Χαρακτηρισμός των παραβολών και οι γραφικές τους παραστάσεις

Οι δύο μορφές της εξίσωσης

Στο μάθημα για την εξίσωση της παραβολής είδαμε ότι η παραβολή με κατακόρυφο άξονα, κορυφή στο $(h, k)$, εστία $(h, k + f)$ και διευθετούσα $y = k - f$, όπου $f \neq 0$, ικανοποιεί την εξίσωση που εδώ θα ονομάζουμε μορφή κορυφής· η απόλυτη τιμή του $f$ είναι η εστιακή απόσταση, και το πρόσημό του δείχνει προς τα πού ανοίγει η καμπύλη:

Αποδείχθηκε επίσης, στο θεώρημα των γραφικών παραστάσεων των τριωνύμων δευτέρου βαθμού, ότι, αν λύσουμε ως προς $y$, η εξίσωση αυτή γίνεται δευτεροβάθμιο πολυώνυμο και ότι, αντίστροφα, η γραφική παράσταση κάθε δευτεροβάθμιου πολυωνύμου είναι παραβολή με κατακόρυφο άξονα. Πολυωνυμική μορφή θα ονομάζουμε την εξίσωση

Και οι δύο περιγράφουν την ίδια καμπύλη, αλλά δεν δείχνουν την ίδια πληροφορία: η μορφή κορυφής φανερώνει τη γεωμετρία (κορυφή, εστία, διευθετούσα), ενώ η πολυωνυμική μορφή φανερώνει το σημείο τομής με τον άξονα $y$, που είναι το $(0, c)$, και επιτρέπει τον υπολογισμό των σημείων τομής με τον άξονα $x$ με την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Ο χαρακτηρισμός μιας παραβολής συνίσταται στη συγκέντρωση των εξής δεδομένων, με τα οποία σχεδιάζεται πρόχειρα η γραφική της παράσταση:

1. Η φορά του ανοίγματος: προς τα πάνω ή προς τα κάτω.
2. Η κορυφή και ο άξονας συμμετρίας.
3. Η εστία και η διευθετούσα.
4. Τα σημεία τομής με τον άξονα $x$, αν υπάρχουν, και το σημείο τομής με τον άξονα $y$.