Αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτύλιοι και σώματα

Διμελείς πράξεις

Σε αυτόν τον κύκλο μαθημάτων και στον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I προσθέσαμε και πολλαπλασιάσαμε φυσικούς, ακεραίους, ρητούς, πραγματικούς και μιγαδικούς· συνθέσαμε συναρτήσεις, πολλαπλασιάσαμε πίνακες και συνδυάσαμε διαδοχικά στροφές του επιπέδου. Καθεμία από αυτές τις πράξεις παίρνει δύο αντικείμενα ενός συνόλου και επιστρέφει ένα τρίτο του ίδιου συνόλου, και σε όλες αποδείξαμε, ξανά και ξανά, παρόμοιες ιδιότητες. Αυτό το μάθημα απομονώνει αυτές τις ιδιότητες και μελετά τι προκύπτει από αυτές, οποιαδήποτε κι αν είναι η φύση των αντικειμένων.

Μια διμελής πράξη σε ένα σύνολο $A$ είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων $a$ και $b$ του $A$ ένα μοναδικό στοιχείο του $A$, που γράφεται $a \cdot b$, ή απλώς $ab$. Το ότι το αποτέλεσμα ανήκει στο $A$ εκφράζεται λέγοντας ότι το $A$ είναι κλειστό ως προς την πράξη.

Η τελεία δεν δηλώνει εδώ αναγκαστικά γινόμενο αριθμών: είναι το γενικό όνομα της πράξης, που σε κάθε περίπτωση θα είναι η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός, η σύνθεση ή οποιαδήποτε άλλη. Όταν η πράξη είναι πρόσθεση, χρησιμοποιείται, κατά τη συνήθεια, το σύμβολο $+$. Οι ιδιότητες που μας ενδιαφέρουν είναι τέσσερις. Η πράξη είναι προσεταιριστική αν $(ab)c = a(bc)$ για όλα τα $a$, $b$ και $c$ του $A$, και αντιμεταθετική αν $ab = ba$ για όλα τα $a$ και $b$. Ένα στοιχείο $e$ του $A$ είναι ουδέτερο αν $ea = ae = a$ για κάθε $a$· και, αν υπάρχει ουδέτερο, ένα στοιχείο $b$ είναι αντίστροφο του $a$ όταν $ab = ba = e$.

Καμία από τις τέσσερις ιδιότητες δεν είναι αυτονόητη. Η αφαίρεση είναι διμελής πράξη στο $\mathbb{Z}$, αλλά δεν είναι ούτε προσεταιριστική ούτε αντιμεταθετική, και δεν έχει ουδέτερο: το $0$ ικανοποιεί την $a - 0 = a$, αλλά όχι την $0 - a = a$. Η διαίρεση δεν είναι διμελής πράξη στο $\mathbb{Q}$, γιατί δεν αντιστοιχίζει τίποτα στο ζεύγος που σχηματίζουν το $1$ και το $0$. Η πρόσθεση στο $\mathbb{N}$ είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική, αλλά δεν έχει ουδέτερο, γιατί στον πρώτο κύκλο μαθημάτων οι φυσικοί αρχίζουν από το $1$. Η σύνθεση συναρτήσεων είναι προσεταιριστική και δεν είναι αντιμεταθετική, όπως αποδείχθηκε στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις πράξεις συναρτήσεων, και το ίδιο συμβαίνει με το γινόμενο τετραγωνικών πινάκων της ίδιας τάξης, που μελετήθηκε στο μάθημα για τους πίνακες και τις πράξεις με πίνακες, του οποίου ουδέτερο είναι ο μοναδιαίος πίνακας $I$.