Η εξίσωση της υπερβολής και η εξαγωγή της

Ορισμός της υπερβολής

Στο μάθημα για την εξίσωση της έλλειψης και του κύκλου, η έλλειψη ορίστηκε ως το σύνολο των σημείων των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο εστίες είναι σταθερό. Η υπερβολή προκύπτει αν το άθροισμα αντικατασταθεί από τη διαφορά.

Έστω $F_1$ και $F_2$ δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, οι εστίες, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση $2c$, και έστω $a$ ένας αριθμός με $0 < a < c$. Υπερβολή με εστίες $F_1$ και $F_2$ λέγεται το σύνολο των σημείων $P$ του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από τις εστίες διαφέρουν ακριβώς κατά $2a$, όποια κι αν είναι η πλησιέστερη εστία.

Συμβολικά, αν $d_1$ και $d_2$ είναι οι αποστάσεις του $P$ από το $F_1$ και από το $F_2$, το σημείο $P$ ανήκει στην υπερβολή όταν ικανοποιεί μία από τις δύο εξισώσεις που ακολουθούν· τα σημεία που ικανοποιούν την πρώτη είναι πιο κοντά στο $F_2$ και αποτελούν έναν κλάδο, και όσα ικανοποιούν τη δεύτερη, πιο κοντά στο $F_1$, αποτελούν τον άλλο:

Η συνθήκη $0 < a < c$ δεν είναι αυθαίρετη. Στο τρίγωνο με κορυφές $P$, $F_1$ και $F_2$, η διαφορά δύο πλευρών είναι πάντα μικρότερη από την τρίτη, που έχει μήκος $2c$· από αυτό έπεται ότι κανένα σημείο εκτός της ευθείας που διέρχεται από τις εστίες δεν μπορεί να έχει διαφορά αποστάσεων ίση με $2c$ ή μεγαλύτερη. Αν $a = c$, τα μόνα σημεία που ικανοποιούν τη συνθήκη είναι εκείνα των δύο ημιευθειών που ξεκινούν από τις εστίες προς τα έξω, και αν $a > c$, δεν υπάρχει κανένα· ο πρώτος από αυτούς τους ισχυρισμούς έπεται από την περίπτωση ισότητας της τριγωνικής ανισότητας, που αποδείχθηκε στο μάθημα για τα διανύσματα στο επίπεδο: εφαρμοσμένη στα $\vec{u} = \vec{PF_2}$ και $\vec{v} = \vec{F_2F_1}$, η ισότητα $\operatorname{d}(P, F_1) = \operatorname{d}(P, F_2) + 2c$ απαιτεί το ένα από αυτά τα διανύσματα να είναι γινόμενο του άλλου επί έναν μη αρνητικό αριθμό, δηλαδή το $P$ να βρίσκεται πάνω στην ευθεία των εστιών και το $F_2$ να βρίσκεται ανάμεσα στο $P$ και στο $F_1$ (ή να συμπίπτει με το $P$)· αν $a = 0$, η συνθήκη λέει ότι το $P$ ισαπέχει από τις εστίες και περιγράφει τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις εστίες. Κανένα από αυτά τα σύνολα δεν είναι υπερβολή, και γι’ αυτό αποκλείονται.

Το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις εστίες είναι το κέντρο της υπερβολής, και η ευθεία που διέρχεται από τις εστίες είναι ο εστιακός άξονας της. Τα δύο σημεία της υπερβολής που βρίσκονται πάνω στον εστιακό άξονα είναι οι κορυφές της· η απόσταση μεταξύ τους είναι $2a$, οπότε κάθε κορυφή απέχει $a$ από το κέντρο.