三角関数と極座標：まとめと挑戦課題

要約

この課は、三角関数と極座標の単元を締めくくる。単元の六つの課で証明したことを、一本の演繹の鎖にまとめる。すなわち、弧の長さによる角の測定、単位円上での正弦と余弦の定義とその帰結、これらの関数とその逆関数の研究、あらゆる三角形の解法、そして極座標とその曲線である。この鎖がコース代数と幾何 Iに、余りのある割り算から 2 次曲線とベクトルまで、どのように支えられているか、また次の単元の解析的三角法をどのように準備するかを説明する。まとめテストでは導入にある導入テストの技能を繰り返し、結果の理由についての問いを二問加え、最後に、各課の問題より難しく、複数の課を組み合わせ、それぞれに独自の着想を要する十題の挑戦課題を置く。

学習目標

単元の定義と定理の鎖を、ラジアンから 2 次曲線の極方程式まで再構成し、それぞれがどの結果に依存するかを特定する。
単元の結果を、コース I の結果、および解析的三角法が未解決のまま残す問題と関連づける。
弧の測定、三角関数の対称性とグラフ、その逆関数、三角形の解法、極座標を組み合わせた問題を解く。

単元で達成したこと

角から関数へ

単元は、少数の認める事実から出発する。それらを正確に列挙しておくのがよい。最初の二つは微積分を必要とする。長さと面積についての事実（すべての弧は長さをもち、線分と弧で囲まれたすべての領域は面積をもつ。どちらも加法的で、図形を動かしても変わらず、図形とともに増える。同じ中心角に対する弧は半径に比例し、半径 $r$ の円板の面積は $\pi r^2$ である）と、弧長に沿った移動の公理である。すなわち、各実数 $s$ に対して、単位円上の点 $P(s)$ がただ一つ存在し、 $(1, 0)$ から長さ $\abs{s}$ だけ単位円上を移動するとその点に達する。向きは $s$ の符号が示す。この移動は接続でき（ $t$ だけ進むと、出発点が $P(s)$ なら $P(s + t)$ に達する）、周期 $2\pi$ をもち、すべての点に達し、 $P(\pi) = (-1, 0)$ で終わる最初の半回転では、横座標が狭義に減少しながら上半円を通る。残りは、コースで展開しない初等幾何に由来する。三角形の内角の和 $\pi$ 、二等辺三角形の底角が等しいこと、隣り合う角の和、円周角に対する中心の位置、相似条件、三平方の定理、回転の向きを逆にする鏡映と、それを保つ半回転による長さの保存、そして円の内部と外部の点から弦を見込む角の比較である。これらとともに、 $\pi$ の値も認める。その小数表示は 3.14159 で始まり、したがって $3 < \pi < 4$ である。また、その無理性も認める。同じく微積分を必要とするもう二つの事実は、三角関数とそのグラフの課で認められ、いくつかの問題だけがそれを使い、鎖の定理は決して使わない。三角関数とその逆関数の連続性（これにより中間値の定理が適用できる。この定理は改めて認めるのではなく、コース I から引用する）と、各区間 $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ における正弦の狭義の上に凸性である。また、三角比の課の最後の例題は、同じ理由で、内接正多角形の面積が円板の面積にいくらでも近づくことを認めている。この基礎の上に、角とその大きさの課は、数 $\pi$ を単位円の周の長さの半分として、弧度法による大きさを、通った弧の符号つきの長さとして定義した。最初の半回転を $x$ 軸に関して鏡映し、2 回目の半回転では移動が横座標を狭義に増加させながら下半円を通ることを証明した。同じ基礎から、度とラジアンの換算、公式 $s = r\theta$ と $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ 、円周角の定理（円周角はそれが対する弧の半分である）、そして 1 周目への帰着の定理が導かれた。この定理によれば、すべての実数は $\theta_0 + 2k\pi$ の形にただ一通りに書ける。ここで $\theta_0$ は $\ico{0}{2\pi}$ に属する。公理から、一回転は同じ点を二度通らないことが従うので、二つの数が同じ点 $P(\theta)$ を定めるのは、それらの差が $2\pi$ の整数倍であるとき、かつそのときに限る。

三角比と単位円の課は、正弦、余弦、正接の二つの定義を与えた。直角三角形の辺の比としての定義（相似によって三角形によらない）と、 $P(\theta)$ の座標としての定義（すべての実数に対して有効）である。そして両者が鋭角で一致することを証明した。第二の定義から、ピタゴラスの恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 、 $\frac{\pi}{6}$ 、 $\frac{\pi}{4}$ 、 $\frac{\pi}{3}$ の主な角の値、そして円の対称性が導かれ、対称性からは偶奇性、周期性、補角と余角の関係が得られる。ここから参照角の方法が従い、任意の角の三角比の計算を鋭角の三角比の計算に帰着させる。

三角関数とそのグラフの課では、これらの比が実変数の関数になった。アルキメデスの性質で証明した周期の補題と最大値の位置から、 $2\pi$ が正弦と余弦の最小周期であることがわかり、零点の位置から、 $\pi$ が正接の最小周期であることがわかった。グラフは円を展開して作られ、二つの三角形と一つの扇形の面積の比較から不等式 $\sin x < x < \tan x$ （ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき）が得られ、そこから上界 $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ と正接の鉛直漸近線が従う。正弦曲線 $a \sin(b(x - c)) + d$ は、コース I の代数関数の単元の変換によって正弦から得られ、単純な形のあらゆる周期現象をモデル化する。

逆関数と三角形の計量

しかし、周期関数は単射ではない。逆三角関数の課は、移動の公理から、余弦が $\icc{0}{\pi}$ で狭義に減少することを読み取った。これは座標で書いた半回転の条項にほかならないからである。このことと余角の対称性から、正弦が $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ で狭義に増加することを証明し、両者から、正接が $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ で増加することを証明した。これらの区間で逆正弦、逆余弦、逆正接を定義し、等式 $\sin(\arcsin x) = x$ （常に成り立つ）と等式 $\arcsin(\sin x) = x$ （主値の区間でのみ成り立つ）を区別した。対称性とともに、逆関数は一回転全体で基本的な方程式を解いた。

こうして、三角形の解法の課への準備がすべて整った。一つの頂点を原点に置くと、ある辺に向かい合う頂点の座標は $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ である。そこから、この順に、面積 $\frac{1}{2} bc \sin A$ 、正弦定理、および円周角の定理による正弦定理と外接円の半径との関係、三平方の定理を拡張する余弦定理、そしてヘロンの公式が得られる。余弦は三角形の角を定めるが正弦は定めないので、二辺と一方の対角が与えられた場合、解は存在しないか、一つか、二つであり、あいまいな場合の定理は、それらを 2 次方程式の根によって数える。最後に、余弦定理と差のノルムの平方の展開から、内積による二つのベクトルのなす角の大きさが得られた。

第二の座標系

極座標と極方程式の曲線の課は、視点を逆転させた。点の原点からの距離と角から直交座標を計算する代わりに、その二つの数で点を名指した。負の動径を認めて、一点のすべての表し方を記述し、象限に応じて補正した逆正接を用いて変換公式を証明し、余弦定理から極座標での二点間の距離を得た。対称性の判定法と値の表によって、カージオイド、バラ曲線、渦巻線、蝸牛線を描くことができ、焦点と準線の定理は方程式 $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ に変わった。そこから各 2 次曲線の種類、頂点、通径が読み取れる。

次の図は、三つの区間を一本の鎖にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いる前の環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、それぞれは、よりかかる環と実線で結ばれ、それが確立される環と点線で結ばれる。ただし、コース I から来るものや証明なしに認めるものは例外で、輪として描かれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

A弧長に沿った移動. 各実数 $s$ に対して、単位円上の点 $P(s)$ がただ一つ存在し、 $(1, 0)$ から長さ $\abs{s}$ だけ単位円上を移動するとその点に達する。向きは、 $s > 0$ なら時計の針と逆の向き、 $s < 0$ なら時計の針の向きである。 $P(s)$ から長さ $t$ だけ時計の針と逆の向きに進むと $P(s + t)$ に達し、時計の針の向きに進むと $P(s - t)$ に達する。 $P(s + 2\pi) = P(s)$ が成り立つ。円のすべての点は $P(s)$ である（ある $s$ に対して）。 $P(\pi) = (-1, 0)$ であり、 $P(s)$ の横座標は、縦座標が負でないまま狭義に減少する。それは $s$ が $0$ から $\pi$ まで増加するときである。証明なしに認める。弧長と中間値の性質に基づくからである。2 回目の半回転は最初の半回転から鏡映によって導かれる。この単元では証明なしに認める。
B長さと面積. すべての弧は長さをもち、線分と弧で囲まれたすべての領域は面積をもつ。合同な図形は同じ測度をもち、測度は加法的であり、ある領域を含む領域の面積は小さくなく、差が円板を含めば大きい。同じ中心角に対する弧は半径に比例し、半径 $r$ の円板の面積は $\pi r^2$ である。証明なしに認める。長さと曲線で囲まれた面積は極限によって定義されるからである。この単元では証明なしに認める。
C鏡映と回転. 直線に関する鏡映は距離と弧の長さを保ち、回転の向きを逆にする。原点のまわりの半回転はそれらを保ち、向きも保つ。初等幾何から認める。この単元では証明なしに認める。
D初等幾何. 三角形の三つの角の和は $\pi$ である。二等辺三角形の底角は等しい。角の内部を通る半直線は、その角を和がもとの角に等しい二つの角に分ける。中心が円周角の内部にあれば、頂点から出る直径はその角を二つに分け、対する弧と交わる。外部にあれば、一方の辺がその直径ともう一方の辺の間にある。三角形の相似条件と三平方の定理。そして、円の外部の点は弦を同じ側の円周角より小さい角で見込み、内部の点は大きい角で見込む。初等幾何から認める。この単元では証明なしに認める。
Eアルキメデスの性質. 二つの正の実数 $p$ と $q$ が与えられると、 $q$ のある自然数倍が $p$ を超える。ここから有理数の稠密性と、与えられた実数より大きい最小の整数の存在が従う。コース I の数の集合の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
F関数と多項式. 狭義単調な関数は単射であり、その逆関数のグラフはもとのグラフの直線 $y = x$ に関する鏡映であり、変換はグラフを平行移動し拡大縮小する。符号表と解と係数の関係は、商の符号と多項式の根を支配する。コース I の代数関数と多項式の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
G解析幾何. 距離の公式、円の方程式、直線の傾き、内積をもつベクトル、焦点と準線による 2 次曲線の特徴づけ。コース I の平面の解析幾何の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
H対称性. 正弦は奇関数、余弦は偶関数である。 $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ 、 $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ 、 $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ 、 $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ 、 $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ が成り立ち、両者は周期 $2\pi$ の周期関数である。確立される環: 10. 対称性と周期性.

第 1 区間角から関数へ
- 角を、それが通る弧の長さで測り、円周角とそれが対する弧を関係づけ、すべての実数を 1 周目に帰着させる。
- 単位円上で正弦と余弦を定義し、それらが直角三角形の三角比と一致することを証明する。
- ピタゴラスの恒等式、主な角の値、対称性を導き、それらによって参照角の方法を導く。
- 正弦、余弦、正接を関数として調べる。最小周期、グラフ、不等式 $\sin x < x < \tan x$ 、正弦曲線である。
1. 弧度法による大きさ. $\pi$ を単位円の周の長さの半分とすると、有向角の弧度法による大きさは、それが通る弧の符号つきの長さである。すべての実数はある角の大きさであり、 $g$ 度の角は $\frac{\pi g}{180}$ ラジアンである。
  支え: A (弧長に沿った移動), B (長さと面積). 証明される授業: 角とその大きさ：度数法と弧度法.
2. 弧と扇形. 半径 $r$ の円で、 $\theta$ ラジアンの中心角（ただし $0 < \theta \leq 2\pi$ ）は、長さ $s = r\theta$ の弧に対し、面積 $\frac{1}{2} r^2 \theta$ の扇形を定める。
  使う結果: 1. 弧度法による大きさ. 支え: B (長さと面積), E (アルキメデスの性質). 証明される授業: 角とその大きさ：度数法と弧度法.
3. 円周角. 半径 $r$ の円で長さ $s$ の弧に対する円周角は $\frac{s}{2r}$ である。したがって、同じ弦の上の円周角は、頂点が同じ弧にあるか異なる弧にあるかに応じて、等しいか互いに補角であり、半円に対する円周角は直角である。
  使う結果: 2. 弧と扇形. 支え: B (長さと面積), D (初等幾何). 証明される授業: 角とその大きさ：度数法と弧度法.
4. 1 周目への帰着. すべての実数 $\theta$ は、 $\theta_0 + 2k\pi$ の形にただ一通りに書ける。ただし $k$ は整数、 $\theta_0$ は $\ico{0}{2\pi}$ に属する。一回転は点を繰り返さないので、二つの角の動径が一致するのは、その差が $2\pi$ の整数倍であるとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 1. 弧度法による大きさ. 支え: A (弧長に沿った移動), E (アルキメデスの性質), C (鏡映と回転). 証明される授業: 角とその大きさ：度数法と弧度法.
5. 鋭角の三角比. 鋭角 $\alpha$ をもつ直角三角形では、辺の比は $\alpha$ だけに依存し、 $\alpha$ の正弦と余弦は狭義に $0$ と $1$ の間にある。
  支え: D (初等幾何). 証明される授業: 三角比と単位円.
6. 実数の正弦と余弦. すべての実数 $\theta$ に対して、 $\theta$ の余弦と正弦は単位円上の点 $P(\theta)$ の横座標と縦座標であり、正接は、余弦が消えないときのそれらの商 $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ である。各象限での符号は、半回転の性質とその鏡映である 2 回目の半回転から導かれ、任意の角の符号は、その 1 周目への帰着の符号である。
  使う結果: 1. 弧度法による大きさ, 4. 1 周目への帰着. 支え: A (弧長に沿った移動), C (鏡映と回転). 証明される授業: 三角比と単位円.
7. 定義の整合性. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ ならば、単位円上で定義した正弦、余弦、正接は、大きさ $\theta$ の鋭角をもつ直角三角形で定義したものと一致する。
  使う結果: 5. 鋭角の三角比, 6. 実数の正弦と余弦. 支え: A (弧長に沿った移動), C (鏡映と回転), G (解析幾何). 証明される授業: 三角比と単位円.
8. ピタゴラスの恒等式. すべての実数 $\theta$ に対して $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が成り立ち、そこから $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ が得られる（ $\cos \theta \neq 0$ のとき）。
  使う結果: 6. 実数の正弦と余弦. 支え: G (解析幾何). 証明される授業: 三角比と単位円.
9. 主な角の値. $\frac{\pi}{4}$ の正弦と余弦は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。 $\frac{\pi}{6}$ の正弦と $\frac{\pi}{3}$ の余弦は $\frac{1}{2}$ であり、 $\frac{\pi}{6}$ の余弦と $\frac{\pi}{3}$ の正弦は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。
  使う結果: 1. 弧度法による大きさ, 6. 実数の正弦と余弦. 支え: G (解析幾何), D (初等幾何), C (鏡映と回転). 証明される授業: 三角比と単位円.
10. 対称性と周期性. 正弦は奇関数、余弦は偶関数である。角とその補角は正弦が等しく余弦が逆符号であり、 $\theta$ と $\pi + \theta$ は正弦も余弦も逆符号であり、角の正弦はその余角の余弦であり、両者は周期 $2\pi$ の周期関数である。したがって、角の正弦と余弦は、その象限の符号を除いて、参照角の正弦と余弦である。
  使う結果: 4. 1 周目への帰着, 6. 実数の正弦と余弦. 支え: A (弧長に沿った移動), C (鏡映と回転), F (関数と多項式). 証明される授業: 三角比と単位円.
11. 正弦と余弦の性質. 正弦と余弦の値域は $\icc{-1}{1}$ である。正弦の零点はちょうど数 $k\pi$ であり、正弦が値 $1$ をとるのはちょうど数 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ においてであり、余弦が値 $1$ をとるのはちょうど数 $2k\pi$ においてである。ただし $k$ は整数である。
  使う結果: 4. 1 周目への帰着, 6. 実数の正弦と余弦, 8. ピタゴラスの恒等式. 支え: A (弧長に沿った移動), H (対称性). 証明される授業: 三角関数とそのグラフ.
12. 最小周期. $q$ がある関数の最小周期ならば、その周期はちょうど数 $kq$ である。ただし $k$ は自然数である。そして $2\pi$ は正弦と余弦の最小周期である。
  使う結果: 11. 正弦と余弦の性質. 支え: E (アルキメデスの性質). 証明される授業: 三角関数とそのグラフ.
13. 正弦、弧、正接. $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ならば $\sin x < x < \tan x$ が成り立つ。ここから $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ が従う。ただし $x$ は任意の実数であり、等号は $x = 0$ のときに限る。
  使う結果: 2. 弧と扇形, 6. 実数の正弦と余弦, 11. 正弦と余弦の性質. 支え: B (長さと面積), G (解析幾何), H (対称性). 証明される授業: 三角関数とそのグラフ.
14. 正接の性質. 正接は奇関数で、最小周期は $\pi$ 、零点はちょうど数 $k\pi$ であり、値域は $\mathbb{R}$ であり、直線 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ はそのグラフの鉛直漸近線である。
  使う結果: 8. ピタゴラスの恒等式, 11. 正弦と余弦の性質, 13. 正弦、弧、正接. 支え: A (弧長に沿った移動), F (関数と多項式), H (対称性). 証明される授業: 三角関数とそのグラフ.
15. 正弦曲線. 正弦曲線 $y = a \sin(b(x - c)) + d$ （ただし $a > 0$ 、 $b > 0$ ）は正弦から変換によって得られる。その値域は $\icc{d - a}{d + a}$ 、最小周期は $\frac{2\pi}{b}$ である。
  使う結果: 11. 正弦と余弦の性質, 12. 最小周期. 支え: F (関数と多項式). 証明される授業: 三角関数とそのグラフ.
第 2 区間逆関数と三角形の計量
- 移動の公理から余弦と正弦の狭義単調性を導き、そこから正接の単調性を、それぞれ主値の区間で導き、それらの逆関数を定義する。
- 等式 $\sin(\arcsin x) = x$ （常に成り立つ）を等式 $\arcsin(\sin x) = x$ と区別し、一回転全体で基本的な方程式を解く。
- 頂点の座標から、三角形の面積、正弦定理、余弦定理、ヘロンの公式を導く。
- あいまいな場合の解を数え、内積によって二つのベクトルのなす角を測る。
1. 単調性と全単射となる制限. 移動の公理の半回転の性質により、余弦は $\icc{0}{\pi}$ で狭義に減少する。このことと対称性から、正弦は $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ で、正接は $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ で狭義に増加する。これらの区間に制限すると、それぞれ $\icc{-1}{1}$ 、 $\icc{-1}{1}$ 、 $\mathbb{R}$ への全単射である。
  使う結果: 4. 1 周目への帰着, 6. 実数の正弦と余弦, 14. 正接の性質. 支え: A (弧長に沿った移動), F (関数と多項式), H (対称性). 証明される授業: 逆三角関数.
2. 逆関数. 逆正弦、逆余弦、逆正接は、これらの制限の逆関数であり、 $\sin(\arcsin x) = x$ を満たす（ $\icc{-1}{1}$ で）。一方、 $\arcsin(\sin x) = x$ は $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ でのみ成り立つ。さらに、 $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ かつ $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ である。
  使う結果: 8. ピタゴラスの恒等式, 16. 単調性と全単射となる制限. 支え: F (関数と多項式), H (対称性). 証明される授業: 逆三角関数.
3. 基本的な方程式. $-1 < c < 1$ かつ $\alpha = \arcsin c$ ならば、方程式 $\sin x = c$ は $\ico{0}{2\pi}$ にちょうど二つの解をもつ。 $\pi - \alpha$ と、 $\alpha$ の符号に応じて $\alpha$ 自身または $2\pi + \alpha$ である。方程式 $\cos x = c$ はそこで解 $\arccos c$ と $2\pi - \arccos c$ をもつ。
  使う結果: 16. 単調性と全単射となる制限, 17. 逆関数. 支え: H (対称性). 証明される授業: 逆三角関数.
4. 三角形の面積. 頂点 $A$ を原点に、頂点 $B$ を横軸の正の半軸上に置くと、頂点 $C$ の座標は $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ であり、三角形の面積は $\frac{1}{2} bc \sin A$ である。
  使う結果: 6. 実数の正弦と余弦. 支え: G (解析幾何), H (対称性). 証明される授業: 三角形の解法：正弦定理と余弦定理.
5. 正弦定理. 三角形の辺は対角の正弦に比例し、共通の比 $\frac{a}{\sin A}$ は外接円の直径 $2R$ である。
  使う結果: 7. 定義の整合性, 3. 円周角, 19. 三角形の面積. 支え: D (初等幾何), H (対称性). 証明される授業: 三角形の解法：正弦定理と余弦定理.
6. 余弦定理. すべての三角形で $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ が成り立ち、角 $A$ が直角のとき三平方の定理になる。
  使う結果: 8. ピタゴラスの恒等式, 19. 三角形の面積. 支え: G (解析幾何). 証明される授業: 三角形の解法：正弦定理と余弦定理.
7. ヘロンの公式. 辺が $a$ 、 $b$ 、 $c$ で半周長が $s$ の三角形の面積は $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ である。
  使う結果: 8. ピタゴラスの恒等式, 19. 三角形の面積, 21. 余弦定理. 支え: F (関数と多項式). 証明される授業: 三角形の解法：正弦定理と余弦定理.
8. あいまいな場合. 角 $A$ 、隣辺 $c$ 、対辺 $a$ が与えられたとき、可能な三角形は $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ の正の根に対応し、 $a$ を $c \sin A$ および $c$ とどう比べるかに応じて、存在しないか、一つか、二つである。
  使う結果: 6. 実数の正弦と余弦, 8. ピタゴラスの恒等式, 21. 余弦定理. 支え: F (関数と多項式). 証明される授業: 三角形の解法：正弦定理と余弦定理.
9. 二つのベクトルのなす角. $\theta$ が零でないベクトル $\vec{u}$ と $\vec{v}$ のなす角ならば、 $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ が成り立つ。
  使う結果: 21. 余弦定理. 支え: G (解析幾何). 証明される授業: 三角形の解法：正弦定理と余弦定理.
第 3 区間第二の座標系
- 負の動径を認めて、点のすべての極座標による表し方を記述する。
- 象限に応じて補正した逆正接によって、直交座標から極座標へ移る。
- 極座標で距離を計算し、対称性の判定法によって極方程式の曲線を描く。
- 焦点を極にもつ 2 次曲線を書き表し、その方程式から種類、頂点、通径を読み取る。
1. 点の表し方. 組 $(r_1, \theta_1)$ と $(r_2, \theta_2)$ が極と異なる同じ点を表すのは、 $r_2 = r_1$ かつ $\theta_2 - \theta_1$ が $\pi$ の偶数倍であるとき、または $r_2 = -r_1$ かつ $\theta_2 - \theta_1$ が $\pi$ の奇数倍であるとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 4. 1 周目への帰着, 6. 実数の正弦と余弦, 8. ピタゴラスの恒等式. 支え: H (対称性). 証明される授業: 極座標と極方程式の曲線.
2. 直交座標から極座標へ. すべての点 $(x, y)$ （極と異なる）は、 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ かつ $\theta$ が $\ioc{-\pi}{\pi}$ に属する表し方をただ一つもつ。 $x \neq 0$ ならば、その角は $\arctan \frac{y}{x}$ であり、これに $\pi$ を加えるか引く（ $x < 0$ のとき）。
  使う結果: 25. 点の表し方, 17. 逆関数. 支え: A (弧長に沿った移動), G (解析幾何), H (対称性). 証明される授業: 極座標と極方程式の曲線.
3. 極座標における距離. 距離 $d$ （点 $(r_1, \theta_1)$ と $(r_2, \theta_2)$ の間の）は、動径の符号にかかわらず $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ を満たす。
  使う結果: 4. 1 周目への帰着, 21. 余弦定理, 25. 点の表し方. 支え: H (対称性). 証明される授業: 極座標と極方程式の曲線.
4. 対称性の判定法. 極方程式の曲線の方程式が、 $\theta$ を $-\theta$ に、 $\theta$ を $\pi - \theta$ に、または $r$ を $-r$ に置き換えて同値な方程式になるならば、その曲線はそれぞれ始線、直線 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 、極に関して対称である。
  使う結果: 6. 実数の正弦と余弦. 支え: H (対称性). 証明される授業: 極座標と極方程式の曲線.
5. 2 次曲線の極方程式. $e > 0$ かつ $d > 0$ のとき、極までの距離が $e$ と直線 $x = d$ までの距離との積である点は、 $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ のグラフをなす。
  使う結果: 25. 点の表し方. 支え: G (解析幾何), H (対称性). 証明される授業: 極座標と極方程式の曲線.
6. 極方程式で表された 2 次曲線の要素. 2 次曲線 $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ において、始線は焦点軸であり、一つの頂点は極から距離 $\frac{ed}{1 + e}$ にあり、通径の長さは $2ed$ である。 $e < 1$ ならば、長半径は $\frac{ed}{1 - e^2}$ である。
  使う結果: 28. 対称性の判定法, 29. 2 次曲線の極方程式. 支え: G (解析幾何). 証明される授業: 極座標と極方程式の曲線.

解析的三角法へ. 鎖は角の和の正弦と余弦の手前で止まる。対称性がそれらを与えるのは、和をなす角の一方が $\frac{\pi}{2}$ の倍数のときだけである。次の単元は和と差の公式を導き、それらによって恒等式を証明し、三角方程式を一般に解き、軸の回転によって 2 次の方程式を分類する。

コースのなかの単元

この単元は、コース II の最初の単元であり、明確な箇所でコース I に基づいている。1 周目への帰着は、コース I の整除の課の余りのある割り算を、コース I の有理数の小数表示の課のアルキメデスの性質によって実数に移したものであり、扇形の面積は、コース I の実数直線の課の有理数の稠密性によってすべての角に拡張された。逆関数は、コース I の関数の演算の課の逆関数と変換の定理を用い、漸近線は符号表によって調べた。単位円、傾き、ベクトル、内積、2 次曲線はコース I の平面の解析幾何の単元に由来し、その単元の円錐曲線の課が焦点と準線の定理を与えた。そして、コース I の双曲線関数の課は、この単元が完成させる類比を先取りしていた。正弦と余弦が円 $x^2 + y^2 = 1$ を描くように、双曲線正弦と双曲線余弦は双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ を描く。

しかし、単元全体を貫く問いが答えられないまま残っている。角の和の正弦と余弦を、和をなす各角の正弦と余弦からどう計算するのか。対称性がそれに答えるのは、一方の角が $\frac{\pi}{2}$ の倍数のときだけである。 $\frac{\pi}{12}$ や $\frac{\pi}{10}$ の値は特別な幾何的作図を必要とする。そして、極座標の課で予告した、極形式の二つの複素数の積も、この問いにかかっている。次の単元は、解析的三角法への導入から始まり、和と差の公式によってこの問いに答え、それらによって恒等式を証明し、三角方程式を一般に解き、軸の回転によって 2 次の方程式を分類する。