三角形の解法：正弦定理と余弦定理

記法と前提となる事実

三角比についての課では、鋭角の正弦、余弦、正接を直角三角形の辺の比として定義し、その後、単位円によってすべての角に広げた。したがって、直角三角形はこれらの比と三平方の定理で解ける。ところが、幾何や土地の測量に現れる三角形の大部分は直角を一つももたない。この課の目的は、それらをすべて解くことである。

頂点が $A$、$B$、$C$ の三角形では、同じ大文字が頂点と、その頂点における三角形の内角の大きさを表し、対応する小文字が対辺の長さを表す。すなわち、$a$ は辺 $BC$ の長さ、$b$ は辺 $CA$ の長さ、$c$ は辺 $AB$ の長さである。三角形の面積を $S$ で表し、二点 $P$ と $Q$ の距離を $\operatorname{d}(P, Q)$ で表す。三角形の解法の慣習に従い、角は度で表す。ところが、三角関数は実数に対して定義されており、その実数はラジアンで測った大きさである。角とその大きさについての課の換算規則により、$g$ 度の角の大きさは $\frac{\pi g}{180}$ ラジアンであるから、次の約束をおく。$\sin g^\circ$ は $\sin \frac{\pi g}{180}$ を表し、ほかの関数についても同様とする。たとえば $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ である。同じように、値を $\icc{0}{\pi}$ にとる逆余弦は、角の大きさをラジアンで返し、それを度で表す。等式 $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ は $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$ を意味し、これは $120^\circ$ の角のラジアンで測った大きさである。この約束のもとで、以下のことはすべて、$180^\circ$ を $\pi$ に置き換えればラジアンでも同じように成り立つ。角とその大きさについての課と同じく、初等幾何の一つの事実を認める。このコースは総合幾何を展開しないので、それを証明しない。その事実とは、三角形の三つの角の和は二直角に等しいということである。

このことから、三角形の各角は $0^\circ$ と $180^\circ$ の間に厳密にあり、そのうち直角または鈍角であるものは高々一つである。さらに、この単元のこれまでの課から次の事実を用いる。

• 原点からの距離が $r$ で、横軸の正の半軸と角 $\theta$ をなす半直線上にある点の座標は $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$ である。これは、$\theta$ に対応する単位円上の点を $r$ 倍したものである。
• ピタゴラスの恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ と、補角の対称性 $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ および $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$。
• $0^\circ < \theta < 180^\circ$ ならば、$\theta$ の正弦は正である。余弦は、$\theta$ が鋭角ならば正、直角ならば 0、鈍角ならば負である。
• 余弦は $0^\circ$ と $180^\circ$ の間で狭義に減少し、この区間で $-1$ と $1$ の間の各値をちょうど一度ずつとる。したがって、逆三角関数についての課により、三角形の角はその余弦によって定まる。すなわち $\theta = \arccos x$ である。

これに対して、正弦は三角形の角を定めない。角 $\theta$ と $180^\circ - \theta$ は同じ正弦をもち、逆正弦関数はそのうちの鋭角のほうしか返さない。正弦と余弦のこの非対称性によって、最後から二番目の節で、ある種のデータが異なる二つの三角形を許す理由が説明される。