एकदिष्टता और प्रथम अवकलज परीक्षण

अवकलज का चिह्न और एकदिष्टता

परिवर्तन की दरें वाले पाठ का साध्य “किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न” $a$ के निकट के प्रत्येक मान की तुलना $f(a)$ से करता है, और इससे अधिक कुछ नहीं: फलन $x + 2x^2 \sin \frac{1}{x}$, जिसे मान $0$ देकर $0$ पर पूरा किया गया है, का अवकलज $1$ है (बिंदु $0$ पर), और वह ऐसे किसी भी अंतराल में वर्धमान नहीं है जिसमें $0$ हो। किसी पूरे अंतराल के बारे में जानकारी पाने के लिए उसके सभी बिंदुओं पर अवकलज का चिह्न जानना आवश्यक है, और माध्यमान प्रमेय, जो फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय वाले पाठ में है, उस ज्ञान को मानों की तुलना में बदल देती है। याद करें कि बीजगणित और ज्यामिति I के फलनों की संक्रियाओं वाले पाठ के अनुसार फलन $f$ समुच्चय $I$ पर वर्धमान है यदि उसके सभी बिंदुओं के लिए $x < y$ से $f(x) \leq f(y)$ निकलता हो, और दृढ़तः वर्धमान यदि उससे $f(x) < f(y)$ निकलता हो:

और ह्रासमान यदि उससे $f(x) \geq f(y)$ निकलता हो, या दृढ़तः ह्रासमान यदि $f(x) > f(y)$।

अवकलज केवल आंतरिक बिंदुओं पर माँगा जाता है; अंतराल में सम्मिलित अंत्य बिंदुओं पर सांतत्य पर्याप्त है। इस प्रकार $\sqrt{x}$, $\ico{0}{\infty}$ पर दृढ़तः वर्धमान है, यद्यपि वह $0$ पर अवकलनीय नहीं है। प्रमेय अवकलजों वाली इकाई की तीन घोषणाओं को पूरा करती है। प्रारंभिक फलनों के अवकलज वाले पाठ ने देखा था कि स्पर्शज्या का अवकलज, $1 + \tan^2 x$, धनात्मक है, यद्यपि स्पर्शज्या अपने प्रांत पर, जो अंतराल नहीं है, वर्धमान नहीं है; प्रत्येक अंतराल $\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}$ पर, जहाँ $k$ पूर्णांक है, प्रमेय उसे दृढ़तः वर्धमान बना देती है। घातांक में चर वाले पाठ ने अवकलज $x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$ परिकलित किया था, जो $\ioo{0}{e}$ पर धनात्मक और $\ioo{e}{\infty}$ पर ऋणात्मक है; चूँकि फलन $\ioo{0}{\infty}$ पर संतत है, वह $\ioc{0}{e}$ पर दृढ़तः वर्धमान और $\ico{e}{\infty}$ पर दृढ़तः ह्रासमान है। इससे उस पाठ का, $x$ घात $\frac{1}{x}$ के उच्चिष्ठ वाला साध्य पुनः प्राप्त होता है, और साथ ही $e$ के एक ही ओर की दो संख्याओं की तुलना भी होती है: चूँकि $e < 3 < 4$, अतः $3^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}$, अर्थात् $3^4 > 4^3$। उसी पाठ ने सिद्ध किया था कि $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ का अवकलज प्रत्येक $x > 0$ के लिए धनात्मक है: फलन $\ioo{0}{\infty}$ पर दृढ़तः वर्धमान है।

किसी विवृत अंतराल के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय फलन के लिए, अतः, वर्धमान होना अऋणात्मक अवकलज होने के तुल्य है। विलोम दृढ़ एकदिष्टता तक विस्तारित नहीं होता: $x^3$, $\mathbb{R}$ पर दृढ़तः वर्धमान है, और उसका अवकलज $0$ पर शून्य होता है। साध्य आरंभ के उदाहरण की भी व्याख्या करता है: परिवर्तन की दरों वाले पाठ ने $0$ के मनचाहे निकट ऐसे बिंदु पाए थे जहाँ $x + 2x^2 \sin \frac{1}{x}$ का अवकलज ऋणात्मक है, और ऐसे किसी भी अंतराल में जिसमें वे हों, फलन वर्धमान नहीं हो सकता। दोष यह है कि वह अवकलज $0$ पर संतत नहीं है; यदि वह संतत हो, तो किसी बिंदु पर चिह्न एक अंतराल तक फैल जाता है।

अऋणात्मक अवकलज वाला फलन दृढ़तः वर्धमान कब होता है? $x^3$ का उदाहरण दिखाता है कि अवकलज किसी बिंदु पर शून्य हो सकता है; जो वह नहीं कर सकता, वह है किसी पूरे अंतराल पर शून्य होना।

फलन $x + \sin x$, जो प्रतिलोम फलन का अवकलज वाले पाठ के हल किए गए प्रश्न 1 का है, का अवकलज $1 + \cos x \geq 0$ है, जो अनंत बिंदुओं $\pi + 2k\pi$ पर शून्य होता है; उनमें से दो क्रमागत बिंदुओं के बीच अवकलज धनात्मक है, और कोई भी अंतराल शून्यों से नहीं बना है। साध्य उसे $\mathbb{R}$ पर दृढ़तः वर्धमान बना देता है, जो उस पाठ ने दो ज्याओं के अंतर के सूत्र से प्राप्त किया था और जो वहाँ आश्चर्यजनक लगता था। यही विवेचन परिमित संख्या में अवकलज-रहित बिंदुओं को भी स्वीकार करता है: यदि $f$, $I$ पर संतत है और अपने सभी आंतरिक बिंदुओं पर, $x_1 < \dots < x_k$ को छोड़कर, धनात्मक अवकलज रखता है, तो प्रमेय उसे उनमें से दो क्रमागत बिंदुओं के बीच के प्रत्येक अंतराल पर (और सिरों वाले भागों पर) दृढ़तः वर्धमान बना देती है, और असमिकाएँ आपस में जुड़ जाती हैं। इस प्रकार $\sqrt[3]{x}$, $\mathbb{R}$ पर दृढ़तः वर्धमान है, यद्यपि वह $0$ पर अवकलनीय नहीं है। सांतत्य को हटाया नहीं जा सकता (अभ्यास प्रश्न 1)।

अवकलजों वाली इकाई के मूल्यांकन यह मानकर चलते थे कि $x^5 + x$ और $x^3 + 2x + 1$, $\mathbb{R}$ पर दृढ़तः वर्धमान हैं; अब इतना देखना पर्याप्त है कि उनके अवकलज, $5x^4 + 1$ और $3x^2 + 2$, धनात्मक हैं। और $x e^x$ के प्रतिलोम वाली चुनौती, जो उस इकाई के सारांश में थी और जिसमें अवकलज के चिह्न के बिना यह सिद्ध करना था कि वह फलन $\ico{-1}{\infty}$ पर दृढ़तः वर्धमान है, अब एक पंक्ति में निपट जाती है: वह वहाँ संतत है और उसका अवकलज, $(1 + x) e^x$, $\ioo{-1}{\infty}$ पर धनात्मक है।