Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η εξίσωση της παραβολής: ορισμοί και ιδιότητες

Περίληψη

Το μάθημα αυτό ορίζει την παραβολή ως το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο, την εστία, και από μια σταθερή ευθεία, τη διευθετούσα, και συνάγει από τον ορισμό αυτόν την εξίσωσή της. Με τη μετατόπιση γραφικών παραστάσεων βρίσκει την εξίσωση μιας παραβολής με κορυφή σε οποιοδήποτε σημείο και δείχνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των τριωνύμων δευτέρου βαθμού είναι ακριβώς οι παραβολές με κατακόρυφο άξονα: η συμπλήρωση τετραγώνου δίνει την κορυφή, την εστία και τη διευθετούσα τους. Κλείνει με την τομή παραβολών και ευθειών, και με τις εφαπτόμενες ευθείες.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να διατυπώνει τον ορισμό της παραβολής μέσω της εστίας και της διευθετούσας και να συνάγει από αυτόν την εξίσωσή της.
  2. Να μετατοπίζει γραφικές παραστάσεις αντικαθιστώντας το xx με το x−hx - h και το yy με το y−ky - k.
  3. Να βρίσκει την κορυφή, την εστία και τη διευθετούσα μιας παραβολής που δίνεται από τριώνυμο δευτέρου βαθμού.
  4. Να προσδιορίζει την τομή μιας παραβολής με μια ευθεία και τις εφαπτόμενες ευθείες με δοσμένη κλίση.

Δύο προκαταρκτικές ιδέες

Η απόσταση δύο σημείων

Ο ορισμός της παραβολής στηρίζεται σε αποστάσεις. Όπως είδαμε στο μάθημα για την εξίσωση της ευθείας, η απόσταση δύο σημείων του επιπέδου προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Η απόσταση ενός σημείου (x,y)(x, y) από μια οριζόντια ευθεία y=cy = c είναι το μήκος του κατακόρυφου ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει, δηλαδή η διαφορά του yy και του cc παρμένη με θετικό πρόσημο. Είναι βολικό να γράφεται ως η ρίζα του τετραγώνου αυτής της διαφοράς, που είναι πάντα θετική ή μηδέν:

(y−c)2\sqrt{(y - c)^2}

Η μετατόπιση γραφικών παραστάσεων

Το θεώρημα των μετασχηματισμών μιας γραφικής παράστασης, που αποδείχθηκε στο μάθημα για τις πράξεις συναρτήσεων, λέει ότι η γραφική παράσταση της y=f(x−h)+ky = f(x - h) + k είναι εκείνη της y=f(x)y = f(x) μετατοπισμένη κατά hh μονάδες προς τα δεξιά και κατά kk προς τα πάνω. Η απόδειξή του δεν χρησιμοποιεί ότι η καμπύλη είναι γραφική παράσταση συνάρτησης: ισχύει για οποιαδήποτε εξίσωση μεταξύ xx και yy, επειδή το σημείο (a,b)(a, b) ικανοποιεί την αρχική εξίσωση ακριβώς όταν το σημείο (a+h,b+k)(a + h, b + k) ικανοποιεί εκείνη που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε το xx με το x−hx - h και το yy με το y−ky - k. Έτσι θα μετατοπίζονται οι εξισώσεις των παραβολών.

ΠαράδειγμαΜετατόπιση μιας παραβολής

Ξεκινάμε από τη γραφική παράσταση της y=x2y = x^2 και τη μετατοπίζουμε μία μονάδα προς τα δεξιά και μία προς τα πάνω.

Απόδειξη

  1. y=x2y = x^2

    Η αρχική γραφική παράσταση έχει το χαμηλότερο σημείο της στην αρχή των αξόνων.

  2. y=(x−1)2y = (x - \resaltar{1})^2

    Αντικαθιστούμε το xx με το x−1x - 1: κάθε σημείο μετατοπίζεται μία μονάδα προς τα δεξιά, και το χαμηλότερο σημείο πηγαίνει στο (1,0)(1, 0).

  3. y−1=(x−1)2y - \resaltar{1} = (x - 1)^2

    Αντικαθιστούμε επιπλέον το yy με το y−1y - 1: η γραφική παράσταση ανεβαίνει μία μονάδα και το χαμηλότερο σημείο πηγαίνει στο (1,1)(1, 1).