उच्च कोटि के अवकलज और अवकल

उच्च कोटि के अवकलज

किसी फलन का अवकलज एक अन्य फलन है, और उसका फिर से अवकलन करने में कोई बाधा नहीं है। $x^3$ का अवकलज $3x^2$ है, और $3x^2$ का $6x$; $6x$ का $6$ है, और $6$ का $0$। यदि $s(t)$, क्षण $t$ पर किसी गतिमान वस्तु की स्थिति है, तो उसका अवकलज $s'(t)$ वेग है, और वेग का अवकलज, जो मापता है कि वेग स्वयं कितनी तेज़ी से बदलता है, त्वरण है; परिवर्तन की दरें वाला पाठ इस व्याख्या का अध्ययन करेगा। सीमा के रूप में अवकलज वाले पाठ की तरह, यह सटीक रूप से निर्धारित करना उचित है कि प्रत्येक अवकलज कहाँ परिभाषित है।

लाइबनिज़ संकेतन में, अंश का घातांक बताता है कि संक्रिया $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ कितनी बार लागू की जाती है, और हर का घातांक पूरे चिह्न $\mathrm{d}x$ पर लागू होता है, चर $x$ पर नहीं; पूरा चिह्न $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$ एक समग्र के रूप में पढ़ा जाता है। यदि $f$ किसी बिंदु पर $n$ बार अवकलनीय है, तो $n$ से कम कोटि का प्रत्येक अवकलज उस बिंदु पर अवकलनीय है और, सीमा के रूप में अवकलज वाले पाठ के उस प्रमेय से जिसके अनुसार अवकलनीयता से सांतत्य प्राप्त होता है, वहाँ संतत है। प्रथम कोटि का अवकलज होते हुए भी द्वितीय कोटि का अवकलज अनुपस्थित हो सकता है: अवकलन के नियम वाले पाठ ने दिखाया कि $x \abs{x}$ पूरे $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है, अवकलज $2\abs{x}$ के साथ, और निरपेक्ष मान $0$ पर अवकलनीय नहीं है, अवकलनीयता के बिना सांतत्य वाले साध्य के अनुसार। अतः $x \abs{x}$, $\mathbb{R}$ पर एक बार अवकलनीय है और दो बार केवल $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ पर, जहाँ उसका द्वितीय कोटि का अवकलज $2$ के बराबर है ($0$ के दाईं ओर) और $-2$ के बराबर (बाईं ओर)।

प्रांत के बारे में परिकल्पनाओं को न दोहराने के लिए, सामान्य प्रमेयों के फलनों को एक विवृत अंतराल $I$ पर परिभाषित माना जाता है, जिसके सभी बिंदु $I$ के संचय बिंदु हैं। इससे कुछ नहीं खोया जाता: अवकलन के नियम वाले पाठ की अवकलज की स्थानीय प्रकृति वाली प्रमेयिका के दूसरे कथन से, प्रांत में अंतर्विष्ट किसी विवृत अंतराल के बिंदु पर किसी फलन का अवकलज अंतराल पर उसके प्रतिबंध का अवकलज होता है, और आगमन से यही बात उच्च कोटि के अवकलजों के लिए भी होती है। इस प्रकार $\frac{1}{x}$ का अध्ययन $\ioo{-\infty}{0}$ पर और $\ioo{0}{\infty}$ पर किया जाता है।