Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η εξίσωση της έλλειψης και του κύκλου

Περίληψη

Αυτό το μάθημα ορίζει την έλλειψη ως το σύνολο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία, τις εστίες, είναι σταθερό, και συνάγει από αυτόν τον ορισμό την ανηγμένη εξίσωσή της, ελέγχοντας ότι η διαδικασία ούτε προσθέτει ούτε χάνει σημεία. Προσδιορίζει τους ημιάξονες και την εστιακή απόσταση, καθώς και την πυθαγόρεια σχέση τους· μετατοπίζει την εξίσωση για να λάβει ελλείψεις με κέντρο σε οποιοδήποτε σημείο και μεγάλο άξονα οριζόντιο ή κατακόρυφο, και λαμβάνει τον κύκλο ως την περίπτωση κατά την οποία οι δύο εστίες συμπίπτουν. Κλείνει με την ανεπτυγμένη εξίσωση, από την οποία, με συμπλήρωση τετραγώνων, κρίνεται αν περιγράφει έλλειψη, κύκλο, ένα μόνο σημείο ή κανένα σημείο.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να διατυπώνει τον ορισμό της έλλειψης μέσω των εστιών της, να αιτιολογεί τη συνθήκη που πρέπει να πληροί το άθροισμα των αποστάσεων και να συνάγει από αυτήν την ανηγμένη εξίσωση.
  2. Να αναγνωρίζει το κέντρο, τους ημιάξονες, τις κορυφές και τις εστίες μιας έλλειψης με άξονες παράλληλους προς τους άξονες συντεταγμένων.
  3. Να αναγνωρίζει ελλείψεις και κύκλους σε μια ανεπτυγμένη εξίσωση με συμπλήρωση τετραγώνων, και να διακρίνει τις περιπτώσεις στις οποίες η εξίσωση περιγράφει ένα σημείο ή κανένα σημείο.
  4. Να λύνει προβλήματα τομής, επαφής και γεωμετρικών τόπων που οδηγούν σε ελλείψεις.

Ορισμός της έλλειψης

Όπως στο μάθημα για την εξίσωση της παραβολής, το σημείο εκκίνησης είναι μια γεωμετρική ιδιότητα εκφρασμένη μέσω αποστάσεων, οι οποίες υπολογίζονται με τον τύπο που είδαμε στο μάθημα για την εξίσωση της ευθείας.

Έστω F1F_1 και F2F_2 δύο σημεία του επιπέδου και aa ένας αριθμός μεγαλύτερος από το μισό της απόστασής τους. Η έλλειψη με εστίες F1F_1 και F2F_2 είναι το σύνολο των σημείων PP του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τις εστίες ισούται με 2a2a.

Η συνθήκη που επιβλήθηκε στο aa δεν είναι λεπτομέρεια. Από την τριγωνική ανισότητα, που αποδείχθηκε μαζί με την περίπτωση ισότητάς της στο μάθημα για τα διανύσματα στο επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου PP από τις εστίες είναι μεγαλύτερο ή ίσο με την απόσταση μεταξύ τους, και η ισότητα ισχύει μόνο στα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις εστίες. Συνεπώς, αν το 2a2a ήταν ίσο με την απόσταση των εστιών, το σύνολο θα ήταν αυτό το ευθύγραμμο τμήμα, και αν ήταν μικρότερο, δεν θα περιείχε κανένα σημείο· μόνο όταν το 2a2a υπερβαίνει την απόσταση των εστιών προκύπτει καμπύλη.

Το μέσο των εστιών είναι το κέντρο της έλλειψης, και η ευθεία που διέρχεται και από τις δύο, ο εστιακός άξονας. Αν 2c2c είναι η απόσταση των εστιών, ο αριθμός cc είναι η εστιακή απόσταση, και η παραπάνω συνθήκη γράφεται a>c≥0a > c \geq 0.