Πίνακες και αλγεβρικές δομές: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για τους πίνακες και τις αλγεβρικές δομές. Συγκεντρώνει σε μια αποδεικτική αλυσίδα όσα πέτυχαν τα επτά μαθήματά της: το γινόμενο πινάκων, που γεννήθηκε από τη σύνθεση γραμμικών αντικαταστάσεων· την πλήρη επίλυση των γραμμικών συστημάτων με τη μέθοδο Γκάους-Ζορντάν και το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους· την ορίζουσα ως προσανατολισμένο εμβαδόν και ως κριτήριο μοναδικότητας· τον αντίστροφο πίνακα και τις συνθήκες που είναι ισοδύναμες με την αντιστρεψιμότητα· την ανάγνωση των πινάκων ως μετασχηματισμών του επιπέδου· το αντίγραφο των μιγαδικών αριθμών μέσα στους πίνακες· και τις έννοιες της ομάδας, του δακτυλίου με την αλγεβρική έννοια, του σώματος και του ισομορφισμού, που δίνουν όνομα σε ό,τι είναι κοινό σε όλους αυτούς τους υπολογισμούς. Εξηγεί πώς η ενότητα αξιοποιεί αποτελέσματα των ενοτήτων που προηγήθηκαν και του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I, τι έγινε δεκτό χωρίς απόδειξη και πώς προετοιμάζει την ενότητα που ακολουθεί, για την αναλυτική γεωμετρία του χώρου, και τον κύκλο μαθημάτων Λογισμός I. Κλείνει με δέκα προκλήσεις μεγαλύτερης δυσκολίας από τα προβλήματα των μαθημάτων, που συνδυάζουν περισσότερα από ένα από αυτά.

Μαθησιακοί στόχοι

Να ανασυνθέτει την αλυσίδα ορισμών και θεωρημάτων της ενότητας, από το γινόμενο πινάκων έως τους ισομορφισμούς, εξηγώντας ποιο αποτέλεσμα στηρίζεται σε ποιο.
Να συνδέει τα αποτελέσματα της ενότητας με εκείνα των ενοτήτων που προηγήθηκαν και του πρώτου κύκλου μαθημάτων, ιδίως με τα γραμμικά συστήματα, τα διανύσματα, τη στροφή των αξόνων, την πολική μορφή και την αριθμητική των υπολοίπων, να διακρίνει τα αποδεδειγμένα από όσα έγιναν δεκτά και να προβλέπει τη χρήση τους στη γεωμετρία του χώρου.
Να λύνει προβλήματα που συνδυάζουν ορίζουσες, αντιστρόφους, μετασχηματισμούς, πίνακες μιγαδικών και αλγεβρικές δομές, επιλέγοντας κάθε φορά το κατάλληλο εργαλείο.
Να μεταφέρει ένα πρόβλημα από μια δομή σε άλλη μέσω μιας αντιστοιχίας που διατηρεί τις πράξεις, και να χρησιμοποιεί τις αναλλοίωτες ενός ισομορφισμού για να κρίνει αν δύο ομάδες είναι η ίδια.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Η άλγεβρα των πινάκων και τα γραμμικά συστήματα

Αφετηρία ήταν μια παρατήρηση για τις γραμμικές αντικαταστάσεις. Στο μάθημα για τους πίνακες και τις πράξεις με πίνακες, ο πίνακας της σύνθετης αντικατάστασης προέκυψε πολλαπλασιάζοντας γραμμή επί στήλη τους πίνακες των δύο αντικαταστάσεων, και ο κανόνας αυτός θεωρήθηκε ορισμός του γινομένου. Από αυτόν προέκυψαν η προσεταιριστικότητα, μέσω της εναλλαγής της σειράς δύο αθροισμάτων, η επιμεριστικότητα και ο ουδέτερος ρόλος του μοναδιαίου πίνακα· και, προς την αντίθετη κατεύθυνση, φάνηκε ότι το γινόμενο δεν είναι αντιμεταθετικό, ότι δέχεται διαιρέτες του μηδενός και ότι υπάρχουν μη μηδενικοί πίνακες με κάποια δύναμη μηδενική. Ο ανάστροφος αντιστρέφει τη σειρά των παραγόντων, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ , και το ίχνος δεν διακρίνει τη σειρά, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , οπότε η εξίσωση $AB - BA = I$ δεν έχει λύση σε καμία τάξη.

Με το γινόμενο, κάθε γραμμικό σύστημα γράφτηκε ως μία μόνο εξίσωση $AX = B$ . Το μάθημα για τα γραμμικά συστήματα και τη μέθοδο Γκάους-Ζορντάν απέδειξε ότι οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών διατηρούν τις λύσεις και ότι κάθε πίνακας ανάγεται σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή· απέδειξε, με επαγωγή ως προς το πλήθος των στηλών, ότι η μορφή αυτή είναι μοναδική, οπότε η βαθμίδα δεν εξαρτάται από τον δρόμο της απαλοιφής, και απέδειξε το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους: το σύστημα είναι συμβιβαστό αν και μόνο αν $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ , και τότε οι λύσεις του εξαρτώνται από $n - r$ ελεύθερες παραμέτρους. Από αυτό προέκυψε ότι ένα γραμμικό σύστημα δεν έχει ποτέ ακριβώς δύο λύσεις, και ότι ένα ομογενές σύστημα με λιγότερες εξισώσεις από αγνώστους έχει μη τετριμμένες λύσεις.

Η ορίζουσα και ο αντίστροφος

Όμως, για τα τετραγωνικά συστήματα ενδιαφέρει να κριθεί η μοναδικότητα χωρίς να διανυθεί όλη η απαλοιφή. Το μάθημα για τις ορίζουσες, τις ιδιότητές τους και τον κανόνα του Κράμερ ερμήνευσε την ορίζουσα τάξης δύο ως προσανατολισμένο εμβαδόν, την όρισε αναδρομικά σε κάθε τάξη, απέδειξε με επαγωγή ως προς την τάξη τις έξι ιδιότητές της και τις χρησιμοποίησε για να την υπολογίσει με αναγωγή. Αν αυτό ισχύει, κάθε στοιχειώδης πράξη πολλαπλασιάζει την ορίζουσα με έναν μη μηδενικό αριθμό, και από αυτό προέκυψε ότι $\det A \neq 0$ αν και μόνο αν $\operatorname{rank}(A) = n$ . Το θεώρημα του γινομένου, $\det(AB) = \det A \det B$ , αποδείχθηκε εκεί σε τάξη δύο με άμεσο υπολογισμό, και ο κανόνας του Κράμερ, αποδεδειγμένος σε κάθε τάξη με τα αλγεβρικά συμπληρώματα μιας στήλης, εξέφρασε κάθε άγνωστο ως πηλίκο οριζουσών.

Το μάθημα για τον αντίστροφο πίνακα ολοκλήρωσε αυτόν τον κύκλο θεμάτων. Απέδειξε ότι ο αντίστροφος είναι μοναδικός, ότι υπάρχει αν και μόνο αν η ορίζουσα δεν είναι μηδενική, και ότι είναι ο προσαρτημένος πίνακας διαιρεμένος με την ορίζουσα· ότι ο αντίστροφος ενός γινομένου αντιστρέφει τη σειρά των παραγόντων· και ότι κάθε στοιχειώδης πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός με έναν στοιχειώδη πίνακα, οπότε η μέθοδος Γκάους-Ζορντάν μετατρέπει τον $\left( A, I \right)$ στον $\left( I, A^{-1} \right)$ χωρίς υπολογισμό οριζουσών. Όλα αυτά συγκεντρώθηκαν σε ένα μόνο θεώρημα ισοδυναμιών, που συνδέει τα τέσσερα μαθήματα που προηγήθηκαν· από αυτό συνάχθηκε ότι αρκεί να ελεγχθεί ένα από τα δύο γινόμενα του ορισμού, και με τους στοιχειώδεις πίνακες αποδείχθηκε σε κάθε τάξη το θεώρημα του γινομένου των οριζουσών:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rank}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

Η γεωμετρία των πινάκων

Το μάθημα για τους πίνακες ως μετασχηματισμούς του επιπέδου έδωσε σε αυτόν τον λογισμό γεωμετρικό νόημα. Από το θεώρημα των στηλών, οι πίνακες τάξης δύο είναι ακριβώς οι γραμμικοί μετασχηματισμοί του επιπέδου, και καθένας καθορίζεται από τις εικόνες των δύο βασικών διανυσμάτων· με αυτή την αρχή βρέθηκαν οι πίνακες των στροφών, των προβολών, των ανακλάσεων, των ομοιοθεσιών και των διατμήσεων. Η σύνθεση μετασχηματισμών αποδείχθηκε ότι είναι ο πολλαπλασιασμός των πινάκων τους, οπότε $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ και $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ · η ορίζουσα αποδείχθηκε ότι είναι ο παράγοντας με τον οποίο πολλαπλασιάζονται τα εμβαδά, με αρνητικό πρόσημο αν αντιστρέφεται ο προσανατολισμός· και η στροφή των αξόνων της εξίσωσης δευτέρου βαθμού γράφτηκε ως η μετάβαση από τον $M$ στον $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , με το ίχνος και την ορίζουσα ως αναλλοίωτες.

Το μάθημα για τους μιγαδικούς αριθμούς ως πίνακες εφάρμοσε αυτή την ανάγνωση στον πολλαπλασιασμό επί έναν μιγαδικό. Η αντιστοιχία $M(a + bi) = aI + bJ$ είναι ένα προς ένα και διατηρεί το άθροισμα και το γινόμενο· σε αυτήν το τετράγωνο του μέτρου είναι η ορίζουσα, ο συζυγής είναι ο ανάστροφος, ο αντίστροφος αριθμός είναι ο αντίστροφος πίνακας και η πολική μορφή είναι μια στροφή ακολουθούμενη από μια ομοιοθεσία, $M(z) = r R_\theta$ . Από αυτό προέκυψε ότι οι τύποι του Όιλερ και του Ντε Μουάβρ είναι ο κανόνας σύνθεσης των στροφών, ότι οι πίνακες των μιγαδικών είναι ακριβώς εκείνοι που αντιμετατίθενται με τον $J$ , και ότι τα τετρανίονα του Χάμιλτον δέχονται επίσης αναπαράσταση με πίνακες, των οποίων το γινόμενο δεν είναι πλέον αντιμεταθετικό.

Οι δομές

Τέλος, το μάθημα για τις αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτυλίους και σώματα απομόνωσε το κοινό στοιχείο. Ομάδα είναι ένα σύνολο με μια προσεταιριστική πράξη, με ουδέτερο και με αντίστροφα· σε κάθε ομάδα, το ουδέτερο και τα αντίστροφα είναι μοναδικά, ισχύει η διαγραφή και $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , χωρίς χρήση της αντιμεταθετικότητας. Οι κυκλικές υποομάδες και τα σύμπλοκα οδήγησαν στο θεώρημα του Λαγκράνζ: η τάξη μιας υποομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας. Οι δακτύλιοι με την αλγεβρική έννοια και τα σώματα πρόσθεσαν μια δεύτερη πράξη, και, με βάση το θεώρημα των αντιστρέψιμων υπολοίπων του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις ισοτιμίες, αποδείχθηκε ότι το $\mathbb{Z}_n$ είναι σώμα αν και μόνο αν ο $n$ είναι πρώτος. Οι ισομορφισμοί, τέλος, έδωσαν ακρίβεια στην ιδέα ότι δύο συστήματα με τον ίδιο πίνακα πράξεων είναι το ίδιο σύστημα.

Άρα η ενότητα σχηματίζει μια αλυσίδα: η σύνθεση δίνει το κίνητρο για το γινόμενο· το γινόμενο επιτρέπει να γραφτούν τα συστήματα ως εξισώσεις $AX = B$ · η απαλοιφή τα λύνει και η βαθμίδα τα ταξινομεί· η ορίζουσα κρίνει τη μοναδικότητα και ο αντίστροφος την εκφράζει· η σύνθεση μετασχηματισμών επιστρέφει στο γινόμενο το γεωμετρικό του νόημα· οι μιγαδικοί εμφανίζονται ως μια οικογένεια μετασχηματισμών κλειστή ως προς το άθροισμα και τη σύνθεση· και η έννοια της ομάδας δείχνει ότι η μοναδικότητα του αντιστρόφου ενός πίνακα, του αντιστρόφου ενός αριθμού και της στροφής που αναιρεί μια άλλη είναι ένα μόνο θεώρημα. Το σχήμα που ακολουθεί συγκεντρώνει τα τέσσερα τμήματα σε μία μόνο αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους κρίκους που προηγούνται και που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με μια συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με μια διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από εκείνα που γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη ή προέρχονται από ενότητες που προηγήθηκαν ή από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων, τα οποία σχεδιάζονται ως κενοί κύκλοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

AΕπαγωγή. Αν μια ιδιότητα ισχύει για την πρώτη περίπτωση και περνά από κάθε περίπτωση στην αμέσως μεγαλύτερη, ισχύει σε όλες· αποδείχθηκε στην ενότητα 1 του πρώτου κύκλου μαθημάτων και χρησιμεύει εδώ για τα διπλά αθροίσματα, την απαλοιφή, τις δυνάμεις και τις στροφές. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
BΠροσεταιριστικότητα του γινομένου. Ισχύει $(AB)C = A(BC)$ όποτε τα γινόμενα ορίζονται, ώστε ένα γινόμενο πολλών πινάκων ομαδοποιείται κατά βούληση χωρίς να αλλάζει η σειρά των παραγόντων. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 2. Ιδιότητες του γινομένου.
CΘεώρημα των στηλών. Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός του επιπέδου είναι ο μετασχηματισμός ενός μοναδικού πίνακα, του οποίου οι στήλες είναι οι εικόνες του $\vec{e}_1$ και του $\vec{e}_2$ . Θεμελιώνεται στον κρίκο: 16. Οι στήλες του πίνακα.
DΤύποι αθροίσματος. Το ημίτονο και το συνημίτονο ενός αθροίσματος, μιας διαφοράς και της διπλάσιας γωνίας, αποδεδειγμένα στην ενότητα 2, για την αναλυτική τριγωνομετρία. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
EΔιανύσματα του επιπέδου. Η απόσταση ενός σημείου από μια ευθεία, η ορθογώνια προβολή και το κριτήριο παραλληλίας, αποδεδειγμένα στην ενότητα 4 του πρώτου κύκλου μαθημάτων, για την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
FΕμβαδόν του παραλληλογράμμου. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι το γινόμενο μιας βάσης επί το αντίστοιχο ύψος· γίνεται δεκτό, όπως στη στοιχειώδη γεωμετρία, στην απόδειξη του θεωρήματος του προσανατολισμένου εμβαδού. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
GΥπόλοιπα και ισοτιμίες. Η διαίρεση με υπόλοιπο, η ισοτιμία modulo $n$ , η συμβατότητά της με το άθροισμα και το γινόμενο, οι κλάσεις υπολοίπων και το θεώρημα των αντιστρέψιμων υπολοίπων, σύμφωνα με το οποίο ο $a$ έχει αντίστροφο modulo $n$ αν και μόνο αν $\operatorname{\text{ΜΚΔ}}(a, n) = 1$ , αποδεδειγμένα στην ενότητα 1 του πρώτου κύκλου μαθημάτων, στα μαθήματα για τη διαιρετότητα και για τις ισοτιμίες. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.

Τμήμα 1 Η άλγεβρα των πινάκων και τα γραμμικά συστήματα
- Να ορίζει το γινόμενο πινάκων με αφετηρία τη σύνθεση γραμμικών αντικαταστάσεων και να γράφει κάθε γραμμικό σύστημα ως μια εξίσωση $AX = B$ .
- Να αποδεικνύει την προσεταιριστικότητα, την επιμεριστικότητα και τον ουδέτερο ρόλο του μοναδιαίου πίνακα, και να αναγνωρίζει ότι το γινόμενο δεν είναι αντιμεταθετικό και δέχεται διαιρέτες του μηδενός.
- Να αποδεικνύει ότι ο ανάστροφος αντιστρέφει τη σειρά των παραγόντων και ότι το ίχνος δεν διακρίνει τη σειρά.
- Να αποδεικνύει ότι η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή είναι μοναδική και να ορίζει με αυτήν τη βαθμίδα.
- Να λύνει κάθε γραμμικό σύστημα με τη μέθοδο Γκάους-Ζορντάν και να το ταξινομεί με το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους.
1. Γινόμενο πινάκων. Το στοιχείο $(i, j)$ του $AB$ είναι το άθροισμα των γινομένων της γραμμής $i$ του $A$ επί τη στήλη $j$ του $B$ · έτσι προκύπτει ο πίνακας της σύνθεσης δύο γραμμικών αντικαταστάσεων, και κάθε γραμμικό σύστημα γράφεται ως $AX = B$ .
  Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πίνακες και πράξεις με πίνακες.
2. Ιδιότητες του γινομένου. Λόγω της εναλλαγής της σειράς δύο αθροισμάτων, το γινόμενο πινάκων είναι προσεταιριστικό και επιμεριστικό ως προς την πρόσθεση, και οι μοναδιαίοι πίνακες είναι το ουδέτερό του· αντίθετα, δεν είναι αντιμεταθετικό και δέχεται διαιρέτες του μηδενός και μηδενοδύναμους πίνακες. Επιπλέον, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ και $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , οπότε η εξίσωση $AB - BA = I$ δεν έχει λύση.
  Χρησιμοποιεί: 1. Γινόμενο πινάκων. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πίνακες και πράξεις με πίνακες.
3. Μέθοδος Γκάους-Ζορντάν. Οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών μετατρέπουν ένα σύστημα σε άλλο ισοδύναμο, και κάθε πίνακας ανάγεται με αυτές, μετά από πεπερασμένο πλήθος πράξεων, σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή.
  Χρησιμοποιεί: 1. Γινόμενο πινάκων. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γραμμικά συστήματα και η μέθοδος Γκάους-Ζορντάν.
4. Μοναδικότητα της ανηγμένης μορφής. Δύο ανηγμένες κλιμακωτές μορφές στις οποίες καταλήγει κανείς από τον ίδιο πίνακα είναι ίσες, επειδή τα ομογενή συστήματά τους έχουν τις ίδιες λύσεις· συνεπώς η βαθμίδα, το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών οποιασδήποτε κλιμακωτής μορφής, δεν εξαρτάται από τις πράξεις που επιλέχθηκαν.
  Χρησιμοποιεί: 3. Μέθοδος Γκάους-Ζορντάν. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γραμμικά συστήματα και η μέθοδος Γκάους-Ζορντάν.
5. Ρουσέ-Φρομπένιους. Το σύστημα $AX = B$ , με επαυξημένο πίνακα $M$ και $n$ αγνώστους, είναι συμβιβαστό αν και μόνο αν $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ , και τότε είναι ορισμένο αν η βαθμίδα είναι $n$ και εξαρτάται από $n - r$ ελεύθερες παραμέτρους αν $r < n$ · ειδικότερα, το $AX = 0$ έχει μη τετριμμένες λύσεις αν και μόνο αν $\operatorname{rank}(A) < n$ .
  Χρησιμοποιεί: 3. Μέθοδος Γκάους-Ζορντάν, 4. Μοναδικότητα της ανηγμένης μορφής. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Γραμμικά συστήματα και η μέθοδος Γκάους-Ζορντάν.
Τμήμα 2 Η ορίζουσα και ο αντίστροφος
- Να ερμηνεύει την ορίζουσα τάξης δύο ως προσανατολισμένο εμβαδόν και να την ορίζει αναδρομικά σε κάθε τάξη.
- Να αποδεικνύει με επαγωγή ως προς την τάξη τις ιδιότητες της ορίζουσας, να την υπολογίζει με αναγωγή και να κρίνει με αυτήν τη μοναδικότητα των λύσεων.
- Να χαρακτηρίζει τους αντιστρέψιμους πίνακες και να υπολογίζει τον αντίστροφο με τον προσαρτημένο πίνακα και με τη μέθοδο Γκάους-Ζορντάν.
- Να συγκεντρώνει σε ένα μόνο θεώρημα τις συνθήκες που είναι ισοδύναμες με την αντιστρεψιμότητα, και να συνάγει από αυτό τον πλευρικό αντίστροφο και το θεώρημα του γινομένου των οριζουσών.
1. Προσανατολισμένο εμβαδόν. Η απόλυτη τιμή της ορίζουσας του πίνακα με στήλες $\vec{u}$ και $\vec{v}$ είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζουν, και το πρόσημό της δείχνει αν η στροφή από το $\vec{u}$ στο $\vec{v}$ είναι αντίθετη ή σύμφωνη με τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
  Στηρίζεται σε: E (Διανύσματα του επιπέδου), D (Τύποι αθροίσματος), F (Εμβαδόν του παραλληλογράμμου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ορίζουσες: ιδιότητες και κανόνας του Κράμερ.
2. Ιδιότητες της ορίζουσας. Με επαγωγή ως προς την τάξη, με αφετηρία το ανάπτυγμα κατά την πρώτη γραμμή, η ορίζουσα είναι γραμμική ως προς κάθε γραμμή, αλλάζει πρόσημο όταν εναλλάσσονται δύο γραμμές, μηδενίζεται αν μια γραμμή είναι μηδενική ή αν δύο είναι ίσες, δεν αλλάζει όταν προστίθεται σε μια γραμμή πολλαπλάσιο άλλης ούτε με την αναστροφή, ισούται με το γινόμενο της διαγωνίου σε έναν τριγωνικό πίνακα και αναπτύσσεται κατά οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη.
  Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ορίζουσες: ιδιότητες και κανόνας του Κράμερ.
3. Ορίζουσα και βαθμίδα. Ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης $n$ έχει μη μηδενική ορίζουσα, δηλαδή είναι ομαλός, αν και μόνο αν η βαθμίδα του είναι $n$ · συνεπώς το $AX = 0$ έχει μη μηδενικές λύσεις αν και μόνο αν ο $A$ είναι ιδιάζων, δηλαδή αν $\det A = 0$ .
  Χρησιμοποιεί: 3. Μέθοδος Γκάους-Ζορντάν, 4. Μοναδικότητα της ανηγμένης μορφής, 5. Ρουσέ-Φρομπένιους, 7. Ιδιότητες της ορίζουσας. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ορίζουσες: ιδιότητες και κανόνας του Κράμερ.
4. Κανόνας του Κράμερ. Αν $D = \det A \neq 0$ , το σύστημα $AX = B$ με $n$ εξισώσεις και $n$ αγνώστους έχει μοναδική λύση, $x_k = \frac{D_k}{D}$ , όπου η $D_k$ προκύπτει αν η στήλη $k$ αντικατασταθεί από τη στήλη των σταθερών όρων· αποδεικνύεται σε κάθε τάξη με τα αλγεβρικά συμπληρώματα της στήλης $k$ .
  Χρησιμοποιεί: 2. Ιδιότητες του γινομένου, 5. Ρουσέ-Φρομπένιους, 7. Ιδιότητες της ορίζουσας, 8. Ορίζουσα και βαθμίδα. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ορίζουσες: ιδιότητες και κανόνας του Κράμερ.
5. Μοναδικότητα του αντιστρόφου. Ένας τετραγωνικός πίνακας έχει το πολύ έναν αντίστροφο: αν $AB = BA = I$ και $AD = DA = I$ , τότε $B = D$ .
  Στηρίζεται σε: B (Προσεταιριστικότητα του γινομένου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αντίστροφος πίνακας.
6. Ορίζουσα και αντιστρεψιμότητα. Ένας τετραγωνικός πίνακας $A$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν $\det A \neq 0$ , δηλαδή αν είναι ομαλός, και τότε ο αντίστροφός του είναι ο προσαρτημένος πίνακας διαιρεμένος με την ορίζουσα· η αναγκαιότητα προκύπτει μέσω της βαθμίδας, χωρίς χρήση της ορίζουσας ενός γινομένου, και η επάρκεια μέσω του λήμματος των ξένων αλγεβρικών συμπληρωμάτων.
  Χρησιμοποιεί: 5. Ρουσέ-Φρομπένιους, 7. Ιδιότητες της ορίζουσας, 8. Ορίζουσα και βαθμίδα. Στηρίζεται σε: B (Προσεταιριστικότητα του γινομένου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αντίστροφος πίνακας.
7. Ιδιότητες του αντιστρόφου. Αν οι $A$ και $B$ είναι αντιστρέψιμοι, είναι επίσης οι $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ με $c \neq 0$ και $A^m$ , και ειδικότερα $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  Χρησιμοποιεί: 2. Ιδιότητες του γινομένου, 10. Μοναδικότητα του αντιστρόφου. Στηρίζεται σε: B (Προσεταιριστικότητα του γινομένου), A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αντίστροφος πίνακας.
8. Αντίστροφος με Γκάους-Ζορντάν. Κάθε στοιχειώδης πράξη είναι ο πολλαπλασιασμός με έναν αντιστρέψιμο στοιχειώδη πίνακα· αν η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του $A$ είναι ο $I$ , οι πράξεις μετατρέπουν τον $\left( A, I \right)$ στον $\left( I, A^{-1} \right)$ και ο $A$ είναι γινόμενο στοιχειωδών πινάκων, και αν δεν είναι, ο $A$ δεν είναι αντιστρέψιμος.
  Χρησιμοποιεί: 3. Μέθοδος Γκάους-Ζορντάν, 4. Μοναδικότητα της ανηγμένης μορφής, 12. Ιδιότητες του αντιστρόφου. Στηρίζεται σε: B (Προσεταιριστικότητα του γινομένου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αντίστροφος πίνακας.
9. Χαρακτηρισμοί και πλευρικός αντίστροφος. Για έναν τετραγωνικό πίνακα $A$ τάξης $n$ είναι ισοδύναμα: να είναι αντιστρέψιμος, να ισχύει $\det A \neq 0$ , κάθε σύστημα $AX = D$ να έχει μοναδική λύση, το $AX = 0$ να έχει μόνο την τετριμμένη λύση, να ισχύει $\operatorname{rank}(A) = n$ και η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του να είναι ο μοναδιαίος πίνακας. Από αυτό έπεται ότι, αν $AB = I$ ή $BA = I$ , τότε $B = A^{-1}$ .
  Χρησιμοποιεί: 5. Ρουσέ-Φρομπένιους, 4. Μοναδικότητα της ανηγμένης μορφής, 11. Ορίζουσα και αντιστρεψιμότητα, 13. Αντίστροφος με Γκάους-Ζορντάν. Στηρίζεται σε: B (Προσεταιριστικότητα του γινομένου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αντίστροφος πίνακας.
10. Ορίζουσα του γινομένου. Για όλους τους τετραγωνικούς πίνακες $A$ και $B$ της ίδιας τάξης ισχύει $\det(AB) = \det A \det B$ : αποδεικνύεται με τους στοιχειώδεις πίνακες αν ο $A$ είναι αντιστρέψιμος, και μέσω της βαθμίδας αν δεν είναι.
  Χρησιμοποιεί: 7. Ιδιότητες της ορίζουσας, 8. Ορίζουσα και βαθμίδα, 13. Αντίστροφος με Γκάους-Ζορντάν, 14. Χαρακτηρισμοί και πλευρικός αντίστροφος. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ο αντίστροφος πίνακας.
Τμήμα 3 Η γεωμετρία των πινάκων
- Να ταυτίζει τους πίνακες τάξης δύο με τους γραμμικούς μετασχηματισμούς του επιπέδου και να βρίσκει τους πίνακες των στροφών, των προβολών και των ανακλάσεων.
- Να μεταφράζει τη σύνθεση μετασχηματισμών στο γινόμενο πινάκων, και την ορίζουσα στον συντελεστή των εμβαδών.
- Να γράφει τη στροφή των αξόνων σε μορφή πινάκων, με το ίχνος και την ορίζουσα ως αναλλοίωτες.
- Να αναπαριστά τους μιγαδικούς αριθμούς ως πίνακες, με το μέτρο, τον συζυγή, τον αντίστροφο και την πολική μορφή.
1. Οι στήλες του πίνακα. Κάθε μετασχηματισμός με πίνακα είναι γραμμικός, και κάθε γραμμικός μετασχηματισμός του επιπέδου είναι ο μετασχηματισμός ενός μοναδικού πίνακα, εκείνου που έχει ως στήλες τα $T(\vec{e}_1)$ και $T(\vec{e}_2)$ .
  Χρησιμοποιεί: 2. Ιδιότητες του γινομένου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου.
2. Στροφές, προβολές και ανακλάσεις. Η στροφή κατά γωνία $\theta$ γύρω από την αρχή, η προβολή σε μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή και η ανάκλαση ως προς αυτήν είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί, με πίνακες $R_\theta$ , $P_\alpha$ και $S_\alpha$ .
  Στηρίζεται σε: C (Θεώρημα των στηλών), D (Τύποι αθροίσματος), E (Διανύσματα του επιπέδου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου.
3. Σύνθεση και γινόμενο. Αν ο $T$ είναι ο μετασχηματισμός με πίνακα $A$ και ο $U$ ο μετασχηματισμός με πίνακα $B$ , η σύνθεση $T \circ U$ είναι ο μετασχηματισμός με πίνακα $AB$ .
  Στηρίζεται σε: B (Προσεταιριστικότητα του γινομένου), C (Θεώρημα των στηλών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου.
4. Σύνθεση στροφών και ανακλάσεων. Ισχύουν $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ και $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  Χρησιμοποιεί: 17. Στροφές, προβολές και ανακλάσεις, 18. Σύνθεση και γινόμενο. Στηρίζεται σε: D (Τύποι αθροίσματος), A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου.
5. Η ορίζουσα ως συντελεστής εμβαδού. Ο μετασχηματισμός με πίνακα $A$ απεικονίζει το μοναδιαίο τετράγωνο στο παραλληλόγραμμο των στηλών του και πολλαπλασιάζει τα εμβαδά επί $\abs{\det A}$ , κάτι που γίνεται δεκτό για τις γενικές περιοχές· διατηρεί τον προσανατολισμό αν $\det A > 0$ και τον αντιστρέφει αν $\det A < 0$ .
  Χρησιμοποιεί: 6. Προσανατολισμένο εμβαδόν. Στηρίζεται σε: C (Θεώρημα των στηλών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου.
6. Αντιστρέψιμοι μετασχηματισμοί. Ο μετασχηματισμός με πίνακα $A$ είναι αμφιμονοσήμαντος αν και μόνο αν $\det A \neq 0$ , και τότε ο αντίστροφός του είναι ο μετασχηματισμός με πίνακα $A^{-1}$ · αν $\det A = 0$ , η εικόνα του περιέχεται σε μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή.
  Χρησιμοποιεί: 11. Ορίζουσα και αντιστρεψιμότητα, 18. Σύνθεση και γινόμενο. Στηρίζεται σε: E (Διανύσματα του επιπέδου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου.
7. Στροφή αξόνων με πίνακες. Όταν οι άξονες στραφούν κατά τη γωνία $\theta$ , ο συμμετρικός πίνακας $M$ μιας τετραγωνικής μορφής γίνεται $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , που έχει το ίδιο ίχνος και την ίδια ορίζουσα με τον $M$ .
  Χρησιμοποιεί: 2. Ιδιότητες του γινομένου, 7. Ιδιότητες της ορίζουσας, 15. Ορίζουσα του γινομένου, 19. Σύνθεση στροφών και ανακλάσεων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου.
8. Μιγαδικοί ως πίνακες. Η αντιστοιχία $M(a + bi) = aI + bJ$ είναι ένα προς ένα και διατηρεί το άθροισμα και το γινόμενο, και ο $J$ , ο πίνακας του $i$ , είναι η στροφή κατά ένα τέταρτο της πλήρους στροφής, της οποίας το τετράγωνο είναι $-I$ .
  Χρησιμοποιεί: 1. Γινόμενο πινάκων, 17. Στροφές, προβολές και ανακλάσεις. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι μιγαδικοί αριθμοί ως πίνακες.
9. Μέτρο, συζυγής και αντίστροφος. Η ορίζουσα του $M(z)$ είναι $\abs{z}^2$ , ο πίνακας του συζυγούς είναι ο ανάστροφος του $M(z)$ και, αν $z \neq 0$ , ο πίνακας του $z^{-1}$ είναι ο αντίστροφος του $M(z)$ .
  Χρησιμοποιεί: 10. Μοναδικότητα του αντιστρόφου, 20. Η ορίζουσα ως συντελεστής εμβαδού, 23. Μιγαδικοί ως πίνακες. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι μιγαδικοί αριθμοί ως πίνακες.
10. Πολική μορφή και Ντε Μουάβρ. Αν $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , τότε $M(z) = r R_\theta$ , μια στροφή ακολουθούμενη από μια ομοιοθεσία· και από τη $R_\theta^n = R_{n\theta}$ έπεται ο τύπος του Ντε Μουάβρ για κάθε ακέραιο εκθέτη.
  Χρησιμοποιεί: 19. Σύνθεση στροφών και ανακλάσεων, 23. Μιγαδικοί ως πίνακες, 24. Μέτρο, συζυγής και αντίστροφος. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι μιγαδικοί αριθμοί ως πίνακες.
Τμήμα 4 Οι δομές
- Να ορίζει τις ομάδες και να αποδεικνύει τις στοιχειώδεις ιδιότητές τους χωρίς χρήση της αντιμεταθετικότητας.
- Να μελετά τις κυκλικές υποομάδες και να αποδεικνύει το θεώρημα του Λαγκράνζ.
- Να ορίζει τους δακτυλίους με την αλγεβρική έννοια και τα σώματα και να κρίνει πότε τα υπόλοιπα $\mathbb{Z}_n$ σχηματίζουν σώμα.
- Να προσδιορίζει με τους ισομορφισμούς πότε δύο ομάδες είναι η ίδια δομή.
1. Ιδιότητες των ομάδων. Σε κάθε ομάδα το ουδέτερο και ο αντίστροφος κάθε στοιχείου είναι μοναδικά, ισχύει η διαγραφή από κάθε πλευρά και $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , χωρίς χρήση της αντιμεταθετικότητας.
  Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτύλιοι και σώματα.
2. Κυκλική υποομάδα. Σε μια πεπερασμένη ομάδα, κάθε στοιχείο $g$ έχει μια τάξη $k$ , ισχύει $g^m = e$ αν και μόνο αν ο $k$ διαιρεί τον $m$ , και οι δυνάμεις $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ σχηματίζουν υποομάδα με $k$ στοιχεία.
  Χρησιμοποιεί: 26. Ιδιότητες των ομάδων. Στηρίζεται σε: G (Υπόλοιπα και ισοτιμίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτύλιοι και σώματα.
3. Θεώρημα του Λαγκράνζ. Η τάξη μιας υποομάδας μιας πεπερασμένης ομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας, επειδή η ομάδα χωρίζεται σε ξένα μεταξύ τους σύμπλοκα με τόσα στοιχεία όσα η υποομάδα.
  Χρησιμοποιεί: 26. Ιδιότητες των ομάδων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτύλιοι και σώματα.
4. Τα υπόλοιπα σχηματίζουν σώμα. Για $n \geq 2$ , τα υπόλοιπα $\mathbb{Z}_n$ σχηματίζουν σώμα αν ο $n$ είναι πρώτος, επειδή, από το θεώρημα των αντιστρέψιμων υπολοίπων, κάθε μη μηδενικό υπόλοιπο έχει αντίστροφο· αν ο $n$ είναι σύνθετος, έχουν διαιρέτες του μηδενός και δεν σχηματίζουν σώμα.
  Στηρίζεται σε: G (Υπόλοιπα και ισοτιμίες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτύλιοι και σώματα.
5. Τι διατηρεί ένας ισομορφισμός. Ένας ισομορφισμός ομάδων απεικονίζει το ουδέτερο στο ουδέτερο, τον αντίστροφο κάθε στοιχείου στον αντίστροφο της εικόνας του και κάθε στοιχείο σε άλλο της ίδιας τάξης, και διατηρεί την αντιμεταθετικότητα.
  Χρησιμοποιεί: 26. Ιδιότητες των ομάδων, 27. Κυκλική υποομάδα. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτύλιοι και σώματα.

Προς τη γεωμετρία του χώρου. Η αλυσίδα δεν σταματά εδώ: στην ενότητα που ακολουθεί, η ορίζουσα τάξης τρία δίνει το εξωτερικό γινόμενο, το μικτό γινόμενο και τον όγκο ενός παραλληλεπιπέδου, και η βαθμίδα και ο αντίστροφος πίνακας κρίνουν και υπολογίζουν τις τομές ευθειών και επιπέδων, ώστε η άλγεβρα αυτής της ενότητας γίνεται το εργαλείο της γεωμετρίας του χώρου.

Στο υπόλοιπο αυτής της διάλεξης

Η ενότητα μέσα στους δύο κύκλους μαθημάτων
Προς τη γεωμετρία του χώρου και πέρα από αυτήν
Τελική αξιολόγηση
Προκλήσεις
Ένας πίνακας ελαχίστων
Ένας αντίστροφος που αλλάζει μέγεθος
Οι πίνακες των οποίων ο κύβος είναι ο μοναδιαίος
Μια στροφή με τρεις διατμήσεις
Το έτος ως άθροισμα δύο τετραγώνων
Η κυκλική ορίζουσα
Σβήστε τα φώτα
Φιμπονάτσι modulo πέντε
Οι αντιστρέψιμοι πίνακες πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα
Μια ομάδα πινάκων τάξης οκτώ

Συνεχίστε την ανάγνωση με δωρεάν λογαριασμό

Δημιουργήστε τον δωρεάν λογαριασμό σας για να διαβάσετε ολόκληρη αυτή τη διάλεξη και τις πρώτες διαλέξεις κάθε μαθήματος, και για να αποθηκεύετε την πρόοδό σας.

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση

Αποκτήστε πρόσβαση στο πλήρες μάθημα

Το υπόλοιπο αυτής της διάλεξης περιλαμβάνεται στη συνδρομή. Με τη συνδρομή αποκτάτε πρόσβαση σε όλες τις διαλέξεις κάθε μαθήματος, με τα προβλήματα και τις αποδείξεις τους.