बीजीय भिन्न और आंशिक भिन्न

सारांश

यह पाठ संख्याओं के भिन्नों की गणना को बहुपदों के भागफलों तक ले जाता है। इसमें बीजीय भिन्न और उसका प्रांत परिभाषित किया जाता है; यह सिद्ध किया जाता है कि उभयनिष्ठ गुणनखंड का निरसन केवल मूल प्रांत पर ही समता है, जिससे आलेख में हटाए गए बिंदु की व्याख्या होती है; और दो बीजीय भिन्नों की समता को सर्वसमिका सिद्धांत द्वारा पहचाना जाता है। हरों के लघुत्तम समापवर्त्य से योग, गुणनफल, भागफल और जटिल भिन्नों का अध्ययन होता है, और भिन्नों तथा करणियों वाले समीकरण हल किए जाते हैं, उन हलों पर ध्यान रखते हुए जो हर हटाने या वर्ग करने पर प्रकट होते हैं। अंत में यह सिद्ध किया जाता है कि जिस उचित बीजीय भिन्न के हर के सभी मूल एकल हों, वह केवल एक ही प्रकार से आंशिक भिन्नों में वियोजित होता है, और उसके गुणांक एक गुणनखंड को ढककर निकाले जा सकते हैं; फिर वियोजन को पुनरावृत्त गुणनखंडों (उसकी अद्वितीयता के अलग प्रमाण के साथ) और अखंडनीय द्विघात गुणनखंडों तक बढ़ाकर दूरदर्शी योगों की गणना में लगाया जाता है।

अधिगम उद्देश्य

बीजीय भिन्न का प्रांत ज्ञात करना, उसे सही ढंग से सरल करना और उसके आलेख में हटाए गए बिंदुओं को पहचानना।
हरों के लघुत्तम समापवर्त्य से बीजीय भिन्नों को जोड़ना, गुणा करना और भाग देना, तथा जटिल भिन्नों को सरल करना।
भिन्नों और करणियों वाले समीकरण हल करना, अपवर्जित मानों और वर्ग करने से जुड़े हलों को छोड़ते हुए।
बीजीय भिन्नों को आंशिक भिन्नों में वियोजित करना, वियोजन को सिद्ध करना और उसे दूरदर्शी योगों में लगाना।

बीजीय भिन्न

बीजीय भिन्न दो बहुपदों का भागफल $\frac{P}{Q}$ है, जहाँ $Q$ शून्य नहीं है। यह उस परिमेय फलन को परिभाषित करता है जो प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ को $\frac{P(x)}{Q(x)}$ देता है; यह उसी प्रकार का फलन है जिसका अध्ययन बीजीय फलनों वाले पाठ में हुआ। इसका प्रांत उन वास्तविक संख्याओं से बनता है जो हर को शून्य नहीं करतीं; शेष संख्याएँ अपवर्जित मान कहलाती हैं। घात $n$ वाले शून्येतर बहुपद के अधिक से अधिक $n$ मूल होते हैं (बहुपदों के बीजगणित वाले पाठ के अनुसार), इसलिए अपवर्जित मान सदा परिमित होते हैं, और उन्हें ज्ञात करने के लिए हर का गुणनखंडन उच्च घात वाले बहुपदों के मूलों वाले पाठ की विधियों से किया जाता है। आगे से बीजीय भिन्नों के बीच की समता को उन सभी वास्तविक संख्याओं पर मान्य समझा जाएगा जहाँ दोनों पक्ष परिभाषित हैं; जब दोनों पक्षों के प्रांत मेल न खाएँ, तब यह स्पष्ट कहा जाएगा।

सरलीकरण

संख्याओं का भिन्न अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देकर सरल किया जाता है, जैसा परिमेय संख्याओं वाले पाठ में देखा गया। बीजीय भिन्नों के साथ भी यही किया जाता है, परंतु अब उभयनिष्ठ गुणनखंड एक बहुपद है जो कुछ बिंदुओं पर शून्य हो सकता है; इसलिए सरल किया गया भिन्न वहाँ भी परिभाषित हो सकता है जहाँ आरंभिक भिन्न परिभाषित नहीं था।

उपप्रमेयसरलीकरण

मान लीजिए $P$ , $Q$ और $C$ बहुपद हैं, जिनमें $Q$ और $C$ शून्येतर हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या पर जो $QC$ को शून्य न करे, भागफल $\frac{PC}{QC}$ का मान $\frac{P}{Q}$ के मान के बराबर होता है। $\frac{PC}{QC}$ का प्रांत $\frac{P}{Q}$ के प्रांत में से $C$ के मूल हटाने पर मिलता है; इसलिए दोनों भिन्न एक ही फलन तभी हैं जब दूसरे को पहले के प्रांत तक सीमित किया जाए।

\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

बीजीय फलनों वाले पाठ की गुणनफल के चिह्न वाली प्रमेयिका और परिमेय संख्याओं वाले पाठ की विस्तारण वाली प्रमेयिका का उपयोग होता है (जो वास्तविक संख्याओं के लिए भी ज्यों की त्यों मान्य है)। चित्र प्रमाण को $P = x - 3$ , $Q = x - 2$ और $C = x + 3$ की स्थिति में दिखाता है।

प्रमाण

$\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}$
मान लीजिए $x_0$ कोई वास्तविक संख्या है जो $QC$ को शून्य नहीं करती। वास्तविक संख्याओं का गुणनफल तभी और केवल तभी शून्य होता है जब कोई गुणनखंड शून्य हो; इसलिए न $Q$ और न $C$ बिंदु $x_0$ पर शून्य होते हैं।
$\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0$
संख्या $c = C(x_0)$ शून्येतर है, और विस्तारण वाली प्रमेयिका के अनुसार भिन्न के दोनों पदों को इससे गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता।
$\operatorname{dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}$
यही तुल्यता प्रांत का वर्णन करती है: कोई वास्तविक संख्या $\frac{PC}{QC}$ के प्रांत में तभी और केवल तभी है जब वह $\frac{P}{Q}$ के प्रांत में हो और $C$ को शून्य न करे।
$C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}$
किसी मूल $r$ पर (जो $C$ का मूल हो पर $Q$ का नहीं) सरल किया गया भिन्न परिभाषित है, आरंभिक भिन्न नहीं। आरंभिक भिन्न का आलेख सरल किए गए भिन्न का आलेख है जिसमें से वह बिंदु हटा दिया गया है, और उस बिंदु को खाली वृत्त से दिखाया जाता है; चित्र में वह $r = -3$ है।

आरंभिक फलन हटाए गए बिंदु के पास कैसा व्यवहार करता है, इसका अध्ययन चिह्न-सारणियों और असमिकाओं वाले पाठ में होता है।

केवल उभयनिष्ठ गुणनखंड ही निरस्त किए जा सकते हैं; इसीलिए सरल करने से पहले अंश और हर का गुणनखंडन करना पड़ता है। उभयनिष्ठ पद गुणनखंड नहीं होता, और उसे काट देना भूल है: उदाहरण के लिए $x$ को ( $\frac{x + 2}{x + 4}$ में) काटने पर स्थिर मान $\frac{2}{4}$ मिलता है, जबकि इस भिन्न का मान $\frac{2}{3}$ है (जब $x = 2$ ) और $\frac{3}{5}$ है (जब $x = 1$ )।

उदाहरणसरलीकरण और हटाया गया बिंदु

भिन्न $\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}$ को सरल कीजिए और उसके आलेख का वर्णन कीजिए। चित्र संख्या रेखा पर अपवर्जित मान अंकित करता है और फिर सरल किए गए भिन्न को उस बिंदु के साथ खींचता है जो आरंभिक भिन्न में नहीं है।

प्रमाण

$\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}$
अंश (वर्गों का अंतर) और हर (मूल $-3$ और $2$ वाला त्रिपद) का गुणनखंडन किया जाता है।
$\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}$
अपवर्जित मान हर के मूल हैं: प्रांत संख्या रेखा है जिसमें से ये दो बिंदु हटा दिए गए हैं।
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}$
सरलीकरण वाली प्रमेयिका के अनुसार गुणनखंड $x + 3$ , जो प्रांत पर शून्य नहीं होता, निरस्त किया जा सकता है। सरल किए गए भिन्न का प्रांत बड़ा है: वह केवल संख्या $2$ को अपवर्जित करता है।
$\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}$
बिंदु $-3$ पर सरल किए गए भिन्न का मान $\frac{6}{5}$ है और आरंभिक भिन्न परिभाषित नहीं है: आरंभिक भिन्न का आलेख सरल किए गए भिन्न का वक्र है जिसमें से भुज $-3$ वाला बिंदु हटा दिया गया है।

दो भिन्नों की समता

संख्याओं के दो भिन्न $\frac{p}{q}$ और $\frac{r}{s}$ तभी और केवल तभी बराबर होते हैं जब $ps = qr$ । बीजीय भिन्नों के लिए भी ऐसी ही कसौटी मान्य है, और उसका प्रमाण बहुपदों के एक तथ्य पर टिका है: जो सर्वसमिका परिमित संख्या को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं पर मान्य हो, वह उन संख्याओं पर भी मान्य होती है।

उपप्रमेयपरिमित बिंदुओं को छोड़कर सर्वसमिका

यदि दो बहुपद सभी वास्तविक संख्याओं पर, अधिक से अधिक परिमित संख्या को छोड़कर, एक ही मान लेते हैं, तो उनके गुणांक समान होते हैं और वे सभी वास्तविक संख्याओं पर एक ही मान लेते हैं।

यह विरोधोक्ति द्वारा, बहुपदों के बीजगणित वाले पाठ की अलग-अलग मूलों वाली प्रमेयिका से सिद्ध किया जाता है। चित्र दोनों बहुपदों के अंतर को $x$ अक्ष पर खींचता है और दो अपवादी बिंदु अंकित करता है।

प्रमाण

$\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}$
मान लीजिए $A$ और $B$ दो बहुपद हैं, $D = A - B$ उनका अंतर है, और $s_1, \ldots, s_m$ वे वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ वे मेल नहीं भी खा सकते। अन्य सभी वास्तविक संख्याओं पर अंतर शून्य होता है।
$t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}$
यदि $D$ शून्य बहुपद न होता, तो उसकी कोई घात $k$ होती, और अलग-अलग मूलों वाली प्रमेयिका के अनुसार उसके अधिक से अधिक $k$ मूल होते। परंतु $k + m + 1$ प्राकृत संख्याओं $1, 2, \ldots, k + m + 1$ में से कम से कम $k + 1$ अपवादी नहीं हैं (उन्हें $t_1, \ldots, t_{k + 1}$ कहिए), और वे सभी $D$ के मूल हैं: विरोधाभास।
$\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}$
अतः $D$ शून्य बहुपद है: उसके सभी गुणांक शून्य हैं, $A$ और $B$ सर्वसमिका सिद्धांत की तरह गुणांक-दर-गुणांक मेल खाते हैं, और वे सभी वास्तविक संख्याओं पर, बिंदुओं $s_1, \ldots, s_m$ पर भी, एक ही मान लेते हैं।

प्रमेयबीजीय भिन्नों की समता

मान लीजिए $\frac{P}{Q}$ और $\frac{R}{S}$ दो बीजीय भिन्न हैं। वे उन सभी वास्तविक संख्याओं पर एक ही मान तभी और केवल तभी लेते हैं जो $QS$ को शून्य नहीं करतीं, जब बहुपद $PS$ और $QR$ बराबर हों।

\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

चित्र प्रमाण को पिछले उदाहरण के भिन्नों $\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}$ और $\frac{x - 3}{x - 2}$ के साथ दिखाता है।

प्रमाण

$\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}$
मान लीजिए दोनों भिन्न $QS$ के मूलों के बाहर मेल खाते हैं। $Q(x) S(x)$ से गुणा करने पर दो बहुपदों के मानों के बीच एक समता मिलती है, जो परिमित संख्या को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं पर मान्य है, क्योंकि $QS$ शून्येतर है और उसके मूल परिमित हैं।
$\resaltar{PS = QR}$
परिमित बिंदुओं को छोड़कर सर्वसमिका वाली प्रमेयिका के अनुसार $PS$ और $QR$ एक ही बहुपद हैं; उदाहरण में दोनों गुणनफल $x^3 - 2x^2 - 9x + 18$ हैं।
$PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}$
विलोमतः, यदि $PS = QR$ है, तो $Q(x) S(x)$ से भाग देना पर्याप्त है (उन वास्तविक संख्याओं पर जो इसे शून्य नहीं करतीं), विस्तारण वाली प्रमेयिका के अनुसार।

यह प्रमेय वज्र-गुणन द्वारा सरलीकरण की जाँच को उचित ठहराता है। प्रमेयिका आंशिक भिन्नों में वियोजन की कुंजी है: हर के मूलों पर वे भिन्न परिभाषित नहीं हैं जिनसे सर्वसमिका आती है, फिर भी प्रमेयिका के कारण उस सर्वसमिका में मूल रखे जा सकते हैं।

इस पाठ के शेष भाग में

बीजीय भिन्नों पर संक्रियाएँ
योग और लघुत्तम समापवर्त्य
गुणनफल और भागफल
जटिल भिन्न
सामान्य भूलें
भिन्नों और करणियों वाले समीकरण
आंशिक भिन्नों में वियोजन
पुनरावृत्त रैखिक गुणनखंड
अखंडनीय द्विघात गुणनखंड
दूरदर्शी योगों में अनुप्रयोग
हल किए गए प्रश्न
क्रमशः सरल होने वाला योग
तीन संख्याओं वाली सर्वसमिका
प्राचल वाला समीकरण
अखंडनीय गुणनखंड वाला अनुचित भिन्न
तीन गुणनखंडों वाला दूरदर्शी योग
अभ्यास प्रश्न
समांतर क्रम में दो प्रतिरोध
तीन संख्याओं वाली एक और सर्वसमिका
वियोजन से हल होने वाला समीकरण
अनंत हलों वाला समीकरण
द्विघात गुणनखंडों वाला दूरदर्शी योग

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