은 유일한 실수 $y$로서 $a^y = x$을 만족하는 것이다. 함수 $\log_a$는 $\ioo{0}{\infty}$에서 정의되고 실숫값을 가지며, 밑이 $a$인 지수함수의 역함수이다.

따라서 로그는 지수에 관한 물음에 답한다. $\log_a x$는 $a$를 그 수만큼 거듭제곱하면 $x$가 되는 수이다. 이렇게 하여, $2^3 = 8$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $10^3 = 1000$이고, 또 유리수 지수와 거듭제곱근에 관한 수업에 따르면 $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$이므로, 아래 식이 성립한다:

$\log_a$와 밑이 $a$인 지수함수는 서로 역함수이므로, 한쪽은 다른 쪽이 하는 일을 되돌린다. 첫째 항등식은 모든 양의 $x$에 대하여 성립하고, 둘째 항등식은 모든 실수 $y$에 대하여 성립한다.

특히 $a^0 = 1$과 $a^1 = a$로부터, 모든 밑에 대하여 $\log_a 1 = 0$과 $\log_a a = 1$가 따라 나온다. 영도 음수도 로그를 가지지 않는다. 양의 밑을 가진 거듭제곱은 모두 양수이기 때문이다. $y$로서 $2^y = -4$이 되는 것은 존재하지 않는다. 두 개의 밑에는 고유한 이름이 있다. 밑 $e$, 즉 수 e와 자연지수함수에 관한 수업에서 살펴본 수는 자연로그를 주며, 이것을 $\ln x$로 쓴다. 밑 $10$은 상용로그를 주며, 이것을 $\log_{10} x$로 쓴다. 많은 책과 계산기에서는 밑 없이 $\log x$로 쓰는데, 어떤 때는 자연로그를, 어떤 때는 상용로그를 뜻한다. 이 과정에서는 밑을 항상 쓴다.

로그는 1614년에 존 네이피어가 발표하였고, 몇 해 뒤에 헨리 브리그스가 최초의 상용로그표를 계산하였다. 세 세기가 넘는 동안 로그는 천문학, 항해술, 공학의 계산을 간단히 하는 데 쓰였다. 뒤의 절에서 증명하듯이 곱을 합으로 바꾸기 때문이다. 로그의 그래프는, 역함수에 관한 같은 수업에 있는 역함수의 그래프 정리에 의해, 지수함수의 그래프로부터 얻어진다. 전단사 함수의 그래프와 그 역함수의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.