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Topos Uranos
日本語

極座標と極方程式の曲線

要約

この課では、平面上の点を名指す第二の方法を紹介する。定点である極からの距離と、定まった半直線である始線となす角によって点を表す方法である。負の動径を許す約束を採用し、一つの点のすべての表し方を記述し、極座標と直交座標の間の変換公式を象限に応じた逆正接の補正とともに導き、二点間の距離を余弦定理によって求める。次に、直線と円の極方程式、対称性の判定法、そしてカージオイド、バラ曲線、アルキメデスの渦巻線、パスカルの蝸牛線の値の表による描き方を学び、最後に、焦点が極にある 2 次曲線の極方程式を導いて、そこからその種類、頂点、通径を読みとる。

学習目標

  1. 点を極座標で表し、一つの点のすべての表し方を見分け、極座標から直交座標へ、またその逆へと移ることができる。
  2. 極座標で距離を計算し、直線と円の方程式を一方の座標系から他方へ、極を失うことも付け加えることもなく書き換えることができる。
  3. 対称性の判定法と値の表を極方程式の曲線の描画に応用できる。カージオイド、バラ曲線、渦巻線、蝸牛線である。
  4. 焦点が極にある 2 次曲線の極方程式を導き、そこから離心率、頂点、通径を読みとることができる。

極座標

直交座標は、コース I の直線の方程式と直交座標系の課で学んだもので、点を二本の垂直な直線への符号つき距離によって表す。しかし、多くの曲線は、定点からの距離と、そこから見た方向によって、より自然に記述される。中心のまわりの円、一定の割合で開いていく渦巻線、太陽のまわりを回る惑星の軌道などである。これらには極座標の系が適している。それは定点 OO（極）と、そこから出る定まった半直線（始線）からなる。二つの系を共存させるため、極を原点に置き、始線を横軸の正の部分に重ねる。

rr と θ\theta を二つの実数とする。極座標が (r,θ)(r, \theta) の点とは、直交座標が下の式で与えられる平面上の点である。

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

r>0r > 0 のとき、それは極からの距離が rr で、標準の位置にある角 θ\theta の動径上にある点である（標準の位置は角とその大きさの課で学んだ）。すなわち、単位円上の点 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)（三角比の課で定義した）の座標を rr 倍した点である。数 rr を動径といい、角 θ\theta（弧度法で測る）を偏角という。

この定義は r=0r = 0 と r<0r < 0 も許し、これがこの課の約束である。r=0r = 0 のときは、θ\theta がどんな値でも極が得られる。r<0r < 0 のときは、極からの距離が −r-r で、θ\theta の向きと反対の向きにある点が得られる。三角比の課の対称性 cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta と sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta により、組 (−r,θ)(-r, \theta) と (r,θ+π)(r, \theta + \pi) は同じ点を与える。

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

多くの本は r≥0r \geq 0 を要求する。負の動径を許すことには二つの利点があり、この課ではそれを活用する。極を通り方向が α\alpha の直線は方程式 θ=α\theta = \alpha で丸ごと表され、バラ曲線のような曲線は途切れずに描かれる。その代価として、一つの点がより多くの表し方をもつ。このことから、今のうちに定めておくべき規則が導かれる。点が極方程式の曲線に属するのは、その表し方のどれか一つが方程式をみたすときであり、ほかの表し方がそれをみたさなくてもかまわない。

補題点の表し方

(r1,θ1)(r_1, \theta_1) を、極と異なる点 PP の表し方の一つとする。組 (r2,θ2)(r_2, \theta_2) も PP を表すための必要十分条件は、r2=r1r_2 = r_1 かつ θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi（kk はある整数）、または r2=−r1r_2 = -r_1 かつ θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi（kk はある整数）となることである。極は、組 (0,θ)(0, \theta)（θ\theta は任意）で表される点である。

ピタゴラスの恒等式と、角とその大きさの課における動径が一致する角の特徴づけを用いる。二つの角が単位円の同じ点を与えるのは、それらが 2π2\pi の整数倍だけ異なるときに限る。

証明

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    点の極からの距離は、選んだ表し方によらない。ピタゴラスの恒等式により、x2+y2x^2 + y^2 は r2r^2 に等しい。したがって、同じ点の二つの表し方は r22=r12r_2^2 = r_1^2 をみたし、極は r=0r = 0 となる唯一の点である。

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0 ならば、両方の点の座標を r1r_1 で割る。単位円上の点 (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) と (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) が一致し、それは二つの角の動径が一致するときに限って起こる。

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    r2=−r1r_2 = -r_1 ならば、組 (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) は (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi) と同じ点を与え、前の議論により、θ2+π\theta_2 + \pi は θ1\theta_1 と動径が一致する。2k−12k - 1 は、kk が整数全体を動くとき奇数全体を動くので、これが補題の主張である。

こうして、極座標が (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) の点は、表し方 (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) と (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right) ももつ（一回転多いか一回転少ないもの）。さらに (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) や (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right) ももつ（反対の向きを見て、後ろ向きにとるもの）。

直交座標から極座標へ

公式 x=rcos⁡θx = r \cos \theta と y=rsin⁡θy = r \sin \theta は、極座標から直交座標への移り方を与える。逆の移り方では、可能なすべての表し方から一つを選ぶ必要がある。ふつうとるのは、r>0r > 0 で、θ\theta が区間 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} にあるものである。角を求めるには、逆三角関数の課の逆正接関数を用いる。この関数は (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} に値をとり、したがって第一象限と第四象限の角しか見ない。残りの二つの象限では、π\pi を加えるか引くかして補正しなければならない。

定理直交座標から極座標へ

極と異なる任意の点 (x,y)(x, y) は、極座標による表し方 (r,θ)(r, \theta)（ただし r>0r > 0 かつ θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}）をただ一つもつ。その動径は r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2} であり、その偏角は下の公式の五つの場合によって与えられる。

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

考え方は、問題を単位円に帰着させることである。そこでは、極を通る直線の傾きが互いに反対側にある二点を定め、横座標の符号がそのどちらかを決める。

証明

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    前の補題により r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2 であり、r>0r > 0 なので動径は平方根である。rr で割ると、求める角は単位円上の点 QQ の角である。この点は、角とその大きさの課で認めた弧長に沿った移動の公理の被覆の性質により存在し、その角は (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} の中でただ一つである。この区間（長さ 2π2\pi）の二つの角は、動径が一致しえないからである。

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    x=0x = 0 ならば、点 QQ は (0,1)(0, 1) または (0,−1)(0, -1) であり（yy の符号による）、正弦と余弦の主な角の値により、角は π2\frac{\pi}{2} または −π2-\frac{\pi}{2} である。

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    x≠0x \neq 0 ならば、θ\theta の正接は、極と点を結ぶ直線の傾き m=yxm = \frac{y}{x} である。角 α=arctan⁡m\alpha = \arctan m はこの正接をもち、(−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} にある。そこでは余弦は正である。

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    単位円上には、極から見た傾きが mm である点がちょうど二つある。(u,v)(u, v) がその一つならば、v=muv = mu かつ u2+v2=1u^2 + v^2 = 1 である。二点は互いに反対側にあるので、一方の横座標は正、他方は負である。角 α+π\alpha + \pi の対称性により、それらは角 α\alpha と α+π\alpha + \pi の点である。

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    x>0x > 0 ならば、点 QQ の横座標は正で、θ=α\theta = \alpha である。x<0x < 0 ならば、それは α+π\alpha + \pi の点である。さらに y≥0y \geq 0 のときは、傾きは負または零で、α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0} であり、α+π\alpha + \pi はすでに (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi} にある。y<0y < 0 のときは、傾きは正で、一回転を引く必要があり、α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi となる。

たとえば、点 (−1,1)(-1, 1) は第二象限にある。その動径は 2\sqrt{2} であり、arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} なので、偏角は −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} である。yx\frac{y}{x} の逆正接を xx と yy の符号を別々に考えずに与える電卓は −π4-\frac{\pi}{4} を返すが、これは反対側の点 (1,−1)(1, -1) の角である。